【19份】高中數(shù)學(xué)新人教版選修2-2課件(共三章)

1.1.1變化率問題1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念第一章§1.1變化率與導(dǎo)數(shù)1.理解函數(shù)平均變化率、瞬時(shí)變化率的概念.2.掌握函數(shù)平均變化率的求法.3.掌握導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求簡單函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一函數(shù)的平均變化率答案平均變化率1.平均變化率的概念設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x1，x2是其定義域內(nèi)不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么函數(shù)的變化率可用式子

表示，我們把這個(gè)式子稱為函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的

，習(xí)慣上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相對于x1的一個(gè)“增量”，可用x1＋Δx代替x2；類似地，Δy＝

.于是，平均變化率可以表示為

.f(x2)－f(x1)答案x2－x12.求平均變化率

求函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]上平均變化率的步驟如下：(1)求自變量的增量Δx＝

；(2)求函數(shù)值的增量Δy＝

；(3)求平均變化率

＝

＝

.f(x2)－f(x1)思考

(1)如何正確理解Δx，Δy?答案答案

Δx是一個(gè)整體符號，而不是Δ與x相乘，其值可取正值、負(fù)值，但Δx≠0；Δy也是一個(gè)整體符號，若Δx＝x1－x2，則Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)，Δy可為正數(shù)、負(fù)數(shù)，亦可取零.(2)平均變化率的幾何意義是什么？答案

如圖所示：y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率是曲線y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”，

越大，曲線y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.平均變化率的幾何意義是函數(shù)曲線上過兩點(diǎn)的割線的斜率，若函數(shù)y＝f(x)圖象上有兩點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，答案知識點(diǎn)二瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率答案瞬時(shí)速度把物體在某一時(shí)刻的速度稱為

.做直線運(yùn)動(dòng)的物體，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用函數(shù)s＝s(t)描述，設(shè)Δt為時(shí)間改變量，在t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)，物體的位移(即位置)改變量是Δs＝

，那么位移改變量Δs與時(shí)間改變量Δt的比就是這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度

，即

＝

.s(t0＋Δt)－s(t0)答案瞬時(shí)變化率物理學(xué)里，我們學(xué)習(xí)過非勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻t0的速度，即t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，用v表示，物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v就是運(yùn)動(dòng)物體在t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均變化率

在Δt→0時(shí)的極限，即

.瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)對時(shí)間的

.思考

(1)瞬時(shí)變化率的實(shí)質(zhì)是什么？答案

其實(shí)質(zhì)是當(dāng)平均變化率中自變量的改變量趨于0時(shí)的值，它是刻畫函數(shù)值在某處變化的快慢.答案

①區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢，瞬時(shí)變化率刻畫函數(shù)值在x0點(diǎn)處變化的快慢；②聯(lián)系：當(dāng)Δx趨于0時(shí)，平均變化率

趨于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率，它是一個(gè)固定值.(2)平均速度與瞬時(shí)速度的區(qū)別與聯(lián)系是什么？答案知識點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的概念答案導(dǎo)數(shù)思考(1)函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)滿足什么條件時(shí)存在？答案

求解函數(shù)f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟如下：①求函數(shù)值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求解函數(shù)f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟是什么？返回答案題型探究重點(diǎn)突破題型一求平均變化率解析答案反思與感悟

解當(dāng)自變量從x0變化到x0＋Δx時(shí)，函數(shù)的平均變化率為反思與感悟

解析答案2Δx＋4解析因?yàn)棣＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(Δx)2＋4Δx，解析答案

題型二實(shí)際問題中的瞬時(shí)速度解析答案例2

一作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s).(1)求此物體的初速度；即物體的初速度為3m/s.(2)求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度；即此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s，方向與初速度方向相反.解析答案(3)求t＝0到t＝2時(shí)的平均速度.即t＝0到t＝2時(shí)的平均速度為1m/s.解析答案反思與感悟作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在不同時(shí)刻的速度是不同的，Δt趨近于0，指時(shí)間間隔Δt越來越小，但不能為0，Δt，Δs在變化中都趨近于0，但它們的比值趨近于一個(gè)確定的常數(shù).反思與感悟

