2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題9平面向量數(shù)量積的常見(jiàn)求法作業(yè)

微專題9平面向量數(shù)量積的常見(jiàn)求法1.已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°，則(a＋2b)·(a＋b)的值為_(kāi)_______．2．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝eq\f(π,3)，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))的值為_(kāi)_______．3．已知|a|＝2eq\r(2)，|b|＝3，a和b的夾角為eq\f(π,4)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝5a＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－3b，D為BC的中點(diǎn)，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝________.4．向量a，b滿足|a＋b|＝2eq\r(3)|a|，且(a－b)·a＝0，則a，b的夾角的余弦值為_(kāi)_______．5．在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若點(diǎn)D在邊BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，AD＝eq\f(2\r(7),3)，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．6．設(shè)a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．7．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AC＝eq\r(3)，BD＝1，求(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))的值．(2)如圖2，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC(包括邊界)內(nèi)任一點(diǎn)．求eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))的取值范圍．8．已知A，B，C是半徑為1的圓O上的三點(diǎn)，AB為圓O的直徑，P為圓O內(nèi)一點(diǎn)(含圓周)，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的取值范圍．微專題91．答案：12.解析：因?yàn)閨a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為120°，所以a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4，從而(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝12.2．答案：－20.解析：如圖，在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos(π－C)＝5×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20.3．答案：eq\f(15,2).解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝3a－eq\f(1,2)b，a2＝8，b2＝9，a·b＝6，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a－\f(1,2)b))eq\s\up12(2)＝9a2＋eq\f(1,4)b2－3a·b＝eq\f(225,4).故|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(15,2).4．答案：eq\f(1,3).解析：因?yàn)?a－b)·a＝0，所以a2＝b·a，又|a＋b|＝2eq\r(3)|a|，所以|a＋b|2＝12|a|2，化簡(jiǎn)得b2＝9a2，從而cos〈a，b〉＝eq\f(b·a,|a||b|)＝eq\f(a2,3|a||b|)＝eq\f(1,3).5．答案：3.解析：由eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，兩邊平方得9eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋4eq\o(AC,\s\up6(→))2＋4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，又AD＝eq\f(2\r(7),3)，A＝120°，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－2|eq\o(AC,\s\up6(→))|－3＝0，所以AC＝3.6．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))∪(0，＋∞)．解析：因?yàn)閍與a＋λb的夾角為銳角，所以a·(a＋λb)＞0且排除a與a＋λb共線同向．a(chǎn)·(a＋λb)＞03λ＋5＞0λ＞－eq\f(5,3)，a∥(a＋λb)2＋λ－2－2λ＝0λ＝0.所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))∪(0，＋∞)．7．答案：(1)2；(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4))).解析：(1)因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))不共線，所以eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))可以作為平面所有向量的一組基底．所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝[(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))]·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(BD,\s\up6(→))2＝3－1＝2.(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB分別為x軸和y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，易知A(1，0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，設(shè)P(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)，y－\f(1,2)))，所以eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝－x＋eq\f(1,2)y＋eq\f(1,4)，根據(jù)線性規(guī)劃可得eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4))).8．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，4)).解法1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A(－1，0)，B(1，0)，C(cosα，sinα)，P(rcosβ，rsinβ)，其中α∈(0，π)，r∈[0，1]，β∈R.eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝3r2－1－2rcos(β－α)∈[3r2－2r－1，3r2＋2r－1]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，4))，當(dāng)r＝eq\f(1,3)，β＝α?xí)r，取得最小值－eq\f(4,3)；當(dāng)r＝1，β＝π＋α?xí)r，取得最大值4.解法2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(（\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))）2－（\o(PA,\s\up6(→))－\o(PB,\s\up6(→))）2,4)＋eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))＝eq\f(（2\o(PO,\s\up6(→))）2－\o(AB,\s\up6(→))2,4)＋2eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2＋2eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))－1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x0，y0)，C(cosθ，sinθ)，則eq\o(PO,\s\up6(→))2＋2eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))－1＝3x02＋3y02－2x0cosθ－2y0sinθ－1，其中x0cosθ＋y0sinθ＝eq\r(x02＋y02)sin(θ＋φ)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(x02＋y02)，\r(x02＋y02))).令t＝eq\r(x02＋y02)∈[0，1]，則3t2－2t－1≤eq\o(PO,\s\up6(→))2＋2eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))－1≤3t2＋2t－1，得到eq\o(PO,\s\up6(→))2＋2eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))－1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，4)).解法3設(shè)A(－1，0)，B(1，0)，C(cosα，sinα)，P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝(1－x，－y)(－1－x，－y)＋2(cosα－x，sinα－y)(－x，－y)＝x2－1＋y2－2x(cosα－x)－2y(sinα－y)＝3x2＋3y2－2xcosα－2ysinα－1＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)cosα))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)sinα))\s\up12(2)))－eq\f(4,3)，因?yàn)辄c(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)cosα，\f(1,3)sinα))落在以原點(diǎn)為圓心，eq\f(1,3)為半徑的圓上，而點(diǎn)P(x，y)落在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓O內(nèi)，