2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)思想方法與解題技巧第41講常量變量的轉(zhuǎn)化變換第42汫相等不等之間的轉(zhuǎn)化變換含解析

Page1第41講常量與變量的轉(zhuǎn)化與變換在處理多元的函數(shù)或方程的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),常常有一個(gè)變?cè)幱谥鲗?dǎo)地位,我們稱之為主元,此時(shí)可把其他的變?cè)醋鞒Ａ?按照主元的某種形式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整理,借以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所隱含的特殊結(jié)構(gòu),以便找到相應(yīng)的策略,使問(wèn)題獲解.這是因?yàn)?在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中,常量與變量具有相對(duì)性,通過(guò)逆向思考、變換視角、反客為主等,可使它們相互轉(zhuǎn)化.像這樣一種通過(guò)確定主元來(lái)探索解題途徑的方法,叫作主元法,一般原則是選次數(shù)最低的字母為主元,因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō),式子或方程的次數(shù)越低,越容易處理或求解,但要提醒的是,定誰(shuí)為主元要因“題”而宜,“主元法”并非對(duì)所有“多元”問(wèn)題都適用,有時(shí)不分主次地直接操縱“多元”反而是合理的.典型例題【例1】設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。【分析】從表層看所給的是關(guān)于的不等式,求的是的取值范圍,即解不等式求得的取值范圍.當(dāng)然參數(shù)必須滿足,但是如果通過(guò)變更主元轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次函數(shù),根據(jù)的范圍確定參數(shù)的范圍,這種將主元與參數(shù)進(jìn)行換位思考的解題策略常常會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解【解析】令,則原不等式等價(jià)于在上恒成立，由于是關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù).故有解得.從而實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例2】設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù).（1）若不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）若不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】本例兩小題所給的不等式是一樣的，首先可利用函數(shù)的單調(diào)性,把函數(shù)值的相對(duì)大小轉(zhuǎn)化為自變量的相對(duì)大小,接下來(lái)就是確認(rèn)和這兩個(gè)字母中究竟誰(shuí)是“主元”,這很重要.第問(wèn),把作為主元(變量)、作為常量,這種“反客為主”的解法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與變換的數(shù)學(xué)思想,降低了計(jì)算的煩瑣和難度,也說(shuō)明了變量與常量的對(duì)立統(tǒng)一的?證關(guān)系.應(yīng)當(dāng)指出,若以為變量,為參數(shù),則必定要分類討論,相比之下孰優(yōu)孰劣一清二楚.第(2)問(wèn),以為變量,把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決,此時(shí)分類討論是必需的;若用分離常數(shù)法(即參變分離),則避開(kāi)了分類討論,解題過(guò)程較為簡(jiǎn)捷.【解析】(1)【解法1】是增函數(shù),對(duì)于任意恒成立,即對(duì)于任意恒成立.令.當(dāng)時(shí),不等式恒成立;當(dāng)時(shí),不等式恒成立;當(dāng)時(shí),只需的最小值或,故或.綜上所述,或,即.【解法2】由解法一得為關(guān)于的一次函數(shù),在上是一條線段,由得.（2）【解法1】是增函數(shù),對(duì)于任意恒成立對(duì)于任意]恒成立對(duì)于任意恒成立,令,則原問(wèn)題,且即由,得,即.【解法2】是增函數(shù),對(duì)于任意恒成立對(duì)于任意恒成立；即對(duì)于任意恒成立。當(dāng)時(shí),不等式對(duì)恒成立。當(dāng)時(shí),不等式可以變形為,設(shè),設(shè),函數(shù)可以變形為,由函數(shù)在上單調(diào)遞減,知,故,綜上,.【例3】過(guò)圓內(nèi)部一點(diǎn)作動(dòng)弦,過(guò)分別作圓的切線,設(shè)兩條切線的交點(diǎn)為求證:點(diǎn)恒在一條定直線上運(yùn)動(dòng).【分析】常量與變量,靜止與運(yùn)動(dòng)的角色是相對(duì)的,同一對(duì)象,根據(jù)需要,隨時(shí)靈活選擇和變換其角色,常得妙解,本例極具典型性.【解析】【證明】設(shè),不妨將都視為定點(diǎn)(視動(dòng)為靜),先求直線的方程。切線的方程為,切線的方程為.點(diǎn)在切線上,,這表明點(diǎn)都在直線上,故直線的方程為.又點(diǎn)在直線上,(1)任意都滿足(1)式,故動(dòng)點(diǎn)必在直線上(換靜為動(dòng)).