2023屆高考數(shù)學二輪復習大題專講專練第30講雙參數(shù)最值問題與切線放縮含解析

第30講知識與方法含參問題一直是高考中的重點與難點.高考真題及模擬題中常出現(xiàn)“恒成立”為背景的雙參數(shù)的范圍或最值問題.處理此類問題,常用有以下方法:消元法零點比大小法零點比大小是指將函數(shù)y=ax+b與函數(shù)y=f(x)的零點比較大小,進而解決問題.圖象上看,是觀察直線y=ax+b與曲線y=f(x)的橫截距的大小關系.此方法要求y=(1)若ax+b?f(x)恒成立,f(2)若y=ax+b?f(x)恒成立,由(1)或(2)得出x1,x2的大小,3.賦值法對比不等式與目標式的結構,發(fā)現(xiàn)當自變量取某個值時恰好構造出目標式.賦值法是零點比大小法方法的優(yōu)化和改進,能快速解決線性表達式型、比值型的客觀題.點睛意領會“等比例賦值法”進行恰到好處的賦值.典型例題若x2+xln?1x【答案】-【解析】解法1:消元法設F(x)=2令h(x)=ln?x+x+1-a得h(ln?x0+1當x∈0,x0時,F故F(所以F(x)minb-2a?當x∈(0,1),t(x)單調遞減故t(x)min

=t解法2::賦值法f令x2+x=2(等比例賦值法),解得x=1(舍當b-2a=-53時,由f(所以f'(1)-g'(1)=0,解得a=2,b=7證明:令h(則h'當x>1時,h'(x)>0,h(所以h(x)?h(1)=0綜上可知,b-2a的最小值為【點睛】求線性表達式型ma+nb(m,n為常數(shù))的最值時,賦值的要點在于把原不等式變成關于a,b的二元一次不等式,然后根據(jù)【例2】若函數(shù)f(x)=aln?x+1【答案】-4【解析】g(x)=f'(x)=ax+x+2b?0對x∈[1,3]恒成立,即ax+2b則g(2)=a2+2+2所以a+4b的最小值為【點睛】這里用了等比【例】賦值法,要點睛意等號成立的條件.由已知得ax+2b+x?0對x∈[1,3]恒成立,與目標式a+4b比較,令1x:2=1:4,得x=2,因此令x=2.當a比值型【例3】已知函數(shù)f(x)=ln?x+(e-a)x-2b,【答案】-12e【解析】解法1:消元法顯然a>e,f'(x)=所以只需f1a-e?0,即2今?h(a)=-12?[ln?(易知a=2e為h(a)的極小值點,h(2e)=-12e.所以解法2:零點比大小f(x)?0?ln?函數(shù)y=ln?x+ex由圖可知:-2ba?1e解法3:賦值法f(x)?0?ln?x+ex?故ba的最小值為-【點睛1】求比值型的最值時,賦值的要點在于把原不等式改寫成一邊只含有目標式分子、分母的線性結構,再令另一邊為0,找到x0【點睛2】觀察不等式ln?x+ex?ax+2b與目標式ba的結構,進行恰到好處的賦值.只需讓ln?x+ex=0,便得a?【點睛3】本題我們用了消元法、零點比大小和賦值法,顯然賦值法最為簡捷.【例4】已知不等式(e-a)ex+x+b+1?0恒成立【答案】1【解析】賦值法(e-a)ex+x+b+1?0?aex-(b+1)?乘積型【例5】若ex-x+12【答案】e【解析】解法1:消元法ex令g(x)=e(1)若a+1<0,則g'(x)>0當x→-∞時,f(x)→-∞,與g(2)若a+1>0,由g'所以g(x)在(-∞,ln?(a+1))單減,在=(a+1)-(a+1)ln?(則b令h(t)=所以h(t)在(0,e)單增,((3)當a+1=0時,(綜上:(a+1)b解法2:消元法ex-x若a+1<0,則令h所以當x→-∞時,f(x)→+∞(2)若a+1>0,則(a由h'(x)=0得x=ln?(a+1),則h所以h(令g(t)=t所以g(t)在(0,e)單增,(3)當a+1=0時,(綜上:(a+1)b【點睛】根據(jù)所求目標,在a,b都在變的情況下,求(a+1)b的最大值,以(a+1),構造出(a+1)【例6】已知函數(shù)f(x)=ex-xa-b,當實數(shù)a>0時,對于x∈R都有f【答案】A【解析】f'(x)=ex-1a,易知x=ln?1a為極小值點,則f(x)min=f強化訓練1.已知不等式ln?(x+1)-1?ax+ba對一切正數(shù)【答案】1-e【解析】解法1:零點比大小ln?(x+1)-1?直線y=ax+直線y=ax+b函數(shù)y=ln?(x+1)-1在(e-1,0)則-ba?e-1?解法2:賦值法取x=e-1,便有2.已知函數(shù)f(x)=2ax2+bx-3a+1,x∈[-4,4]【答案】a【解析】賦值法2ax2+令，解得或則由f(3)?0,得5a+b?-13;由f所以5a+b的取值范圍是-13,2.可知x=3是函數(shù)f(x)的極值點(或對稱軸),所以-3.已知不等式x-3ln?x+1?mln?x+n【答案】-ln?2【解析】賦值法，令，可得4.