三角形全等的證明教學設計

《三角形全等的證明》教學設計教學目標：1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的對應元素；2、知道全等三角形的性質,能用符號正確地表示兩個三角形全等；3、能熟練找出兩個全等三角形的對應角、對應邊．教學重點:全等三角形的性質．教學難點:找全等三角形的對應邊、對應角教學過程：一、提出問題，創(chuàng)設情境提問學生：你認為數學是一門什么樣的學科？教師闡述觀點數學是一門實用性很強的學科，舉例說明。通過這一章的學習（板書課題）讓學生可以利用相關知識去解決生活中的一些實際問題.二、講授新課1、讓同學們來找一找生活中一模一樣的圖形，教師給與肯定并且也展示一些全等形的圖片，引出全等形的特征---形狀相同，大小相等。通過圖片展示你是如何知道這些圖形是全等形的呢？可以通過讓它們重合的辦法說明，從而得出能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。2、給出三個三角形（有兩個是全等形），讓孩子們來展示它們是不是全等三角形，引導學生說出全等三角形的概念。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形3、全等三角形是不是隨便什么姿勢擺在一起都能重合呢?(拿出那兩個全等的三角形動手操作)答案是否定的，如果想把兩個全等三角形重合，就一定要遵循一個重要的規(guī)則-----對應（板書）。大邊對大邊，小邊對小邊，大角對大角，小角對小角。（再次展示圖片）互相重合的頂點叫對應頂點，互相重合的邊是對應邊，互相重合的角叫對應角。4、重要的概念都有特殊的符合，全等也不例外。形狀Shape相同,大小相等=。一個懶洋洋睡倒的“S”加“=”就組成了“≌”，讀作“全等于”。有了全等符號，我們就可以用它來表示兩個全等三角形的關系了。提出問題：兩個三角形全等，對應邊和對應角之間有什么關系呢？讓學生通過比較得出全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等。三、課堂練習1.三角形移動位置后形成了一個新的三角形。你能找出這些全等的三角形并把它們表示出來嗎？2.如果AB=4cm,BD=3cm，AD=5cm，那么BC的長是（

）

A.3cm

B.5cm

C.4cm

D.無法確定3.圖中兩個三角形全等，其中B和D是對應頂點，AB和CD是對應邊，請按對應頂點的對應順序寫出表示這兩個三角形全等的式子；寫出這兩個全等三角形的對應邊和對應角

三、課堂小結1.能夠完全重合的兩個圖形叫做

。其中：互相重合的頂點叫做

?；ハ嘀睾系倪吔凶?/p>

。互相重合的角叫做

。

2.