解析答案解析答案(2)求t＝3秒時(shí)的瞬時(shí)速度.所以t＝3秒時(shí)的瞬時(shí)速度約為29.4米/秒.題型三函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解析答案反思與感悟

從而y′|x＝1＝2.求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：(1)求函數(shù)值的增量，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；反思與感悟解析答案

解析答案因?qū)?dǎo)數(shù)的概念理解不到位致誤例4

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且f′(x0)已知，求下列各式的極限值.返回易錯(cuò)易混防范措施錯(cuò)因分析

在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx是哪種形式，Δy必須選擇相對應(yīng)的形式.如(1)中Δx的改變量為Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改變量為2h＝(x0＋h)－(x0－h(huán)).解析答案防范措施防范措施自變量的改變量Δx的值為變后量與變前量之差.返回防范措施當(dāng)堂檢測123451.在求解平均變化率時(shí)，自變量的變化量Δx應(yīng)滿足(

)A.Δx＞0 B.Δx＜0C.Δx≠0 D.Δx可為任意實(shí)數(shù)

C解析答案12345A.從時(shí)間t到t＋Δt時(shí)物體的平均速度B.t時(shí)刻物體的瞬時(shí)速度C.當(dāng)時(shí)間為Δt時(shí)物體的速度D.從時(shí)間t到t＋Δt時(shí)位移的平均變化率B解析答案12345

解析答案12345解析答案12345解析答案

12345解析答案12345∴物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為v0－gt0.由此，類似地可得到物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為v(t)＝v0－gt，故物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度為－g.課堂小結(jié)返回1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)第一章§1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一函數(shù)極值的概念答案f′(x)＜01.極小值點(diǎn)與極小值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.f′(x)＞0答案f′(x)＞02.極大值點(diǎn)與極大值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b的左側(cè)

，右側(cè)

，則把點(diǎn)b叫做函數(shù)

的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.

、

統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，

和

統(tǒng)稱為極值.f′(x)＜0y＝f(x)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)極大值極小值思考(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極值的充要條件是什么？答案答案可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即“函數(shù)y＝f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零是函數(shù)y＝f(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件”.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)和右側(cè)f′(x)符號不同.如果在x0的兩側(cè)f′(x)符號相同，則x0不是f(x)的極值點(diǎn).(2)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有多個(gè)極值點(diǎn)，那么一定既有極大值也有極小值嗎？答案不一定.知識點(diǎn)二求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值方法與步驟答案極大值1.求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是

；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是

.2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x).(2)求f(x)的拐點(diǎn)，即求方程

的根.(3)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值.極小值f′(x)＝0思考可導(dǎo)函數(shù)f(x)若存在極值點(diǎn)x0，則x0能否為相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)嗎？答案不能.返回答案題型探究重點(diǎn)突破題型一求函數(shù)的極值解析答案反思與感悟

解析答案反思與感悟解由題意可知f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

反思與感悟

反思與感悟求可導(dǎo)函數(shù)

f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)

f′(x)；(2)求方程

f′(x)＝0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格.檢測

f′(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號，如果左正右負(fù)，那么

f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么

f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么

f(x)在這個(gè)根處無極值.跟蹤訓(xùn)練1

求下列函數(shù)的極值.(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；解析答案解函數(shù)的定義域?yàn)镽.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y

極大值57

極小值－7

從上表中可以看出，當(dāng)x＝－3時(shí)，函數(shù)取得極大值，且y極大值＝57.當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值，且y極小值＝－7.解析答案

解函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，令y′＝0，得x＝－2或x＝2.當(dāng)x＜－2時(shí)，y′＞0；當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，y′＜0.即x＝－2時(shí)，y取得極大值，且極大值為－8.當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，y′＞0.即x＝2時(shí)，y取得極小值，且極小值為8.題型二利用函數(shù)極值確定參數(shù)的取值范圍(或值)解析答案例2

