江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案函數(shù)及導(dǎo)數(shù)第6課導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

第6課導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1、能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)2、熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；理解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；能利用導(dǎo)數(shù)公式表的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。二、知識梳理22．若。，則【教學(xué)建議】本組題目旨在復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。需要學(xué)生熟練掌握，教學(xué)時(shí)可以當(dāng)堂讓學(xué)生進(jìn)行默寫。診斷練習(xí)診斷練習(xí)點(diǎn)評：題1、則?！痉治雠c點(diǎn)評】幾個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是什么？【變式1】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是?！咀兪?】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是?！咀兪?】若函數(shù)。題2、函數(shù)f(x)＝(sinx)′＋cosx的值域是________．答案：[－2，2]【分析與點(diǎn)評】本題考查的是基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)的法則，簡單三角函數(shù)的值域，屬于小綜合題。但難度不大。【變式1】已知函數(shù)?！咀兪?】已知函數(shù)。題3、若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是?！痉治雠c點(diǎn)評】求兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是什么？要求學(xué)生能根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．題4、曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角為。【分析與點(diǎn)評】函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率的求法。要點(diǎn)歸納要了解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。例1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）．【教學(xué)處理】可讓四名學(xué)生板演，每人一題，教師點(diǎn)評【引導(dǎo)分析與精講建議】這組題目屬于基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式在求導(dǎo)法則下的直接運(yùn)用，屬于基本題。教師可以根據(jù)學(xué)生板演的具體情況，在學(xué)生犯錯(cuò)的地方點(diǎn)評和鞏固．其中第（4）小題，需將表達(dá)式整理為，再求導(dǎo)．例2．已知拋物線y＝2x2＋1分別滿足下列條件，請求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)切線的傾斜角為45°.(2)平行于直線4x－y－2＝0.(3)垂直于直線x＋8y－3＝0.答案：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由f′(x)＝4x得，k＝f′(x0)＝4x0(1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，∴斜率為tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1,4)，eq\f(9,8))．(2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)．(3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直，k·(－eq\f(1,8))＝－1即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9)．【教學(xué)處理】讓學(xué)生回顧函數(shù)切線的方法？明確關(guān)鍵是求切點(diǎn)。變式：已知函數(shù)(),.若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求的值注：體會一下公切線的含義。例3．設(shè)函數(shù)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）確定，的值；（2）當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)（0，c）且與曲線相切的直線方程．【教學(xué)處理】指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，獨(dú)立思考，指名回答，教師點(diǎn)評并板書解題過程?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】可提出以下問題與學(xué)生交流：（1）條件“曲線在點(diǎn)處的切線方程為”如何轉(zhuǎn)化?這個(gè)條件可得到兩個(gè)等量關(guān)系：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，②切點(diǎn)既在切線上，也在曲線上，所以切點(diǎn)P（0，1）在曲線上，切點(diǎn)坐標(biāo)適合曲線的方程。（2）求過某點(diǎn)的曲線的切線方程的基本步驟是什么？因?yàn)榍蟮氖沁^點(diǎn)（0，1）的曲線的切線方程，所以點(diǎn)（0，1）不一定是切點(diǎn)，故設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，那么切線方程可表示為：，將點(diǎn)（0，1）代入切線方程，化簡后求出m的值即可。提醒學(xué)生解方程注意變形的等價(jià)性，防止失去m=0的根?！咀兪健繉τ诶?中的函數(shù)，若過點(diǎn)（0，2）可作曲線的三條不同切線，求的取值范圍．【點(diǎn)評】可以仿第2問，寫出切線的方程。怎么才能使此方程有三個(gè)不同的實(shí)根？代數(shù)方法麻煩時(shí)可以將方程的根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。怎么判斷函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)？利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，極值，作出函數(shù)的草圖，結(jié)合函數(shù)圖象，判斷圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。五、解題反思1、理解導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值相對于自變量的變化率，熟練掌握基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則。2、導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要看清求的是“在某點(diǎn)”還是“過某點(diǎn)”的切線3、與的關(guān)系是表示在處的導(dǎo)數(shù)，表示函數(shù)在某給定區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)。六、課后作業(yè):1.(2015·天津文)已知函數(shù)f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a為實(shí)數(shù)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(1)＝3，則a的值為________．答案：3解析：因?yàn)閒′(x)＝a(1＋lnx)，所以f′(1)＝a＝3.2.(2015·課標(biāo)Ⅱ文)已知曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________．答案：8解析：由y′＝1＋eq\f(1,x)可得曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率為2，故切線方程為y＝2x－1，與y＝ax2＋(a＋2)x聯(lián)立得ax2＋ax＋2＝0，顯然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0a＝8.3.(2015·南通一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記曲線y＝2x－eq\f(m,x)(m∈R，m≠，則m的值為________．答案：－3或－4解析：y＝2x－eq\f(m,x)(m∈R，m≠－2)在x＝1處的切線斜率為m＋2，切點(diǎn)為(1，2－m),切線方程為(m＋2)x－y－2m＝0，在兩坐標(biāo)軸上的截距為eq\f(2m,m＋2)－2m＝12，化簡得m2＋7m＋12＝0，m的值為－3或－4.4.(1)已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)，求曲線過點(diǎn)P(2，4)的切線方程；(2)求拋物線y＝x2上點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離．解：(1)設(shè)曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)與過點(diǎn)P(2，4)的切線相切于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，則切線的斜率k＝xeq\o\al(2,0)，切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).因?yàn)辄c(diǎn)P(2，4)在切線上，所以4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(2)由題意得，與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線對應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0距離最短，設(shè)切點(diǎn)為(x0，xeq\o\al(2,0))，則切線的斜率為2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8).5.(2015·鹽城三模)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(m（x＋n）,x＋1)(m＞0)．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)在x＝1處的切線互相垂直，求n的值；(2)若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求m－n的取值范圍．解：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，g′(x)＝eq\f(1－n,（x＋1）2)，∴y＝g(x)在x＝1處的切線斜率k＝eq\f(1－n,4).由f′(x)＝eq\f(1,x)，∴y＝f(x)在x＝1處的切線斜率k＝1，∴eq\f(1－n,4)·1＝－1,∴n＝5.(2)易知函數(shù)y＝f(x)－g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，又y′＝f′(x)－g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(m（1－n）,（x＋1）2)＝eq\f(x2＋[2－m（1－n）]