叫全等三角形。3.“全等”用符號“

”來表示，讀作“

”4.全等三角形的

相等

全等三角形的

相等5.書寫全等式時要求是把

字母放在對應的位置上四、作業(yè)自制兩個全等三角形拼一拼1.一條邊重合2.一個角重合3.一個點重合

《全等三角形的判定》基于數學核心素養(yǎng)的教學設計一、問題的提出

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出數學教學中應特別重視的10個重要能力，這十個核心概念總體上提出對學生在數學學習中的素養(yǎng)基本要求，同時是學生數學素養(yǎng)中的重要標志，更是學生在進行數學學習過程中關鍵、必要的基本素養(yǎng)。所謂數學核心素養(yǎng)，簡單來說就是滿足學生終身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的、關鍵的數學素養(yǎng),其中有數學化、運算、推理、意識、思想方法以及情感態(tài)度價值觀[1]?？傊?，初中數學教學要樹立以發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)作為教學導向的意識，為學生構建能夠培養(yǎng)核心素養(yǎng)的數學教學情境。在初中數學教學中，培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)是當前初中教學探討的熱點，筆者認為，培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的關鍵在于要將其嚴格落實在實際教學中，同時還要按照核心素養(yǎng)的相關要求進行數學課程的設計下面以“全等三角形的判定”設計為例,分享筆者的實踐與思考。教材中三角形全等的判定中的幾種判定方法，是作為基本事實提出來的。常規(guī)的教材處理是分４課時完成：第１課時是“ＳＳＳ”，第２課時是ＳＡＳ”，第３課時是“ＡＳＡ”、“ＡＡＳ”，第４課時是“ＨＬ”。但是，筆者認為最關鍵的是讓學生理解為什么需要三個條件，如何去選擇條件，這樣才能讓學生知其所以然，同時有利于培養(yǎng)學生的數學思維和實踐能力，所以在教學設計中遵循啟發(fā)式教學原則，用設問形式創(chuàng)設問題情景，設計－系列實踐活動，引導學生動手操作，探索交流，發(fā)現結論。根據初中幾何教學要求以及現階段學生實際，在真正理解了全等三角形的概念的基礎上，把三角形全等的五個判定集結在一節(jié)數學課中進行教學講解，引導學生根據教師所講知識進行相應的總結，以此來完善學生對本節(jié)課知識的全面認識。數學課程中常見的命題構成了中學數學知結構的核心，其主要形式是公式、定理、原理法則[2]。在“幾何領域”這部分的數學教學中，一方面教師要引導學生能夠通過探究簡單的圖像或圖形（三角形）進行相應的觀察和思考，另一方面教師要重視對學生三角形全等證明為主要的思維邏輯的訓練教學，以此來逐步培養(yǎng)學生對推理方面學習的數學核心素養(yǎng)。本節(jié)課的教學策略要有利于暴露數學思維的過程，構建三角形全等的判定整體知識。數學規(guī)則課的教學過程包括數學規(guī)則的習得，轉化和應用等三個階段[3]。數學規(guī)則課的教學操作模式：問題情境--建構規(guī)則---變式練習---獲得規(guī)則---運用規(guī)則--反饋評價[4]?；谝陨险J識，筆者設計的規(guī)則課型的“非線性”[5]教學法：問題情境--建構規(guī)則---疑點突破---獲得規(guī)則---運用規(guī)則--反饋評價。二、

對《三角形全等的判定》新授課的創(chuàng)新設計

在設計理念上，秉持“數學教育要以理性思維育人”的教育思想［6］，崇尚“數學教學要為思維而教”的教學觀［7］，將教學過程分為以下四個環(huán)節(jié)：

（一）

創(chuàng)設情境，提出問題．

創(chuàng)設有意義的數學問題情境，不僅僅能夠激發(fā)學生對所學知識的積極性，同時還能夠引導學生積極參與到教學討論中，最后解決數學問題。

問題1：如下圖所示，小明加衣柜上有需要鑲嵌兩塊全等三角形作為裝飾，但其中有一塊玻璃打碎成如下圖的三快，若到玻璃店配以快完全一樣的玻璃，小明該怎么做？

問題2：假如小明家衣柜上只有一塊三角形的裝飾玻璃，小明不小心將這個玻璃打碎成三塊玻璃，要想到玻璃店去配一塊相同的玻璃，那么最簡單的方法是小明應該帶那塊玻璃去玻璃店呢？即在兩個三角形中，三對角，三對邊滿足怎樣的條件才能保證兩個三角形全等呢？（二）探究新知，構建規(guī)則

對于思維行為表現主要在于學生深入思考問題，在對比的前提下做出相應的決策，集合教學過程中的比較、評價、證明教學行為，這是指向數學思維的課堂的典型特征。

教師：在情境2中，要檢驗三角形是否重合如果用概念難以做到，因此考慮通過考察三角形的邊和角去判定三角形是否全等，而且希望判定的條件能夠盡量少一些。我們知道，三角形有３條邊、３個角，內角的和１８０°，任何兩邊之和大于第３邊．若我們以邊和角的元素個數由少到多，請同學們試試可能有哪些組合？

問題3：考慮一個元素，情況怎樣？

①單純考慮邊

生3：顯然，已知一條線段并以這一條線段為邊可以作無數個三角形。

②單純考慮角

生4：我發(fā)現已知一個角，能作無數個三角形。我們手上的三角板，都有一個直角，但不一定都能重合。

生4：已知一個角或線段，可以畫出無數個三角形，同桌之間畫的三角形也不能重合。

教學意圖：引導學生進行動手操作和觀察，學會從滿足一個條件對應相等時能否保證兩個三角形全等的兩種情況。

問題4：考慮二個元素，情況怎樣？

①單純考慮邊

生5：已知兩條線段并以這兩條線段為邊也能作無數個三角形。

師：誰能說明為什么有無數個三角形嗎？生6：已知線段

ＡＢ＝2ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ，求作△ＡＢＣ，線段ＡＣ的長的范圍是1ｃｍ＜ＡＣ＜5ｃｍ．所以線段ＡＣ的值由無數個，顯然可以構造無數個三角形．

