2022年福建省龍巖市長汀龍山中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2022年福建省龍巖市長汀龍山中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在古臘畢達哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)對應(yīng)的點可以排成一個正三角形1

3

6

10

15則第個三角形數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知，則A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，則有EF∥BC．這個命題的大前提為（）A．三角形的中位線平行于第三邊B．三角形的中位線等于第三邊的一半C．EF為中位線D．EF∥CB參考答案：A【考點】演繹推理的基本方法．【分析】三段論是由兩個含有一個共同項的性質(zhì)判斷作前提得出一個新的性質(zhì)判斷為結(jié)論的演繹推理．在三段論中，含有大項的前提叫大前提，如本例中的“三角形的中位線平行于第三邊”．【解答】解：本題的推理過程形式是三段論，其大前提是一個一般的結(jié)論，即三角形中位線定理，故選：A．4.若是假命題，則（

）A.是真命題，是假命題 B.、均為假命題 C.、至少有一個是假命題 D.、至少有一個是真命題參考答案：C5.已知函數(shù)f（x）定義域為R，對于定義域內(nèi)任意x、y，都有時，f（x）<0，則

（

）

A．是偶函數(shù)且在（-，+）上單調(diào)遞減

B．是偶函數(shù)且在（-，+）上單調(diào)遞增

C．是奇函數(shù)且在（-，+）上單調(diào)遞減

D．是奇函數(shù)且在（-，+）上單調(diào)遞增參考答案：C6.已知函數(shù)f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在實數(shù)x0，使得對任意的實數(shù)x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，則ω的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】由題意可得區(qū)間[x0，x0+2016π]能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)區(qū)間，利用兩角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根據(jù)2016π≥?，求得ω的最小值．【解答】解：由題意可得，f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函數(shù)f（x）的最大值．顯然要使結(jié)論成立，只需保證區(qū)間[x0，x0+2016π]能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)區(qū)間即可．又f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+=sin（2ωx+）+，故2016π≥?，求得ω≥，故則ω的最小值為，故選：D．7.下列函數(shù)中，最小值是4的函數(shù)是()A．

B．

C．y＝ex＋4e－x

D．y＝log3x＋logx81參考答案：C略8.若，則（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而判斷大小.【詳解】①令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即，故A正確．B錯誤.②令，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，易知C，D不正確，故選：A．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.

9.設(shè)，則的值是（

）A. B.-6 C. D.-3參考答案：A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的對應(yīng)法則即可得到結(jié)果.【詳解】∵∴故選：A【點睛】本題考查分段函數(shù)的對應(yīng)法則，考查指數(shù)與對數(shù)的運算法則，屬于中檔題.10.若復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則

（

）A、

B、

C、

D、2

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若，則

．參考答案：3略12.．平面向量也叫二維向量，二維向量的坐標(biāo)表示及其運算可以推廣到n(n≥3)維向量，n維向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．設(shè)＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，規(guī)定向量與夾角θ的余弦為cosθ＝.已知n維向量，，當(dāng)＝(1,1,1,1，…，1)，＝(－1，－1,1,1,1，…，1)時，cosθ等于______________參考答案：(n-4)/n_略13.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為_________.參考答案：

14.若，若方程表示雙曲線，則的范圍是：_______________．參考答案：略15.如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行；數(shù)字2，3出現(xiàn)在第2行；數(shù)字6，5，4（從左至右）出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7，8，9，10出現(xiàn)在第4行，依此類推，則第20行從左至右的第4個數(shù)字應(yīng)是．參考答案：194【考點】歸納推理．【分析】注意數(shù)字排列的規(guī)律，每行的行號數(shù)和這一行的數(shù)字的個數(shù)相同，奇數(shù)行的數(shù)字從左向右依次減小，偶數(shù)行的數(shù)字從左向右依次增大，每行中相鄰的數(shù)字為連續(xù)正整數(shù)，求出第20行最左邊的一個數(shù)即可求出所求．【解答】解：由題意可知：每行的行號數(shù)和這一行的數(shù)字的個數(shù)相同，奇數(shù)行的數(shù)字從左向右依次減小，偶數(shù)行的數(shù)字從左向右依次增大，故前n﹣1行共有：1+2+…+（n﹣1）=個整數(shù)，故第n行的第一個數(shù)為：+1，第20行的數(shù)字從左向右依次增大，可求出第20行最左邊的一個數(shù)是191，第20行從左至右的第4個數(shù)字應(yīng)是194．故答案為：194．16.若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，k稱為公比和．已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，則

．參考答案：17.半徑為R的圓形鐵片剪去一個扇形，用剩下的部分卷一個圓錐．圓錐的體積最大值為______參考答案：【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，構(gòu)造關(guān)于圓錐體積的函數(shù)，可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時，；時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查圓錐體積最值的求解，關(guān)鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構(gòu)造為關(guān)于圓錐的高的函數(shù)，從而可利用導(dǎo)數(shù)求解得到函數(shù)的最值.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）證明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=．∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC

…①

∵平面ADNM⊥平面ABCD，交線AD，ND⊥AD，ND平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，∵DE平面ABCD，∴ND⊥DE

…②

由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC

∴DE⊥NC

（Ⅱ）解：設(shè)存在P符合題意．由(Ⅰ)知，DE、DC、DN兩兩垂直，以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz（如圖），則D,A,E,C,P．∴，設(shè)平面PEC的法向量為，則，令，則平面PEC的一個法向量為取平面ECD的法向量， ∴，解得，即存在點P，使二面角P-EC-D的大小為，此時AP=．

略19.已知函數(shù)f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求出函數(shù)的最小值，即可求出a的范圍．【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），①當(dāng)a=0時，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，②當(dāng)a＞0時，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，當(dāng)x＜lna時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞lna時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，③當(dāng)a＜0時，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），當(dāng)x＜ln（﹣）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞ln（﹣）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a=0時，f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上單調(diào)遞減，在（ln（﹣），+∞）上單調(diào)遞增，（2）①當(dāng)a=0時，f（x）=e2x＞0恒成立，②當(dāng)a＞0時，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴l(xiāng)na≤0，∴0＜a≤1，③當(dāng)a＜0時，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴l(xiāng)n（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，綜上所述a的取值范圍為20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)（I)當(dāng)時，討論的單調(diào)性； (Ⅱ)設(shè)當(dāng)時，若對任意，存在，使，求實數(shù)n的取值范圍．參考答案：（1）令，當(dāng)時，，令令在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；當(dāng)時，，當(dāng)時，，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；當(dāng)時，，在，是減函數(shù)，在是增函數(shù)；綜上可知：當(dāng)時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；當(dāng)時，在，是減函數(shù)，在是增函數(shù)………8分(2)當(dāng)時，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，對任意，有又已知存在，使，所以，即存在，使，

，即.

………12分21.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，試求當(dāng)△ABC的面積取最大值時，△ABC的形狀．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡已知的式子，化簡后求出cosA的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A；（2）由（1）和不等式求出bc的范圍，由三角形的面積公式，求出△ABC的面積取最大值時邊的值，即可判斷出△ABC的形狀．【解答】解：（1）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由余弦定理得（2b﹣c）?﹣a?=0，整理得b2+c2﹣a2=bc，…∴cosA==，∵0＜A＜π，∴A=；…（2）由（1）