已知函數(shù)

f(x)＝6lnx－ax2－8x＋b(a，b為常數(shù))，且x＝3為

f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求a的值；

(2)求函數(shù)

f(x)的單調(diào)區(qū)間；解函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).由(1)知

f(x)＝6lnx＋x2－8x＋b.解析答案由

f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1，由

f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去).∴函數(shù)

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).(3)若y＝f(x)的圖象與x軸正半軸有且只有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解析答案反思與感悟解由(2)可知函數(shù)

f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增.且當(dāng)x＝1和x＝3時(shí)，f′(x)＝0.∴f(x)的極大值為

f(1)＝6ln1＋1－8＋b＝b－7，f(x)的極小值為

f(3)＝6ln3＋9－24＋b＝6ln3＋b－15.∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，f(x)＜0，當(dāng)x充分大時(shí)，f(x)＞0，∴要使

f(x)的圖象與x軸正半軸有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴b的取值范圍是7＜b＜15－6ln3.解決參數(shù)問題時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的圖象，同時(shí)準(zhǔn)確理解函數(shù)極值的應(yīng)用.反思與感悟

解析答案解因?yàn)閍＞0，所以“f(x)＝

x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點(diǎn)”等價(jià)于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立”.由f′(x)－9x＝0(即ax2＋(2b－9)x＋c＝0)的兩實(shí)數(shù)根分別為1,4，所以對于一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0，Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9).不等式ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立易驗(yàn)證a＝1與a＝9均滿足題意，故a的取值范圍是[1,9].題型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用解析答案反思與感悟解析答案反思與感悟

反思與感悟則函數(shù)y＝g(t)的圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).即a＞2，使函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2，＋∞).求出函數(shù)的所有極值，有利于我們整體把握函數(shù)圖象的特征，也就為我們證明有關(guān)不等式、解決某些方程根的個(gè)數(shù)等問題提供了有力的依據(jù)，因而函數(shù)的極值在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，是高考命題的熱點(diǎn).反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

已知函數(shù)

f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R).(1)求函數(shù)

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解析答案(2)若對任意a∈[3,4]，函數(shù)

f(x)在R上都有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解析答案

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(－4,0).解析答案因忽視對所得參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)而致誤例4

若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，試求a，b的值.返回防范措施易錯(cuò)易混錯(cuò)解

由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，解析答案錯(cuò)因分析

由于函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點(diǎn)取得極值的必要條件，而非充分條件.因此，本題在解答時(shí)很容易忽略對得出的兩組解進(jìn)行檢驗(yàn)而出錯(cuò).防范措施正解由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，但由于當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故

f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能在x＝1處取得極值，解析答案防范措施故a，b的值分別為4，－11.防范措施根據(jù)極值條件求參數(shù)的值的問題中，在得到參數(shù)的兩組解后，應(yīng)按照函數(shù)在這一點(diǎn)處取得極值所對應(yīng)的條件進(jìn)行檢驗(yàn)，考查每一組解所對應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處是否能取得極值，從而進(jìn)行取舍.返回防范措施當(dāng)堂檢測123451.已知函數(shù)

f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是(

)A.(2,3) B.(3，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－∞，3)B解析答案解析∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2處有極值，∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由

f′(x)＞0得x＜2或x＞3.123452.下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是(

)A.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B.函數(shù)的極小值一定小于它的極大值C.函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值D.若

f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么

f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)D解析答案解析由極值的概念可知只有D正確.123453.函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)

f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(

)A.無極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B.有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C.有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D.有四個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)解析答案C解析在x＝x0的兩側(cè)，f′(x)的符號由正變負(fù)，則

f(x0)是極大值；f′(x)的符號由負(fù)變正，則

f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn).12345解析答案4.已知

f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(

)A.－1＜a＜2 B.－3＜a＜6C.a＜－1或a＞2 D.a＜－3或a＞6D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因?yàn)?/p>

f(x)既有極大值又有極小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.12345解析答案5.設(shè)函數(shù)

f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若

f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x2＝1，則實(shí)數(shù)a的值為_____.9