②單純考慮角

生7：我發(fā)現已知兩個角，能作無數個三角形．我們手上的三角板，有一個是600，一個是300，但它們不一定重合。

③同時考慮邊和角

生8：我發(fā)現已知一個角和一條邊對應相等，如下圖，固定AB和，點C可以在射線任意取，能作無數個三角形。同桌之間畫的三角形也不能重合。

教學意圖：各個小組的同學根據教師制定教學內容進行探究，最終得出滿足兩個條件對應相等的兩個三角形不一定是全等的。

問題5：考慮三個元素，情況怎樣？

①單純考慮邊

師：已知線段ａ，ｂ，ｃ，作△ＡＢＣ，使得ＡＢ＝ｃ，ＡＣ＝ｂ，ＢＣ＝ａ．請每位同學拿出學案，完成指定任務1。

師：作三角形的關鍵點在于需要確定什么？

②單純考慮角

③同時考慮邊和角

師:請看剛才所老師作的△ＡＢＣ，若已知AB,AC，那么請問同學們已知的一個角有哪些類型呢？

不少學生畫不出任務3的圖形。若從核心素養(yǎng)這一角度來看待這部分的數學教學，這就需要教師為學生設計符合教學實際的體驗活動，例如腳手架，筆者對上述的任務3進行相應的補充，并開展以下教學活動：其一，為學生準備一套三節(jié)折尺（一個小組一套），然后讓學生自己去“做”。要求學生制作折尺中在第一節(jié)與第二節(jié)中不會變化的一個角，之后讓第三節(jié)折尺圍繞連接點進行轉動，在轉動是學生發(fā)現其與第三條邊可能會出現兩個交點，這也就說明在“邊邊角”相等時，可能會出現兩個形狀不同的三角形，顯而易見，這兩個三角形也就不能是全等三角形。其二，讓學生離開做的環(huán)節(jié)進行相應的思考，這時候學生的思維經過加工就形成了對剛才學習活動后的表象，筆者要求學生在進行小組交流過程中，要明確與小組中同學證明“邊邊角”無法證明三角形全等的過程，在證明的過程中離不開對數學語言的應用，必要情況下還需要結合相應的動畫，也可以是通過在草稿紙上畫相應的圖，有多種表現方式也就說明學生對本節(jié)課的知識理解角度越多，這也就在一定程度上加深學生對本節(jié)課所學知識的認識。問題6：考慮四個元素，情況怎樣？此時，筆者向學生提出，如果有四對元素對應相等，同學們怎么考慮這個問題？

（三）疑點突破，拓展提升問題7：通過對△ABC進行觀察和分析，那么最少需要幾個元素就能夠確定該三角形，并構成全等條件呢？

《全等三角形的判定》教學設計及課后反思寫在前面：有人說世界上最幸福的生活方式莫過于和一群志同道合的人奔跑在理想的路上。低頭，有堅定的腳步；抬頭，有清晰的遠方；回頭，有滿滿的收獲。七月的陽光熱情似火，因為“自學?議論?引導”教學法，我們從蘭州來到如皋，聆聽了全國著名中學數學特級教師李庾南老師、如皋市教師發(fā)展中心印冬建老師、南通市數學會袁亞良老師等眾多名師的專題講座，受益匪淺。在2023年7月7日下午的講座結束時突然接到一個任務——明天各組選一位老師結合前幾天聆聽專題講座的情況上一節(jié)模擬課，要求以人教版課本為主，從《全等三角形的判定》、《勾股定理的逆定理》、《一次函數的習題課》三個課題中選一個講解，我被選中作為我們組的代表上課，被選中時我整個人都是懵的，一方面是我們以前用的都是北師大版課本，對于人教版課本的編排不是很熟悉，二是手頭沒有任何資料，巧婦難為無米之炊。不過，好在有小組內來自蘭州市第十九中學的張潔、于曉璐、東方中學的張亞鵬、蘭州市第八十三中學的王鳳琴、蘭州市第十六中學的趙敏、蘭州市第十一中學的沈澤軍、蘭州市第四十六中學的鄭麗娜、蘭州市第三十六中學的漆建平、蘭州天慶實驗中學的陳紅、蘭州市第三十五中學的張瑩等十多位老師聚在一起幫我出謀劃策，討論在沒有課本、沒有電腦甚至什么都沒有的情況下該怎么設計這一節(jié)課，怎么完美的呈現這一節(jié)課，從下午六點一直討論到了晚上十二點，真的很感動，由衷的感謝這些老師給予的幫助與支持！

01教材分析?

