2022-2023學(xué)年江蘇省南京市孫家中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市孫家中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.將函數(shù)f（x）=cos2ωx的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在上為減函數(shù)，則正實(shí)數(shù)ω的最大值為（）A． B．1 C． D．3參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得實(shí)數(shù)ω的最大值．【解答】解：將函數(shù)f（x）=cos2ωx的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=cos2ω（x﹣）=cos（2ωx﹣）=﹣sin2ωx的圖象，若y=g（x）在上為減函數(shù)，則sin2ωx在上為增函數(shù)，∴2ω?（﹣）≥﹣，且2ω?≤，求得ω≤1，故正實(shí)數(shù)ω的最大值為1，故選：B2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（

）A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限參考答案：B略3.在下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是 A．y=xsinx

B．y= C．y=xlnx

D．y=參考答案：D4.要得到的圖象，只要將的圖象（

）

A.向左平移個(gè)單位

B.向右平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位

D.向左平移個(gè)單位參考答案：C因?yàn)?，所以要得到的圖象，只要將的圖象向右平移個(gè)單位，選C.5.已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：D略6.設(shè)集合A=，Z為整數(shù)集，則A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.設(shè)二次函數(shù),若,則的值為

(

)A.正數(shù)

B.負(fù)數(shù)

C.非負(fù)數(shù)

D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能參考答案：A8.過(guò)雙曲線(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交拋物線于點(diǎn)P，O為原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．參考答案：A因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)。設(shè)右焦點(diǎn)為,則也是拋物線的焦點(diǎn)。連接,則，且,所以，設(shè)，則，則過(guò)點(diǎn)F作軸的垂線，點(diǎn)P到該垂線的距離為，由勾股定理得，即，解得，選A.9.若命題“”為假命題，則m的取值范圍是A．(－∞,－1]∪[2,+∞)

B．(－∞,－1)∪(2,+∞)

C．[－1,2]

D．(－1,2)參考答案：C10.已知a＝，b＝，c＝，則a、b、c的大小關(guān)系是

(

)A．c<a<b

B．a(chǎn)<b<c

C．b<a<c

D．c<b<a參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)全集已知實(shí)數(shù)、滿足則的最小值為

.參考答案：做出約束條件表示的可行域，如圖中的三角形，三角形內(nèi)（包括邊）到圓心的最短距離即為r的值，所以r的最小值為圓心到直線y=x的距離，所以的最小值為。12.已知上所有實(shí)根和為

參考答案：10

略13.已知三點(diǎn)在球的球面上，且，若與平面所成角為60°，則球的表面積為_(kāi)_____________________．參考答案：答案：676

解析：

由知，

作⊥平面，垂足為，

∵，∴是△的外心，即中點(diǎn)，

是與平面所成角，°，

∴．14.已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在[0,+∞)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，恒有成立，則x的取值范圍是

參考答案：

15.若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則x的值為

．參考答案：-3略16.已知為非零向量，且?jiàn)A角為，若向量，則

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算F3【答案解析】解析：解：因?yàn)闉榉橇阆蛄?，且?jiàn)A角為，向量=，所以||2=（）2=（）2+（）2+2=1+1+2cos=1+1+1=3，所以||=；故答案為：．【思路點(diǎn)撥】將向量=平方，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積解17.已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8，則a100=．參考答案：98【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a100．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8，∴，解得a1=﹣1，d=1，∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．故答案為：98．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)在一次數(shù)學(xué)考試中，第22,23,24題為選做題，規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題，設(shè)5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為，每位學(xué)生對(duì)每題的選擇是相互獨(dú)立的，各學(xué)生的選擇相互之間沒(méi)有影響.（1）求其中甲、乙兩人選做同一題的概率；（2）設(shè)選做第23題的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：解：(1)設(shè)事件表示甲選22題，表示甲選23題，表示甲選24題，表示乙選22題，表示乙選23題，表示乙選24題，則甲、乙兩人選做同一題事件為，且相互獨(dú)立，所以…………4分(2)設(shè)可能取值為0,1,2,3,4,5.，分布列為012345

………12分略19.已知函數(shù)f(x)＝eax－x，其中a≠0.（1）若對(duì)一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，記直線AB的斜率為k.問(wèn)：是否存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）若a＜0，則對(duì)一切x＞0，f(x)＝eax－x＜1，這與題設(shè)矛盾.又a≠0，故a＞0.而f′(x)＝aeax－1，令f′(x)＝0得x＝ln.當(dāng)x＜ln時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ln時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.故當(dāng)x＝ln，f(x)取最小值f＝－ln.于是對(duì)一切x∈R，f(x)≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)－ln≥1.①令g(t)＝t－tlnt，則g′(t)＝－lnt.當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′(t)＞0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時(shí)，g′(t)＜0，g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t＝1時(shí)，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)＝1，即a＝1時(shí)，①式成立.綜上所述，a的取值集合為{1}.（2）由題意知，k＝＝－1.令φ(x)＝f′(x)－k＝aeax－.則φ(x1)＝－

[－a(x2－x1)－1]，φ(x2)＝

[－a(x1－x2)－1].令F(t)＝et－t－1，則F′(t)＝et－1.當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)′(t)＜0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)′(t)＞0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增.故當(dāng)t≠0時(shí)，F(xiàn)(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.從而－a(x2－x1)－1＞0，－a(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.因?yàn)楹瘮?shù)y＝φ(x)在區(qū)間[x1，x2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在c∈(x1，x2)，使得φ(c)＝0.又φ′(x)＝a2eax＞0，φ(x)單調(diào)遞增，故這樣的c是唯一的，且c＝ln.故當(dāng)且僅當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>k.綜上所述，存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立，且x0的取值范圍為20.（本題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求四棱錐的體積.（III）設(shè)平面和平面的交線為直線，試判定直線與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

參考答案：（Ⅰ）證明：因?yàn)樗睦忮F的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以，所以

-------3分又，所以平面

--------------6分（Ⅱ）四棱錐的底面積為1，因?yàn)槠矫妫运睦忮F的高為1，所以四棱錐的體積為.---------------10分（III）平面

-----------11分

平面

平面平面

-----------12分又平面且平面平面=由線面平行的性質(zhì)定理得：

-----------13分又平面，平面平面

-----------14分21.本小題滿分13分）已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且短軸長(zhǎng)為4，離心率為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程。

參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a（a>0），短半軸長(zhǎng)為b（b>0），則2b=4，。

2分解得a=4，b=2。

3分因?yàn)闄E圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，所以橢圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，且為。

5分（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，A（x1，y1），B（x2，y2）,

6分由方程組，消去y，得，

7分由題意，得，8分且，

9分因?yàn)?/p>

，11分所以，解得m=±2,驗(yàn)證知△＞0成立，所以直線l的方程為。

13分略22.已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=?，求函數(shù)f（2x）的單調(diào)減區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量的平行和角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出答案，（Ⅱ）先求出f（x），