課堂小結(jié)返回1.求函數(shù)極值的基本步驟：(1)求函數(shù)定義域；(2)求

f′(x)；(3)解

f′(x)＝0；(4)列表(f′(x)，f(x)隨x的變化情況)；(5)下結(jié)論.2.函數(shù)的極值的應(yīng)用：(1)確定參數(shù)的值，一般用待定系數(shù)法；(2)判斷方程根的情況時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值，畫出函數(shù)大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想來討論根的情況.1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)第一章§1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.理解最值的概念，了解最值與極值的區(qū)別.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾如果在函數(shù)

f(x)定義域I內(nèi)存在一點(diǎn)x0，使得對任意的x∈I，總有

，那么稱

f(x0)為函數(shù)的定義域上的最大值.如果在函數(shù)

f(x)定義域I內(nèi)存在一點(diǎn)x0，使得對任意的x∈I，總有

，那么稱

f(x0)為函數(shù)在定義域上的最小值.知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一函數(shù)最值的概念答案f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)答案思考函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？答案函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值.函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值.當(dāng)連續(xù)函數(shù)

f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處

f(x)有極大值(或極小值)，則可以判定

f(x)在該點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)間.1.求函數(shù)

y＝f(x)在[a，b]上的最值的步驟：(1)求函數(shù)

y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)

y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值

f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是

，最小的一個(gè)是

.2.函數(shù)在開區(qū)間(a，b)的最值在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值；若函數(shù)

f(x)在開區(qū)間I上只有一個(gè)極值，且是極大(小)值，則這個(gè)極大(小)值就是函數(shù)

f(x)在區(qū)間I上的最大(小)值.知識點(diǎn)二求函數(shù)的最值答案最大值最小值

答案沒有.(2)函數(shù)

f(x)＝ln

x在[1,2]上有最值嗎？答案有最大值ln2，最小值0.返回答案題型探究重點(diǎn)突破題型一求函數(shù)的最值解析答案例1

求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；解f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及

f(x)的變化情況如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)

＋0－0＋0－

f(x)－60

極大值4

極小值3

極大值4

－5∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4.解析答案反思與感悟(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上為增函數(shù).故x＝－1時(shí)，f(x)最小值＝－12；x＝1時(shí)，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值為－12，最大值為2.反思與感悟一般地，在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)

f(x)必有最大值與最小值，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)

f(x)不一定有最大值與最小值.跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)函數(shù)

f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導(dǎo)函數(shù)

f′(x)的最小值為－12.(1)求a，b，c的值；解析答案解∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x).即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值為－12，∴a＞0，b＝－12.又直線x－6y－7＝0的斜率為

，因此

f′(1)＝3a＋b＝－6，故a＝2，b＝－12，c＝0.(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值.x(－∞，－

)

－

(－

，

)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

解析答案題型二含參數(shù)的函數(shù)的最值問題解析答案例2

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)

f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.反思與感悟解析答案

反思與感悟反思與感悟由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，所以解決這類問題常常需要分類討論，并結(jié)合不等式的知識進(jìn)行求解.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

a為常數(shù)，求函數(shù)

f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.解析答案

x0(0，

)(，1)1f′(x)

＋0－

f(x)0

2a

3a－1

題型三函數(shù)最值問題的綜合應(yīng)用解析答案

解析答案解對

f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求導(dǎo)，得

f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1).令

f′(x)＝0，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

解析答案反思與感悟(2)若對x∈[－1,2]，不等式

f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍.而

f(2)＝2＋c，則

f(2)＝2＋c為最大值.要使

f(x)＜c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2.∴c的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞).由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，這種題型的解法有很多，其中最常用的方法就是分離參數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，在求函數(shù)最值時(shí)，可以借助導(dǎo)數(shù)來求解.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)函數(shù)

f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若對任意的x∈[0,3]，都有

f(x)＜c2成立，求c的取值范圍；解∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，f′(x)＞0.∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極大值

f(1)＝5＋8c.又

f(3)＝9＋8c＞f(1)，∴x∈[0,3]時(shí)，f(x)的最大值為

f(3)＝9＋8c.∵對任意的x∈[0,3]，有

f(x)＜c2恒成立，∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞).解析答案(2)若對任意的x∈(0,3)，都有

f(x)＜c2成立，求c的取值范圍.解由(1)知

f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范圍為(－∞，－1]∪[9，＋∞).解析答案求最值時(shí)因忽略極值與區(qū)間端點(diǎn)值的對比致誤例4

