函數(shù)的單調(diào)性第一課時(shí) 課件

3.2.1函數(shù)的單調(diào)性24681012141618202224

108642-20θ/oCt/h某市一天24小時(shí)的氣溫變化圖y＝f(x)，x∈[0，24]請(qǐng)問(wèn)氣溫在哪段時(shí)間內(nèi)是逐漸升高的或下降的?一、引例從直觀上看，函數(shù)圖象這種上升或下降的變化趨勢(shì)就是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)——函數(shù)的單調(diào)性。xOy1124-1-2

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2圖象是下降的，當(dāng)x>0,時(shí)f(x)=x2圖象是上升的。即f(x)隨著x的增大而減小；即f(x)隨著x的增大而增大。二、基礎(chǔ)知識(shí)講解思考1：對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，說(shuō)說(shuō)它圖象從左到右是怎樣變化的？這反映了函數(shù)在數(shù)量上怎樣的變化規(guī)律？當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2圖象下降的，

思考2:“當(dāng)x<0時(shí)，f(x)隨著x的增大而減小”,“x增大了”怎么用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示?“對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)減小了”呢？結(jié)合以下表格，你能給出具體的描述嗎？x...-5-4-3-2-1...f(x)=x2...2516941...當(dāng)x從-5增大到-4時(shí)，f(x)從f(-5)=25減小到f(-4)=16；即f(x)隨著x的增大而減小；當(dāng)x從-4增大到-3時(shí)，f(x)從f(-4)=16減小到f(-3)=9；當(dāng)x從-3增大到-2時(shí)，f(x)從f(-3)=9減小到f(-2)=4；......思考3:這樣的過(guò)程寫得完嗎？為什么？對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，自變量x在(-∞，0]上任取兩個(gè)不同值，“當(dāng)x增大時(shí)，f(x)減小”都是成立。yxOx2x1即當(dāng)x<0時(shí)，只要x1<x2，就有f(x1)>f(x2)思考4:如何表述這種任意性？你能寫出更嚴(yán)格的表達(dá)嗎？在(-∞,0]上任取

x1、x2，只要x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，這時(shí)我們說(shuō)函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞減的。

思考5:對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，你能模仿以上的方法，給出“在區(qū)間[0,+∞)上，f(x)隨著x的增大而增大”的符號(hào)語(yǔ)言刻畫嗎？

在[0,+∞)上任取

x1、x2，只要x1<x2，就有f(x1)<f(x2),這時(shí)我們說(shuō)函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)遞增的。

仿照上述方法，用嚴(yán)格的符號(hào)語(yǔ)言刻畫函數(shù)f(x)=|x|的單調(diào)性。練習(xí)對(duì)于函數(shù)f(x)=|x|：在(-∞,0]上，圖象從左至右下降；f(x)隨著x的增大而減??；

任取x1、x2∈(-∞,0]，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)>f(x2),

即函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞減的。

同理，任取x1、x2∈[0,+∞)，當(dāng)x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，即函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞增的。

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I:

如果那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù).

x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

如果

x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù).f(x1)f(x2)x10x2xyf(x1)f(x2)x10x2xy同區(qū)間性有序性任意性二、基礎(chǔ)知識(shí)講解增函數(shù)與減函數(shù)的定義判斷正誤：Oxy12(1)對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

f(x1)<f(x2)，f(x)在區(qū)間D上才是增函數(shù)——強(qiáng)調(diào)“任意”(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間A、B上均為增(減)函數(shù)，一般不能簡(jiǎn)單認(rèn)為f(x)在A∪B上是增(減)函數(shù)——單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”(3)單調(diào)性是針對(duì)函數(shù)的定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言，不一定整個(gè)定義域內(nèi)都具有單調(diào)性.——在談單調(diào)性時(shí)一定要強(qiáng)調(diào)區(qū)間(5)函數(shù)單調(diào)性是對(duì)定義域某個(gè)區(qū)間而言，單獨(dú)一點(diǎn)，由于其函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒(méi)有增減變化，所以不存在單調(diào)性問(wèn)題.-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2例1、下圖是定義在[－5，5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出y＝

f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，y＝

f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).看圖判斷單調(diào)區(qū)間解：y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間有：[-5,-2)，[1，3）

單調(diào)增區(qū)間有：[-2，1）,[3，5].其中y=f(x)在[-5，-2），[1，3）上是減函數(shù)，在[-2，1），[3，5）上是增函數(shù).作圖是發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的方法之一.1、(1)二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的單調(diào)遞增區(qū)間是：(2)二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+1的單調(diào)遞增區(qū)間是：(3)二次函數(shù)y=x2﹣2ax+1的單調(diào)遞增區(qū)間是：(4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞增區(qū)間是：[1,+∞)(-∞,1][a,+∞)練習(xí)鞏固增函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).定義法證明單調(diào)性利用定義法證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：第一步：任取值。任取x1，x2∈D，且x1<x2；第二步：作差、變形。將f(x1)－f(x2)通過(guò)因式分解、配方、有理化等方法，將差轉(zhuǎn)換為積或商的形式，有利于判斷差的符號(hào)。第三步：定號(hào)。確定差的符號(hào)。第四步：下結(jié)論（即根據(jù)定義指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．二、基礎(chǔ)知識(shí)講解∵x1,x2∈(1,+∞)，證明:

x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2∴x1>1,x2>1，∴x1x2>1,x1x2-1>0又x1<x2

，取值練習(xí).根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.∴，即y1<y2∴