小學(xué)簡單排列組合

一．階乘1．階乘是基斯頓·卡曼于18發(fā)明的運算符號。階乘，也是數(shù)學(xué)里的一種術(shù)語。2．階乘的計算措施階乘指從1乘以2乘以3乘以4……一直乘到所規(guī)定的數(shù)。例如：求4的階乘，就是式子：1×2×3×4，積24就是4的階乘。例如：求6的階乘，就是式子：1×2×3×……×6，積720就是6的階乘。例如：求n的階乘，就是式子：1×2×3×……×n，積是x就是n的階乘。3．表達措施任何不小于1的自然數(shù)n階乘表達措施：n!=1×2×3×……×n=n×(n-1)!n的雙階乘：當n為奇數(shù)時表達不不小于n的所有奇數(shù)的乘積。如：7!!=1×3×5×7當n為偶數(shù)時表達不不小于n的所有偶數(shù)的乘積(除0外）如：8!!=2×4×6×8不不小于0的整數(shù)-n的階乘表達：（-n）！=1/(n+1)!4．20以內(nèi)的數(shù)的階乘0！=1，注意(0的階乘是存在的)1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720，7！=5,040，8！=40,3209！=362,88010！=3,628,80011！=39,916,80012！=479,001,60013！=6,227,020,80014！=87,178,291,20015！=1,307,674,368,00016！=20,922,789,888,00017！=355,687,428,096,00018！=6,402,373,705,728,00019！=121,645,100,408,832,00020！=2,432,902,008,176,640,000此外，數(shù)學(xué)家定義，0！=1，因此0！=1！5．定義范圍一般我們所說的階乘是定義在自然數(shù)范圍里的，小數(shù)沒有階乘，像！，！，！都是錯誤的。二．排列組合1．排列組合是組合學(xué)最基本的概念。排列就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。組合就是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序。排列組合的中心問題是研究給定規(guī)定的排列和組合也許出現(xiàn)的狀況總數(shù)。排列組合公式公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N-元素的總個數(shù)R要選擇的元素個數(shù)感慨號！表達階乘：9?。?×8×7×6×5×4×3×2×1從N倒數(shù)r個，體現(xiàn)式應(yīng)當為n×（n-1)×(n-2)..(n-r+1)，由于從n到（n-r+1)個數(shù)為n－（n-r+1)+1＝r2．定義及公式排列的定義及其計算公式：從n個不一樣元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的次序排成一列，叫做從n個不一樣元素中取出m個元素的一種排列；從n個不一樣元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不一樣元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號P(n,m)表達。P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=。組合的定義及其計算公式：從n個不一樣元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不一樣元素中取出m個元素的一種組合；從n個不一樣元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不一樣元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號C(n,m)表達。C(n,m)=P(n,m)/m!=。3．基本計數(shù)原理A．加法原理和分類計數(shù)法1．加法原理：做一件事，完畢它可以有n類措施，在第一類措施中有m1種不一樣的措施，在第二類措施中有m2種不一樣的措施，……，在第n類措施中有mn種不一樣的措施，那么完畢這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不一樣措施。2．第一類措施的措施屬于集合A1，第二類措施的措施屬于集合A2，……，第n類措施的措施屬于集合An，那么完畢這件事的措施屬于集合A1UA2U…UAn。3．分類的規(guī)定：每一類中的每一種措施都可以獨立地完畢此任務(wù)；兩類不一樣措施中的詳細措施，互不相似(即分類不重)；完畢此任務(wù)的任何一種措施，都屬于某一類(即分類不漏)。B．乘法原理和分步計數(shù)法1．乘法原理乘法原理：做一件事，完畢它需要提成n個環(huán)節(jié)，做第一步有m1種不一樣的措施，做第二步有m2種不一樣的措施，……，做第n步有mn種不一樣的措施，那么完畢這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不一樣的措施。2．合理分步的規(guī)定任何一步的一種措施都不能完畢此任務(wù)，必須且只須持續(xù)完畢這n步才能完畢此任務(wù)；各步計數(shù)互相獨立；只要有一步中所采用的措施不一樣，則對應(yīng)的完畢此事的措施也不一樣。4．例題分析例：有從1到9合計9個號碼球，請問，可以構(gòu)成多少個三位數(shù)分析：123和213是兩個不一樣的排列數(shù)。即對排列次序有規(guī)定的，既屬于“排列P”計算范圍。上問題中，任何一種號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合，我們可以這樣看，百位數(shù)有9種也許，十位數(shù)則應(yīng)當有9-1種也許，個位數(shù)則應(yīng)當只有9-1-1種也許，最終共有9×8×7個三位數(shù)。計算公式＝P（3，9)＝9×8×7,(從9倒數(shù)3個的乘積）例：有從1到9合計9個號碼球，請問，假如三個一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”分析：213組合和312組合，代表同一種組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不規(guī)定次序的，屬于“組合C”計算范圍。