求函數(shù)

f(x)＝x3－2x2＋1在區(qū)間[－1,2]上的最大值與最小值.返回易錯(cuò)易混防范措施

解析答案∴函數(shù)

f(x)在x＝0處取得最大值f(0)＝1，錯(cuò)因分析求出函數(shù)的極值后，要與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較后方可確定函數(shù)的最值，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.防范措施

∴函數(shù)

f(x)在x＝0處取得極大值

f(0)＝1，又

f(－1)＝－2，f(2)＝1，∴函數(shù)

f(x)的最大值是1，最小值是－2.防范措施若連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]為單調(diào)函數(shù)，則其最值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得；若該函數(shù)在[a，b]上不單調(diào)，即存在極值點(diǎn)，則最值可能在端點(diǎn)處取得，也可能在極值點(diǎn)處取得.返回防范措施當(dāng)堂檢測123451.函數(shù)

y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，則f′(x)(

)A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能

解析據(jù)題

f(x)為常數(shù)函數(shù)，故

f′(x)＝0.A解析答案123452.函數(shù)

f(x)＝x3－3x＋1在閉區(qū)間[－3,0]上的最大值、最小值分別是(

)A.1，－1 B.1，－17C.3，－17 D.9，－19解析答案12345答案C解析f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1.當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.所以

f(x)在x＝－1處取得極大值，f(x)極大值＝3，在x＝1處取得極小值，f(x)極小值＝－1.而端點(diǎn)處的函數(shù)值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比較可得f(x)的最大值為3，最小值為－17.123453.函數(shù)

f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(

)A.有最大值，但無最小值B.有最大值，也有最小值C.無最大值，但有最小值D.既無最大值，也無最小值解析答案D解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以

f(x)在(－1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值，故選D.12345解析答案A. B.C. D.A解析f′(x)＝ex(sin

x＋cos

x).12345解析答案5.已知

f(x)＝2x3－6x2＋a(a為常數(shù))在[－2,2]上有最小值3，那么f(x)在[－2,2]上的最大值是____.43解析令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2.當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＜0，x＝－2，0,2對應(yīng)的

f(x)的值分別為a－40，a，a－8.因?yàn)閍－40＜a－8＜a，所以a－40為最小值，a為最大值，則a－40＝3，a＝43，故

f(x)在[－2,2]上的最大值是43.課堂小結(jié)返回1.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎(chǔ)上，還需注意：①對函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)；②研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值；③比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小時(shí)，有時(shí)需要利用作差或作商，甚至要分類討論.2.解決恒成立問題常用的方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.如：①f(x)≥m恒成立，只需f(x)min≥m成立即可，也可轉(zhuǎn)化為h(x)＝f(x)－m，這樣就是求h(x)min≥0的問題.②若對某區(qū)間D上恒有f(x)≥g(x)成立，可轉(zhuǎn)化為h(x)＝f(x)－g(x)，求h(x)min≥0的問題.§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中簡單的優(yōu)化問題.3.學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，并會(huì)求解數(shù)學(xué)模型.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟1.分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系

y＝f(x)；2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

f′(x)，解方程

f′(x)＝0；3.比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和在

f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.答案思考(1)什么是優(yōu)化問題？答案在生活中，人們常常遇到求使經(jīng)營利潤最大、用料最省、費(fèi)用最少、生產(chǎn)效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.(2)優(yōu)化問題的常見類型有哪些？答案費(fèi)用最省問題，利潤最大問題，面積、體積最大問題等.知識點(diǎn)二解決優(yōu)化問題的基本思路思考解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)注意什么？答案(1)當(dāng)問題涉及多個(gè)變量時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，列出變量間的關(guān)系式；(2)在建立函數(shù)模型的同時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題確定出函數(shù)的定義域；(3)在實(shí)際問題中，由

f′(x)＝0常常得到定義域內(nèi)的根只有一個(gè)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大值(極小值)，那么不與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，也可以判斷該極值就是最大值(最小值)；(4)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去，例如，長度、寬度應(yīng)大于0，銷售價(jià)格為正數(shù)等.返回答案題型探究重點(diǎn)突破題型一利潤最大問題解析答案例1

