第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)清單總結(jié)梳理高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

新教材人教A版2019版數(shù)學(xué)必修第一冊第四章知識(shí)點(diǎn)清單目錄第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)4.2指數(shù)函數(shù)4.3對(duì)數(shù)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)一、根式1.n次方根(1)定義：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)表示：n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范圍n為奇數(shù)nRn為偶數(shù)±n[0，+∞)注意：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作n0=02.根式(1)定義：式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)(2)性質(zhì)(其中n>1，且n∈N*)：①(na)n=a②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nan=a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

amn=nam(a>0，m，n∈N2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

a-mn=1amn=1nam規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.三、實(shí)數(shù)指數(shù)冪1.一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).這樣，指數(shù)冪ax(a>0)中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)逐步拓展到了實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).四、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)1.aras=ar+s(a>0，r，s∈R)；2.(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)；3.(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).4.拓展：aras=ars(a>0，r五、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡、求值1.運(yùn)用根式的性質(zhì)解題時(shí)的注意點(diǎn)(1)分清根式是奇次根式還是偶次根式：n>1，且n為奇數(shù)時(shí)，(na)n=nan=a，n>1，且n為偶數(shù)，a≥0時(shí)，(na)n才有意義，且(na)nn>1，且n為偶數(shù)，a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，nan均有意義，且n(2)注意變式、整體代換，以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的運(yùn)用，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論.2.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化簡、求值的技巧(1)將根式化為冪的形式，小數(shù)指數(shù)冪化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).(2)底數(shù)是小數(shù)的，要先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).注意：化簡的結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).六、指數(shù)冪的條件求值問題解決指數(shù)冪的條件求值問題的一般方法——整體代換法1.將已知條件或所求代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)變形，從而通過“整體代換法”求出代數(shù)式

的值.整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算常用的方法，分析觀察條件與所求代數(shù)式的

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恒等式是關(guān)鍵.2.常用的變形公式如下：(1)a±2a12b12+b=(a(2)(a12+b12)(a(3)a32+b32=(a12(4)a32b32=(a14.2指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)的概念1.一般地，函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.二、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1圖象??定義域R值域(0，+∞)性質(zhì)過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0，1)，即x=0時(shí)，y=1單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1對(duì)稱性y=ax與y=1ax的圖象關(guān)于三、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域問題1.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域的求法(1)函數(shù)y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同；(2)求函數(shù)y=af(x)的值域，需先確定f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性確定函數(shù)y=af(x)的值域；(3)求函數(shù)y=f(ax)的定義域，需先確定y=f(u)的定義域，即u的取值范圍，亦即ax的取值范圍，由此構(gòu)造關(guān)于x的不等式(組)，確定x的取值范圍，即y=f(ax)的定義域；(4)求函數(shù)y=f(ax)的值域，需先利用函數(shù)u=ax的單調(diào)性確定其值域，即u的取值范圍，

再確定函數(shù)y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域.(以上a均滿足a>0，且a≠1)四、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題1.形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)u=f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)u=f(x)的單調(diào)遞減(增)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.2.形如y=f(ax)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法：通過內(nèi)層函數(shù)u=ax的值域

確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域，在此定義域內(nèi)討論外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.五、指數(shù)冪的大小比較1.比較指數(shù)冪大小的方法（1）底數(shù)形同，指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷（2）底數(shù)不同，指數(shù)相同：利用冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷（3）底數(shù)不同，指數(shù)不同：通過中間量來比較六、指數(shù)方程與不等式的解法1.指數(shù)方程的解法(1)對(duì)于af(x)=b(a>0，且a≠1)型的指數(shù)方程，通常將方程兩邊化為同底數(shù)冪的形式，用指數(shù)相等進(jìn)行求解.(2)解復(fù)雜的指數(shù)方程時(shí)，常用換元法轉(zhuǎn)化為解一元二次方程.用換元法時(shí)要特別

注意“元”的范圍，用一元二次方程求解時(shí)，要注意對(duì)二次方程根的取舍.2.簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化成以a為底數(shù)的冪的形式，再借助y=ax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助函數(shù)y=ax與y=bx(a，b>0，且a，b≠1)的圖象求解.4.3對(duì)數(shù)一、對(duì)數(shù)的概念1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)（1）以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為lgN；（2）以e(e=2.71828…)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記為lnN.3.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系當(dāng)a>0，a≠1時(shí)，ax=N?x=logaN，這是指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的依據(jù).相關(guān)結(jié)論如下：(1)負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)；(2)loga1=0，logaa=1(a>0，且a≠1)；(3)=N，logaaN=N(a>0，且a≠1，N>0).二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)logaMN=logaMlogaN(3)logaMn=nlogaM(n∈R).三、對(duì)數(shù)換底公式1.對(duì)數(shù)換底公式：logab=logcblogca(a>0，且a≠1；b>02.相關(guān)結(jié)論：logab=1logba，loganbm=mnlogab(a>0，且a≠1；b>0四、對(duì)數(shù)的運(yùn)算1.利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值的關(guān)鍵是化異為同,先使各項(xiàng)底數(shù)相同,再找真數(shù)間的關(guān)系2.對(duì)于復(fù)雜的算式，可先化簡再計(jì)算.化簡的常用方法：①“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成兩對(duì)數(shù)之和(差)；②“收”，將同底對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù).3.在利用換底公式進(jìn)行化簡、求值時(shí)，一般情況下是根據(jù)題中所給對(duì)數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，一般可以選擇以10為對(duì)數(shù)式的底數(shù)進(jìn)行換底.4.利用換底公式化簡與求值的思路：(1)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算→換成同一底數(shù).(2)統(tǒng)一換為常用對(duì)數(shù)(或自然對(duì)數(shù)、指定底的對(duì)數(shù))→化簡、求值.五、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義和運(yùn)算性質(zhì)，尤其要注意

