2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題4三角形中的面積問題含解析

Page1微專題4三角形中的面積問題與三角形面積有關(guān)的問題一直是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，解決此類問題的難點(diǎn)是如何建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系．本專題主要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式等工具研究三角形面積問題，并在解決問題的過程中感悟邊角互化的思想方法.例題：(2018·蘇州調(diào)研測試三)已知△ABC中，若角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，滿足a＋eq\f(1,a)＋4cosC＝0，b＝1.(1)若△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，求a；(2)若A＝eq\f(π,6)，求△ABC的面積．變式1在△ABC中，若角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)若a＝2，B＝eq\f(π,12)，試求△ABC的面積；(2)若△ABC中的面積S＝eq\f(a2,4)，求角A的大?。?/p>

變式2已知在△ABC中，若角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，滿足c＋a＝2b，5(c－a)＝2b.(1)若△ABC的面積為eq\f(15\r(7),4)，求a的值；(2)若a＝eq\f(3\r(7),sinC)，求△ABC的面積．串講1(2018·北京西城模擬)在△ABC中，設(shè)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知eq\r(3)a·sinC＝c·sin2A.(1)求∠A的大小；(2)若a＝eq\r(7)，b＝2eq\r(3)，求△ABC的面積．

串講2(2018·蘇州期中)設(shè)△ABC角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，D為AB的中點(diǎn)，若b＝acosC＋csinA且CD＝eq\r(2)，則△ABC的面積最大值為________________．(2018·全國Ⅲ卷改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝________________．(2018·蘇北四市)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，tan(B－A)＝eq\f(1,3).(1)求tanB的值；(2)若c＝13，求△ABC的面積．答案：(1)3；(2)78.解析：(1)在△ABC中，由cosA＝eq\f(3,5)，得A為銳角，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5)，所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(4,3)，2分所以tanB＝tan[(B－A)＋A]＝eq\f(tan（B－A）＋tanA,1－tan（B－A）·tanA).＝eq\f(\f(1,3)＋\f(4,3),1－\f(1,3)×\f(4,3))＝3.6分(2)在三角形ABC中，由tanB＝3，所以sinB＝eq\f(3\r(10),10)，cosB＝eq\f(\r(10),10)，8分由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(13\r(10),50)，10分由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(13×\f(3\r(10),10),\f(13\r(10),50))＝15，12分微專題4例題答案：(1)eq\r(7)；(2)eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).解法1(1)由S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)asinC＝eq\f(\r(3),2)得asinC＝eq\r(3)，即sinC＝eq\f(\r(3),a).又a＋eq\f(1,a)＝－4cosC，那么(a＋eq\f(1,a))2＝16cos2C＝16(1－sin2C)＝16－eq\f(48,a2)，即a4－14a2＋49＝0，得到a2＝7，即有a＝eq\r(7).(2)由題意有a＋eq\f(1,a)＝－4cosC及余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)有a＋eq\f(1,a)＝－4·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(2（a2＋1－c2）,a)，即a2＋1＝eq\f(2,3)c2，①又由b2＋c2－a2＝2bccosA可知c2－a2＋1＝eq\r(3)c，②由①②得到c2－3eq\r(3)c＋6＝0，亦即(c－eq\r(3))(c－2eq\r(3))＝0，可知c＝eq\r(3)或c＝2eq\r(3).經(jīng)檢驗(yàn)，c＝eq\r(3)或c＝2eq\r(3)均符合題意；那么，△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).解法2(1)a＋eq\f(1,a)＋4cosC＝0得，－acosC＝eq\f(1,4)(a2＋1)，①又由S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)asinC＝eq\f(\r(3),2)可得asinC＝eq\r(3)，②由①②平方相加得a2＝eq\f(1,16)(a2＋1)2＋3，即a4－14a2＋49＝0，得到a2＝7，即有a＝eq\r(7).