某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件.如果降低售價(jià)，銷售量就會(huì)增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元/件，0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件.(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成關(guān)于x的函數(shù)；解若每件商品單價(jià)降低x元，則一個(gè)星期多賣的商品數(shù)為kx2件.由已知條件得k·22＝24，解得k＝6.若記一個(gè)星期的商品銷售利潤為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].解析答案反思與感悟(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？解對(1)中函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)

－0＋0－

f(x)9072

極小值

極大值

0∴x＝12時(shí)，f(x)取得極大值.∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，∴30－12＝18(元)，故定價(jià)為每件18元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大.反思與感悟利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值.解此類問題需注意兩點(diǎn)：①價(jià)格要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本；②銷量要大于0，否則不會(huì)獲利.

解析答案解依題意，知每月生產(chǎn)x噸產(chǎn)品時(shí)的利潤為

題型二面積、容積最值問題解析答案例2

已知一扇窗子的形狀為一個(gè)矩形和一個(gè)半圓相接，其中半圓的直徑為2r，如果窗子的周長為10，求當(dāng)半徑r取何值時(shí)窗子的面積最大.反思與感悟解設(shè)矩形的另一邊長為x，半圓弧長為πr，∴πr＋2r＋2x＝10，∴S′＝10－(π＋4)r，解析答案反思與感悟反思與感悟在解決面積、體積的最值問題時(shí)，要正確引入變量，將面積或體積表示為關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合使實(shí)際問題有意義的變量的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

如圖，將一個(gè)矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點(diǎn)，|AB|＝3m，|AD|＝2m.(1)要使矩形AMPN的面積大于32m2，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)AN的長度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積；(3)若AN的長度不少于6m，則當(dāng)AN的長度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積.解析答案解設(shè)AN的長為x

m(x＞2)，∵x＞2，∴3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0，

解析答案(2)設(shè)S矩形AMPN＝y(tǒng)，即當(dāng)AN的長度為4m時(shí)，S矩形AMPN取得最小值24m2.即當(dāng)AN的長度為6m時(shí)，S矩形AMPN取得最小值27m2.題型三成本最省問題解析答案例3

甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b(b＞0)；固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

解析答案反思與感悟(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解析答案反思與感悟解由題意，s、a、b、v均為正數(shù).反思與感悟此時(shí)y′＜0，即y在(0，c]上為減函數(shù).所以當(dāng)v＝c時(shí)，y最小.綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，選取合適的量做自變量，并根據(jù)實(shí)際確定其取值范圍，正確列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.其中把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

工廠A到鐵路的垂直距離為20km，垂足為B，鐵路線上距離B處100km的地方有一個(gè)原料供應(yīng)站C，現(xiàn)在要從BC段上的D處向工廠修一條公路，使得從原料供應(yīng)站C到工廠A所需的運(yùn)費(fèi)最省，已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3∶5，則D點(diǎn)應(yīng)選在何處？解析答案

∴x＝15.由實(shí)際問題可知，運(yùn)輸費(fèi)用一定有最小值，而此函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，故x＝15時(shí)取最小值，故D點(diǎn)在距B點(diǎn)15km處最好.解析答案因沒有注意問題的實(shí)際意義而出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)例4

某船由甲地逆水行駛到乙地，甲、乙兩地相距s(km)，水的流速為常量a(km/h)，船在靜水中的最大速度為b(km/h)(b＞a)，已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，則船在靜水中的航行速度為多少時(shí)，其全程的燃料費(fèi)用最省？返回防范措施易錯(cuò)易混錯(cuò)解