條件和待求式之間的關(guān)系.2.解決對(duì)數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，首先要理解題意，弄清關(guān)鍵詞及字母的含義，然后恰當(dāng)設(shè)

未知數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型，最后轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)問題求解.4.4對(duì)數(shù)函數(shù)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1.一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，+∞).二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1圖象??定義域(0，+∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即x=1時(shí)，y=0單調(diào)性在(0，+∞)上是減函數(shù)在(0，+∞)上是增函數(shù)函數(shù)值的變化當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0對(duì)稱性y=logax與y=log1ax的圖象關(guān)于三、反函數(shù)1.一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)互為反函

數(shù).它們的定義域與值域正好互換.2.拓展：(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同，但單調(diào)區(qū)間不一定相同.當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=ax在R上是增函數(shù)，函數(shù)y=logax在(0，+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=ax在R上是減函數(shù)，函數(shù)y=logax在(0，+∞)上是減函數(shù).(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.四、不同函數(shù)增長的差異y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0，+∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增圖象隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸變“緩”直線上升增長速度y=ax(a>1)的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于y=kx(k>0)的增長速度，y=kx(k>0)的增長速度快于y=logax(a>1)的增長速度結(jié)果存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>kx>logax五、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1.對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題：求函數(shù)y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的圖象所過定點(diǎn)時(shí)，只需令f(x)=1，求出x，即得定點(diǎn)為(x，m).2.根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法作直線y=1與所給圖象相交，比較交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即得各個(gè)底數(shù)的大小關(guān)系.3.函數(shù)圖象的變換規(guī)律(1)一般地，函數(shù)y=f(x+a)+b(a，b為實(shí)數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或

向右平移|a|個(gè)單位長度后，再沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長度得到的.(2)含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對(duì)稱變換得到的.六、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域問題1.對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域(1)求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，要注意真數(shù)大于0，即在y=logaf(x)(a>0，且a≠1)中應(yīng)首

先保證f(x)>0；(2)若底數(shù)中也含有變量，則底數(shù)應(yīng)大于0且不等于1.2.求對(duì)數(shù)型函數(shù)值域的常用方法(1)直接法：根據(jù)函數(shù)解析式的特征，從函數(shù)自變量的范圍出發(fā)，通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合解析式，直接得出函數(shù)的值域.(2)配方法：當(dāng)所給的函數(shù)可化為二次函數(shù)形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，且a≠1))時(shí)，可以用配方法求函數(shù)的值域.(3)單調(diào)性法：根據(jù)所給函數(shù)在其定義域(或定義域的某個(gè)子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域.(4)換元法：求形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的函數(shù)的值域的步驟：①換元，令u=f(x)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出u的范圍；②利用y=logau的單調(diào)性、圖象求出y的取值范圍.七、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性1.求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性的要點(diǎn)(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.(2)若a>1，則y=logaf(x)的單調(diào)性與y=f(x)的單調(diào)性相同；若0<a<1，則y=logaf(x)的單調(diào)性與y=f(x)的單調(diào)性相反.八、比較對(duì)數(shù)值的大小1.比較對(duì)數(shù)值大小常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化進(jìn)行比較.(3)底數(shù)和真數(shù)都不同的，找中間量比較.(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.九、解對(duì)數(shù)不等式1.對(duì)數(shù)不等式的常見類型及解題方法(1)形如logaf(x)>logab的不等式，借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論；(2)形如logaf(x)>b的不等式，應(yīng)將b化成以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式(即b=logaab)，再借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解；(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，或利用圖

象求解.十、幾種常見的函數(shù)模型的選擇1.常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點(diǎn)是增長速度不變，可稱為“直線上升”.(2)指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩，可稱為“對(duì)數(shù)增長”.2.不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實(shí)生活中不同的變化規(guī)律(1)線性函數(shù)模型適合描述增長速度不變的變化規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)模型適合描述增長速度急劇的變化規(guī)律；(3)對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型適合描述增長速度平緩的變化規(guī)律.因此，需抓住題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來解決實(shí)際問題.4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解4.5.2用二分法求方程的近似解一、函數(shù)的零點(diǎn)1.函數(shù)的零點(diǎn)的概念：對(duì)于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).2.方程、函數(shù)、函數(shù)圖象之間的關(guān)系：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).二、函數(shù)零點(diǎn)存在定理1.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.三、用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的近似值1.二分法：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.2.用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)近似值的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)x0的近似值的一般步驟如下：(1)確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0.(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c.(3)計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：①若f(c)=0(此時(shí)x0=c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)f(c)<0(此時(shí)x0∈(a，c))，則令b=c；③若f(c)f(b)<0(此時(shí)x0∈(c，b))，則令a=c.(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：若|ab|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2~4.四、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布問題1.設(shè)x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,令f(x)=ax2+bx+c(a>0)，則x1，x2的分布情況如下表：根的分布圖象等價(jià)條件x1<x2<k?k<x1<x2?m<x1<k<x2<nx1，x2∈(k1，k2)只有一根在(k1，k2)內(nèi)或f(k1)·f(k2)<0五、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷及應(yīng)用1.判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要方法(1)轉(zhuǎn)化為解相應(yīng)的方程，根據(jù)方程的解進(jìn)行判斷.(2)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，判斷它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，滿足f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.2.已知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，通常要對(duì)已知條件進(jìn)行變形，變形的方向：(1)化為常見的基本初等函數(shù)；(2)盡量使參數(shù)與變量