力學12工力第四章

第四章空間力系

4．1空間匯交力系1.力在直角坐標軸上的投影X=Fcos

Y=Fcos

Z=Fcos

或X=Fsin

cos

Y=Fsin

sin

Z=Fcos

xyzFOXYZxyYXOFZFFxy2.力沿直角坐標軸的分解F=Fx+Fy+FzFx=XiFy=YjFz=ZkF=(X2+Y2+Z2)1/2cos(F，i)=X/Fcos(F，j)=Y/Fcos(F，k)=Z/FxyzFOXYZxyzFOFxFzFyijk3.空間匯交力系的合力R=F1+F2+…+Fn=

FRx=

XRy=

YRz=

ZR=[(

X)2+(

Y)2+(

Z)2]1/2cos

=Rx/Rcos

=Ry/Rcos

=Rz/R4.空間匯交力系的平衡條件R=

F=0即

X=0

Y=0

Z=0

4．2力對軸的矩和力對點的矩1.力對軸的矩mz(F)=mO(Fxy)=

Fxyh=

2ΔOab

用右手螺旋法則確定正負號FFxyABabxyzhOmz(F)=mO(Fxy)根據(jù)合力矩定理得mO(Fxy)=mO(Fx)+mO(Fy)=-yFx+xFy由Fx=X，F(xiàn)y=Y得

mO(Fxy)=xY-yX

同理得F對y，x軸的矩的解析表達式為my(F)=zX-xZmz(F)=yZ-zYxyzFOFxFyFzFxFyFxyOxyz2.力對點的矩用矢量表示用右手螺旋規(guī)則定義力矩矢。

mO(F)

=Fh=2ΔOAB

mO(F)

=Frsin

mO(F)=r

Fr=xi+yj+zkF=Xi+Yj+ZkmO(F)=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k力矩矢為定位矢量。zxyA(x,y,z)BOhrijkMO(F)F

3.力對點的矩與力對通過該點的軸的矩的關系由力對點的矩的解析表達式可知，力矩矢mO(F)在三個坐標軸上的投影為：[mO(F)]x=yZ-zY[mO(F)]y=zX-xZ[mO(F)]z=xY-yX與力對軸的矩的解析表達式比較可知：[mO(F)]x=mx(F)[mO(F)]y=my(F)[mO(F)]z=mz(F)4．3空間力偶FF'm空間力偶的等效條件：作用在同一剛體的兩平行平面內的兩個力偶，若它們的力偶矩的大小相等和力偶的轉向相同，則兩個力偶等效?？臻g力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶作用面的方位、力偶的轉向?？臻g力偶的矢量表示：力偶矩矢m，為自由矢量1.空間力偶等效條件，力偶矩以矢量表示2.空間力偶系的合成任意個在空間分布的力偶，可合成為一個力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即M=m1+m2+…+mn=

m合力偶矩矢在一軸上的投影，等于各分力偶矩矢在同一軸上的投影的代數(shù)和，即Mx=m1x+m2x+…+mnx=

mxMy=m1y+m2y+…+mny=

myMz=m1z+m2z+…+mnz=

mz合力偶矩矢的大小為：

M=[(Mx)2+(My)2+(Mz)2]1/2合力偶矩矢與直角坐標軸x、y、z間的夾角余弦為：cos

=Mx/Mcos

=My/Mcos

=Mz/M3.空間力偶系的平衡條件

m=0即

mx=0

my=0

mz=04.4空間任意力系向一點的簡化1.空間任意力系的主矢稱R'=F1+F2+…+Fn=

F為空間任意力系的主矢。主矢在直角坐標軸上的投影為：Rx'=

XRy'=

YRz'=

Z主矢的大小為：R'=[(

X)2+(

Y)2+(

Z)2]1/2主矢與x，y，z軸的方向余弦分別為：cos(R'，i)=Rx'/R'cos(R'，j)=Ry'/R'cos(R'，k)=Rz'/R'zyxF1F2F3O2.空間任意力系的主矩稱MO