設(shè)船在靜水中的航行速度為xkm/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，解析答案令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍)，所以f(2a)＝4ask，即當(dāng)x＝2a時(shí)，ymin＝4ask.故當(dāng)船在靜水中的航行速度為2akm/h時(shí)，燃料費(fèi)用最省.錯(cuò)因分析這個(gè)實(shí)際問題的定義域?yàn)?a，b]，而x＝2a為函數(shù)的極值點(diǎn)，是否在(a，b]內(nèi)不確定，所以需要分類討論，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.防范措施正解設(shè)船在靜水中的航行速度為xkm/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍).(1)當(dāng)2a≤b時(shí)，若x∈(a,2a)，y′＜0，f(x)為減函數(shù)，若x∈(2a，b]時(shí)，y′＞0，f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝2a時(shí)，ymin＝4ask.解析答案防范措施當(dāng)x∈(a，b]時(shí)，y′＜0，所以f(x)在(a，b]上是減函數(shù)，綜上可知，若b＜2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為bkm/h時(shí),燃料費(fèi)用最??；若b≥2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為2akm/h時(shí)，燃料費(fèi)用最省.防范措施在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程中，正確建立數(shù)學(xué)模型，找到實(shí)際問題中函數(shù)定義域的取值范圍.返回防范措施當(dāng)堂檢測123451.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為(

) 解析答案解析設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長為x，

答案B123452.要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為(

)解析答案12345答案D123453.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為1000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去，月租金每增加50元，就會(huì)多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元維修費(fèi)，則月租金定為______元時(shí)可獲得最大收入.解析答案1800解析設(shè)x套為沒有租出去的公寓數(shù)，則收入函數(shù)f(x)＝(1000＋50x)(50－x)－100(50－x)，∴f′(x)＝1600－100x，∴當(dāng)x＝16時(shí)，f(x)取最大值，故把月租金定為1800元時(shí)收入最大.12345解析答案123454.某公司一年購買某種貨物900噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝_____噸.30解析設(shè)總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和為y萬元，解析答案5.制作容積為256的方底無蓋水箱，它的高為____時(shí)最省材料.123454解析設(shè)底面邊長為x，高為h，則V(x)＝x2·h＝256，令S′(x)＝0，解得x＝8，課堂小結(jié)返回1.解應(yīng)用題的思路方法：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定答案.2.解決最優(yōu)化問題首先要確定變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立函數(shù)模型.要熟記常見函數(shù)模型，如二次函數(shù)模型、三次函數(shù)模型、分式函數(shù)模型、冪指對模型、三角函數(shù)模型等.3.除了變量之間的函數(shù)關(guān)系式外，實(shí)際問題中的定義域也很關(guān)鍵，一定要結(jié)合實(shí)際問題的意義確定定義域.§1.5

定積分的概念第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.了解定積分的概念.2.理解定積分的幾何意義.3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想.4.能用定積分的定義求簡單的定積分.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程答案y＝f(x)1.曲邊梯形的面積(1)曲邊梯形：由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線

所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①所示).答案小曲邊梯形(2)求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些

，對每個(gè)

“以直代曲”,即用

的面積近似代替

的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的

，對這些近似值

，就得到曲邊梯形面積的

(如圖②所示).小曲邊梯形小曲邊梯形矩形近似值求和近似值(3)求曲邊梯形面積的步驟：①

，②

，③

，④

.2.求變速直線運(yùn)動(dòng)的(位移)路程如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)v＝v(t)，那么也可以采用

，

，

，

的方法，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s.答案分割近似代替求和取極限分割近似代替求和取極限思考(1)如何計(jì)算下列兩圖形的面積？答案①直接利用梯形面積公式求解.②轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解.答案

答案

(2)求曲邊梯形面積時(shí)，對曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”，怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差？答案為了減小近似代替的誤差，需要先分割再分別對每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多，得到的面積的誤差越小.知識點(diǎn)二定積分的概念答案定積分答案積分下限其中a與b分別叫做