若對于任意正實數(shù)x,都有l(wèi)n?x-aex-b+1?0(e【答案】0【解析】令x=1e,代入得以下說明a+b當a=1,b=-1時,則f'(x)=1x-e=1-e可知當x∈0,1e時,f'(x故對任意正實數(shù)x,都有f(故a=1,b=-1時,a+b=0,故答案為:0.5.已知不等式ex?ax+b(a,b∈R,且a≠0)對任意實數(shù)x恒成立,【答案】D【解析】解法1:零點比大小由ex?ax考慮y=ex-2與y只需-b解法2:賦值法令ex-2=0即x=ln?2,結合a>6.已知函數(shù)f(x)=ex-12x2+x3,若x∈R【答案】C【解析】因為函數(shù)f(x)=ex-12x2+x3,則f'(x)=ex-x+3x2,由題可知,對x∈R,恒有e當a=-1時,ab+b=0,當a>所以函數(shù)g(x)在(ln?(1+a),+∞)上單調遞增所以g(1+a故(1+a令t=1+a>0,則h當t∈(0,e)時,h'(t)>0,函數(shù)h(h(t所以h(t)max綜上所述,ab+b的最大值為7.設函數(shù)f(x)=ln?(ax+b)-x(【答案】e【解析】ln?(ax+b)?x恒成立,ex?ax+b?2ax8.已知a≠0,函數(shù)y=f(x)=aex,y=g【答案】e【解析】f'(x)=aex由題意存在一條直線與曲線y=f(x)和y且b=因為aem=a所以ba令h(t)=e當t=1時,h'(1)=0;當t<1時,h'(單調遞減;故當t=1時取得最大值h故答案為:e.切線放縮知識與方法1.切線放縮對于含有指數(shù)、對數(shù)或三角函數(shù)等超越式的函數(shù)或不等式問題,有時我們可以利用導數(shù)的幾何意義進行以直代曲,即考慮函數(shù)f(x)圖象上某點x=x0處的切線特別地,當f(x)?kx+b為下凸函數(shù)時,則f(x)?kx+b將f(x)放大或縮小為kx+b,得到f(x)?kx+b或f對某些求函數(shù)的最小值或證明不等式的問題,巧用切線放縮,會有意想不到的效果.2.常用的切線不等式(1)ex【點睛】在ex?x+1中,將x換成ln?在ex?x+1中,將x換成x在ex?ex中,將x換成ln?x,在ln?x?x-1中,將x換成x典型例題逆用求導法則型若x,y是實數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù),ex+【答案】-8【解析】結合不等式ex?x+1(可得:ex結合不等式ln?x?x-1(則ln?(y-2x(1)(2)兩式相加,即得:e又已知ex所以ex+y+2-3=ln?(y-2所以x+y+2=0,y-2x故答案為:-8【點睛】本題利用了夾逼法.根據(jù)切線不等式ex?x+1與ln?x?x-1,【例2】已知函數(shù)f(x)=ax+ln?x+1,若對任意的【答案】(-∞,2]【解析】解法1::切線放縮,利用e對任意的x>0,f等價于a?xe2因為xe所以xe2x-(ln?x+1)x即xe2x-(ln?故答案為:(-∞,2].解法2:隱零點因為f(x)=ax+ln?x+1ln?x+1x在令m(x)=e2x-ln?再令g(x)=2x2e2x上單調遞增,因為g1所以g(x)有唯一的零點x0所以當0<x<x0時,m'(x所以m(x)在0,x0上單調遞減因為2x02e即ln?2設s(x)=ln?x+x(x>增,因為s2x0=s-ln?x所以m(x)?m所以實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].故答案為:(-∞,2].【例3】已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a【答案】B【解析】(利用ln?x?x-1)由a1+a2+a3+a4=ln?a1+a2+a3,可得a1+a2+a3+a4多變量輪換式的切線放縮【例4】f(x)=3+x1+x2,x∈[0,3],已知數(shù)列an滿足0<an?3,n∈【答案】A【解析】由f(x)=3+x1+x2(0?x?3),得f'(x因為x∈[0,3],所以(x-3)x-所以當0<an?3,nfa故fa1【點睛】本題利用函數(shù)f(x)=3+x1+x2在x=13處的切線進行放縮,思路如下:點睛意到a1+的切線方程y=-910x雙參數(shù)最值的切線放縮【例5】已知不等式ln?(x+1)-1?ax+ba【解析】ln?(x+1)-1?ax+b圖象的上方,直線y=ax+b函數(shù)y=ln?(x+1)-1在(e-1,0)則-ba?e-1?【點睛】本題利用兩函數(shù)的零點比較大小,其實就是切線放縮.強化訓練1.已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=ln?(x+1),直線l【答案】y【解析】f(x)=ex-1其公共點為O(0,0)由f(x)=ex-1,曲線f(x)=ex由g(x)=ln?(x+1),得曲線g(x)=ln?(x+1)所以曲線f(x)=ex故答