幾何，是研究空間結構及性質的一門學科，最初的幾何學是平面幾何，而平面幾何作為初中研究的對象，又以三角形為基礎，因此研究三角形的有關知識就顯得尤為重要。而全等三角形是初中幾何的重點，是研究圖形性質的一個基礎，它在人教版中處于第12章，上承初一的點，線的研究，下接四邊形，圓等平面幾何圖形的教學，它是一種證明等線、等角的重要工具，同時全等三角形又解決了實際生活中的很多問題。因此，這一章的內容在整個平面幾何中舉足輕重?！度热切蔚呐卸ā芬还?jié)包含了一般三角形的4個判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS）和直角三角形特有的判定方法（HL）,分四個課時，本次針對前三課時的內容學材再建構教學。02教學目標1.經歷探索三角形全等的探索活動，初步了解三角形全等的條件。

2.經歷畫圖、觀察、比較、交流、歸納、概括的認知過程，發(fā)展研究問題的數學思維和方法，培養(yǎng)學生良好的思維品質。03教學重難點教學重點：

探究三角形全等所需條件的過程，利用SSS,SAS,ASA,AAS等判定兩個三角形全等。教學難點：

三角形全等判定條件的探索過程。04教學過程一、復習引入

活動內容：復習全等三角形的定義，分析定義的雙重屬性，然后提出問題：畫一個三角形并且使每位同學畫出來的三角形全等需要什么條件？六個條件能不能少一點？六個元素中幾個對應相等就能判定它們全等？

活動目的：通過復習，使學生回憶三角形全等的定義和性質，并通過問題的提出引導學生思考:如何確定一個三角形？二、合作探究1.活動內容：一個條件（一邊，一角）只給定一條邊時：?只給定一個角時：活動目的：引導學生體會三角形的三個頂點未被確定，從而三角形不一定全等.結論：只給出一個條件時，不能保證所畫出的三角形全等。2.活動內容：兩個條件（兩邊，一邊和一角，兩角）分別按照下面的條件畫三角形.（1）三角形的一個內角為30°，一條邊為3cm；（2）三角形的兩個內角分別為30°和50°；（3）三角形的兩條邊分別為4cm，6cm.?活動目的：讓學生實際去畫一畫，感受反例的作用,進一步體會三角形的三個頂點未被確定，從而三角形不一定全等.結論：只給出兩個條件時，也不能保證所畫出來的三角形全等.3.三個條件問題：

三個條件，如何分類？（三邊，三角,兩邊一角，一邊兩角）設計意圖：滲透分類的思想與方法.

活動內容：給出三條邊的長度畫三角形（注意三角形的構成條件）.動手操作畫圖:三角形的三條邊分別為4cm，5cm，6cm。

小組同學互相比較、討論、觀察得出結論.結論：三邊對應相等的兩個三角形全等，簡記為“邊邊邊”或“SSS”.??

活動目的：引導學生體會三角形的三個頂點一旦被確定，三角形就被唯一確定，這樣無論畫多少個三角形，它們的形狀和大小都一樣，那么三角形一定全等，也為后面學生自主探索提供一個方向.三、自主探索活動內容：利用類比思想思考還可以給出什么條件能夠保證所畫出來的三角形全等.活動目的：根據已知三條邊長探索三角形全等的活動經驗，思考還可以根據哪些條件可以得到兩個三角形全等，讓學生自主總結出SAS,ASA,AAS等判定兩個三角形全等。四、歸納小結

引導學生回顧本節(jié)課探索三角形全等的過程并樹立本節(jié)課學習過程中用到的數學思想與數學方法。五、課后作業(yè)

分層布置作業(yè)A：畫出本節(jié)課的思維導圖；B：完成課后隨堂練習題；C：寫一篇關于三角形全等判定的小文章。05專家點評

講完這節(jié)課以后，南通市學科帶頭人、南通市市直學校教育管理中心初中數學教研員吳小兵老師和蘭州市數學教研員龔成軍老師對于這節(jié)課的講授情況做了細致入微的點評。

兩位老師指出來