【例4】如圖所示,點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心,半徑為的圓上移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn),點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)距離最近,記最近距離為,求及的坐標(biāo).【分析】由于都是運(yùn)動(dòng)的點(diǎn),位置的變動(dòng)使問(wèn)題變得抽象化、復(fù)雜化,若能以靜制動(dòng),不妨先固定點(diǎn),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在已知圓上找一點(diǎn),使最短,這時(shí)必過(guò)圓心,問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為求的最小值,至此不難求解(以靜制動(dòng)).【解析】設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),則三點(diǎn)共線,且介于之間時(shí),點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離最短,此時(shí),即,記當(dāng)時(shí),有最小值.此時(shí),即.易知,且恰為中點(diǎn),故.第42汫相等與不等之間的轉(zhuǎn)化與變換相等與不等是數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要的關(guān)系,在某種情況下它們可以相互轉(zhuǎn)化,把不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相等問(wèn)題,如利用基本不等式、柯西不等式、三角不等式中等號(hào)成立的充要條件導(dǎo)出相等.。又如用兩邊夾逼導(dǎo)出相等,即由和導(dǎo)出.把不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相等問(wèn)題,即“不等導(dǎo)等”,綜合性強(qiáng),技巧性高,可以減少運(yùn)算量,提高正確率;把相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等問(wèn)題,即“等導(dǎo)不等”,能突破難點(diǎn)找到解題的突破口.典型例題【例1】若是定義在上的函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù),都有和,且,則（）已知是定義在上的函數(shù),,且對(duì)任意都有若，求得值【分析】第問(wèn),從已知的“不等”信息中通過(guò)兩邊夾逼的手段實(shí)現(xiàn)不等到相等的過(guò)渡,即“不等導(dǎo)等”的解題策略;第問(wèn)同樣可采用“不等導(dǎo)等”策略,但還需進(jìn)一步探究函數(shù)的周期性,從而求得的值.【解析】(1)由和得,由①②得.（2）由已知可得 依據(jù)②可得由上述①②及③可得函數(shù)的周期.故有.【例2】(1)若滿足關(guān)系,求;（2）設(shè)實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.【分析】本例兩小題給出的條件都是一個(gè)等式,要求一個(gè)代數(shù)式的值或最小值,按照條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),運(yùn)用柯西不等式,即由“等導(dǎo)不等”或“等導(dǎo)不等、不等導(dǎo)等相結(jié)合”獲得問(wèn)題的解.【解析】(1)由柯西不等式得 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“.（2）由柯西不等式得,即的最小值為.【例3】(1)中,分別表示的對(duì)邊,求證:;（2）已知為非負(fù)數(shù),,求的最值.【分析】第（1）問(wèn)，從余弦定理變形出發(fā)，結(jié)合三角形內(nèi)角對(duì)余弦定理進(jìn)行放大大”,即可由等導(dǎo)出不等.第問(wèn),直接根據(jù)已知不等式一步步地進(jìn)行推導(dǎo),又觀察到的對(duì)稱性,可進(jìn)行均值代換,將寫(xiě)成關(guān)于的函數(shù),從而轉(zhuǎn)變成求函數(shù)最值的基本問(wèn)題;也可針對(duì)為非負(fù)數(shù),,可聯(lián)想到三角函粅這一性質(zhì),轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)最值問(wèn)題;還可由這個(gè)等式結(jié)合埴等式法或三角換元法導(dǎo)出不等,求得的最值.【解析】證明由余弦定理,三式相加得.注意到,即得 （2）【解法1】(均值代換法)根據(jù)的對(duì)稱性,采用均值代換,可令,則.,易得【解法2】(基本不等式法).,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取,又.當(dāng)且僅當(dāng)之一為0時(shí)取“=”.綜上,.【解法3】（三角換元法,令,【例4】(1)設(shè)為正數(shù),,證明;(2),求證:對(duì)于任意正整數(shù).【分析】對(duì)于這樣的等式可導(dǎo)出不等關(guān)系,除了想到常用的基本不等式外,還應(yīng)注意“1”的妙用:乘以“1”或除以“1”,表達(dá)式的值均不變,這樣往往可以把原表達(dá)式表示成更明顯且更有特征的表達(dá)式導(dǎo)出不等,條件還可聯(lián)想到均值換元法.第問(wèn)又是關(guān)于正整數(shù)的命題,二項(xiàng)展開(kāi)式并進(jìn)行“放縮”、數(shù)學(xué)歸納法證明都是應(yīng)當(dāng)首先想到的證法.【解析】（1）證明,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“.