=mO(F1)+mO(F2)+…+mO(Fn)=

mO(F)為空間任意力系對O點的主矩。主矩在直角坐標軸上的投影為：MOx=[

mO(F)]x=

mx(F)MOy=[

mO(F)]y=

my(F)MOz=[

mO(F)]z=

mz(F)主矩的大小為：MO=[(MOx)+(MOy)+(MOz)]1/2主矩與x，y，z軸的方向余弦分別為：cos(MO，i)=Mox/MOcos(MO，j)=Moy/MOcos(MO，k)=Moz/MOzyxF1F2F3O3.空間任意力系向一點的簡化

根據(jù)力線平移定理，將各力向簡化中心O平移，得到一個空間匯交力系和一個附加的空間力偶系。zyxF1'F2'F3'Om1m2m3空間匯交力系可合成為一個合力，即

RO=F1'+F2'+…+Fn'=

F

'

=

F1+F2+…+Fn=

F=R'

附加的空間力偶系可合成為一個合力偶，合力偶矩為

MO=m1+m2+…+mn=

m=mO(F1)+mO(F2)+…+mO(Fn)

=

mO(F)=MOzyxORO=R'MO=MO結論

空間任意力系向任一點O簡化，可得一力和一力偶，其中力等于平面任意力系的主矢，力偶矩矢等于力系對O點的主矩。zyxORO=R'MO=MO4．5空間任意力系的平衡方程

空間任意力系處于平衡的必要與充分條件是：該力系的主矢和對任一點的主矩都等于零，即R'=0MO=0

將以上兩式改為投影形式，并根據(jù)力對點的矩與力對軸的矩之間的關系得

X=0

Y=0

Z=0

mx(F)=0

my(F)=0

mz(F)=0

空間一般力系與各種特殊力系的關系：

空間平行力系、空間匯交力系、平面任意力系、平面匯交力系都可以看成是空間任意力系的特殊情況，各種情況的平衡方程都可以由一般情況的平衡方程中導出?？臻g平行力系

Z=0

mx(F)=0

my(F)=0xyzF1F2F3FnO空間匯交力系

X=0

Y=0

Z=0xyzF1F2FnO平面任意力系

X=0

Y=0

mz(F)=0xyzOF2FnF14．6空間約束的類型舉例1．約束中約束反力未知量的個數(shù)當剛體受平面力系作用時，每個約束的反力的未知量可能是一個到三個。當剛體受空間力系作用時，每個約束的反力未知量可能是一個到六個。決定每中約束未知量個數(shù)的基本方法是：觀察物體在空間的六種可能運動（沿x，y，z三個軸的移動和繞這三個軸的轉動），有那幾種運動被約束所阻礙，阻礙幾種運動，就有幾個約束未知數(shù)。阻礙移動的未知數(shù)為力，阻礙轉動的未知數(shù)為力偶。2．空間約束的類型及其約束反力舉例見P170表4—1。4．7空間力系平衡問題舉例[例]用起重桿吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上，連線CD平行于x軸。已知：CE=EB=DE，

=30

，CDB平面與水平面間的夾角EBF=30

，物重Q=10kN。起重桿的重量不計，試求起重桿所受的壓力和繩子的拉力。xyzACEDBQF30

X=0,T1sin45

－T1sin45

=0

Y=0，Ssin30

－T1cos45

cos30°

－T2cos45

cos30

=0

Z=0，T1cos45

sin30

+T2cos45

sin30

+Scos30

－Q=0xyzACEDBQF30

T1T2S求解平衡方程得:T1=T2=3.54kNS=8.66kN[例]均質長方形薄板重Q=200N,用球鉸鏈A和蝶鉸鏈B固定在墻上,并用繩子CE維持水平位置,繩子CE縛在薄板上的C點,并掛在釘子E上,釘子釘入墻內,并和點A在同一鉛直線上。

ECA=BAC=30°。求繩子的拉力和支座反力。XA