(2)如圖，HC＝BC·cos∠BCH＝－acos∠BCA，由(1)HC＝eq\f(1,4)(a2＋1)，在Rt△BHA中，cosA＝eq\f(\f(1,4)（a2＋1）＋1,c)＝eq\f(\r(3),2)，化簡得a2＋5＝2eq\r(3)c，③又由a＋eq\f(1,a)＋4cosC＝0可得：a＋eq\f(1,a)＋eq\f(4（a2＋b2－c2）,2ab)＝0，又b＝1，所以a2＝eq\f(2,3)c2－1，④由③④可得c2－3eq\r(3)c＋6＝0(下面同解法1)．變式聯(lián)想變式1答案：(1)eq\r(3)－1；(2)eq\f(π,4)或eq\f(π,2).解析：由b＋c＝2acosB及正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB.因?yàn)閟inC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，代入化簡得：sinB＝sinAcosB－cosAsinB，即sinB＝sin(A－B)，因?yàn)锳，B都為三角形的內(nèi)角，所以B＝A－B，即A＝2B.(1)當(dāng)B＝eq\f(π,12)時(shí)，A＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(3π,4)，由正弦定理eq\f(2,sin\f(π,6))＝eq\f(b,sin\f(π,12))，b＝4sineq\f(π,12)＝4sin(eq\f(π,4)－eq\f(π,6))＝eq\r(6)－eq\r(2)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×(eq\r(6)－eq\r(2))·sineq\f(3π,4)＝eq\r(3)－1.(2)由S＝eq\f(a2,4)得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)a2，即a＝2bsinC，即sinA＝2sinBsinC，因?yàn)锳＝2B，所以sin2B＝2sinBsinC，即cosB＝sinC，又B，C是三角形的內(nèi)角，所以C＝eq\f(π,2)±B.當(dāng)C＝eq\f(π,2)＋B時(shí)，B＝eq\f(π,8)，C＝eq\f(5π,8)，A＝eq\f(π,4)；當(dāng)C＝eq\f(π,2)－B時(shí)，B＝eq\f(π,4)，C＝eq\f(π,4)，A＝eq\f(π,2)，綜上所述，A＝eq\f(π,4)或eq\f(π,2).變式2答案：(1)4；(2)15eq\r(7).解析：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＋a＝2b，,5（c－a）＝2b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4b,5)，,c＝\f(6b,5).))所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\f(16,25)b2＋b2－\f(36,25)b2,2×\f(4,5)b×b)＝eq\f(1,8)，所以sinC＝eq\f(3\r(7),8)，由△ABC的面積為eq\f(15\r(7),4)可得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(15\r(7),4)，于是可解得ab＝20，又a＝eq\f(4,5)b，所以a＝4.(2)由已知與(1)可知a＝eq\f(3\r(7),sinC)＝8，b＝eq\f(5,4)a＝10，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×8×10×eq\f(3\r(7),8)＝15eq\r(7).串講激活串講1答案：(1)eq\f(π,6)；(2)eq\f(\r(3),2)或eq\f(5\r(3),2).解析：(1)因?yàn)閑q\r(3)a·sinC＝c·sin2A，所以eq\r(3)·eq\f(a,c)·sinC＝2sinAcosA.在△ABC中，由正弦定理得eq\r(3)·eq\f(sinA,sinC)·sinC＝2sinAcosA，所以cosA＝eq\f(\r(3),2).因?yàn)?<A<π，所以A＝eq\f(π,6).(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以(eq\r(7))2＝(2eq\r(3))2＋c2－2(2eq\r(3))·c·eq\f(\r(3),2)，整理得c2－6c＋5＝0，解得c＝1，或c＝5，均適合題意．當(dāng)c＝1時(shí)，△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2).當(dāng)c＝5時(shí)，△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(5\r(3),2).串講2答案：eq\r(2)＋1.解析：由b＝acosC＋csinA及正弦定理得sinB＝sinAcosC＋sinCsinA，又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋sinCsinA，化簡得sinC(sinA－cosA)＝0，因?yàn)閟inC≠0，所以sinA＝cosA即tanA＝1，又A是三角形的內(nèi)角，所以A＝eq\f(π,4).在△ACD中，由余弦定理得2＝eq\f(c2,4)＋b2－2×eq\f(c,2)×b·coseq\f(π,4)，化簡得4b2＋c2＝8＋2eq\r(2)bc，由基本不等式4b2＋c2≥4bc，所以8＋2eq\r(2