與

，區(qū)間[a，b]叫做

，函數(shù)f(x)叫做

，x叫做

，f(x)dx叫做

.積分上限積分區(qū)間被積函數(shù)積分變量被積式思考(1)如何理解定積分？答案定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，不同的積分區(qū)間，定積分的積分限不同，所得的值也不同，答案答案①分割：將區(qū)間[a，b]n等分，記第i個(gè)小區(qū)間為[xi－1，xi]，區(qū)間長度Δx＝xi－xi－1；

答案知識點(diǎn)三定積分的幾何意義與性質(zhì)1.定積分的幾何意義由直線x＝a，x＝b(a<b)，x軸及一條曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S，則有：答案答案答案返回答案題型探究重點(diǎn)突破題型一求圖形的面積問題

解析答案反思與感悟例1

用定積分的定義求曲線y＝x3＋1與x＝0，x＝1及y＝0所圍成的曲邊梯形的面積.解析答案反思與感悟過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記為ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.解析答案反思與感悟③求和：Sn＝ΔS1＋ΔS2＋…＋ΔSn反思與感悟反思與感悟?qū)D形進(jìn)行分割實(shí)現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積，但這僅是近似值，分割得越細(xì)，近似程度就會(huì)越高，這就是“以直代曲”方法的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練1

求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形的面積.解析答案解析答案解(1)分割：將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，解析答案過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積.為了計(jì)算方便取xi為小區(qū)間的左端點(diǎn)，解析答案(3)求和：因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值.即(4)取極限：當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即Δx愈小時(shí)，和式①的值就愈接近曲邊梯形的面積S，因此，當(dāng)n→∞，即Δx→0時(shí)，和式①的逼近值就是所求曲邊梯形的面積.題型二求汽車行駛的路程解析答案例2

汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程為s＝vt.如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝t2＋2(v的單位：km/h，t的單位：h)，那么它在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？反思與感悟解將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間，解析答案反思與感悟反思與感悟利用類比轉(zhuǎn)化的思想，把求汽車行駛的路程轉(zhuǎn)化為求時(shí)間—速度坐標(biāo)系中的曲邊梯形的面積，再用求曲邊梯形的面積方法來解決此問題.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

一物體自200m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離.(g＝9.8m/s2)解析答案解自由落體的下落速度為v(t)＝gt.以左端點(diǎn)函數(shù)值作為該區(qū)間的速度.故該物體在下落后第3s至第6s之間的距離是132.3m.題型三由定積分的幾何意義求定積分解析答案例3

利用定積分的幾何意義，求：解析答案反思與感悟解在坐標(biāo)平面上，f(x)＝2x＋1為一條直線.x＝0，x＝3圍成的直角梯形OABC的面積，如圖(2)所示.利用定積分的幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識求面積，求不規(guī)則圖形的面積常用分割法，注意分割點(diǎn)的選取.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

利用定積分的幾何意義計(jì)算.解如圖①所示，定積分為圖中陰影部分面積A減去B.解析答案解如圖②所示，定積分為圖中陰影部分面積，解析答案因?qū)Χǚe分的幾何意義理解不準(zhǔn)確致誤例4

如圖所示，f(x)在區(qū)間[a，b]上，則陰影部分的面積S為(

)返回易錯(cuò)易混防范措施錯(cuò)解

錯(cuò)選A或B或C.錯(cuò)因分析

錯(cuò)誤的原因在于對定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹.若在[a，c]上，f

(x)≤0，在[c，b]上，f

(x)≥0，故選D.防范措施定積分的幾何意義是在x軸上半部計(jì)算的面積取正值，在x軸下半部計(jì)算的面積取負(fù)值.返回防范措施當(dāng)堂檢測12341.把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個(gè)小區(qū)間的長度均為(

)解析區(qū)間[1,3]的長度為2，B解析答案1234A.與f

(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)B.與f

(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān)C.與f

(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān)D.與f

(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)A答案1234

解析答案1.0212344.根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號連接下列式子：><答案課堂小結(jié)1.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟：(1)分割：n等分區(qū)間[a，b]；(2)近似代替：取點(diǎn)ξi∈[xi－1，xi]；也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形，為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn)).返回3.可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分.4.定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運(yùn)算.§1.6

微積分基本定理第一章導(dǎo)數(shù)及