上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)清除掉屬于反復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=（9×8×7）/（3×2×1）例.從1、2、3、……、20這二十個數(shù)中任取三個不一樣的數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，這樣的不一樣等差數(shù)列有多少個分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其他數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一種明確的排列組合問題。設(shè)a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c決定，又∵2b是偶數(shù)，∴a,c同奇或同偶，即：分別從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進行排列，由此就可確定等差數(shù)列，A（10,2）*2=90*2，因而本題為180。例.某都市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相似，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不一樣的走法分析：對實際背景的分析可以逐層深入：（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上還是向右，決定了不一樣的走法；（三）實際上，當把向上的環(huán)節(jié)決定后，剩余的環(huán)節(jié)只能向右；從而，任務(wù)可論述為：從八個環(huán)節(jié)中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)。本題答案為：C(8,3)=56。例．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有助于作物生長，規(guī)定A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不一樣的選法共有多少種分析：條件中“規(guī)定A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不輕易用一種包括排列數(shù)，組合數(shù)的式子表達，因而采用分類的措施。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有1種選擇，同理A、B位置互換，共12種。例．從6雙不一樣顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種(A)240(B)180(C)120(D)60分析：顯然本題應(yīng)分步處理。（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種措施；（二）從剩余的十只手套中任選一只，有10種措施。（三）從除前所波及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種措施；（四）由于選用與次序無關(guān)，因（二）（三）中的選法反復(fù)一次，因而共240種。或分步（1）從6雙中選出一雙同色的手套，有C(1,6)=6種措施（2）從剩余的5雙手套中任選兩雙，有C(2,5)=10種措施（3）從兩雙中手套中分別拿兩只手套，有C(1,2)×C(1,2)=4種措施。同樣得出共(1)×(2)×(3)=240種。例．身高互不相似的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一種人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不一樣的排法種數(shù)為_______。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位措施，因而每一縱列的排隊措施只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)=90種。例．在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，此外2人能當鉗工也能當車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不一樣的選法分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，怎樣做到這一點分類的原則必須前后統(tǒng)一。以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾種去當鉗工為分類原則。第一類：這兩個人都去當鉗工，C(2,2)×C(5,2)×C(4,4)=10種；第二類：這兩人有一種去當鉗工，C(2,1)×C(5,3)×C(5,4)=100種；第三類：這兩人都不去當鉗工，C(5,4)×C(6,4)=75種。因而共有185種。例．既有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，假如容許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以構(gòu)成多少個不一樣的三位數(shù)分析：有同學(xué)認為只要把0，1，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數(shù)中有9的話才也許用6替代，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0，含9，有32種措施；抽出的三數(shù)含0不含9，有24種措施；抽出的三數(shù)含9不含0，有72種措施；抽出的三數(shù)不含9也不含0，有24種措施。因此共有32+24+72+24=152種措施。例．停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，規(guī)定空車位連在一起，不一樣的停車措施有多少種分析：把空車位當作一種元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有A(9,8)=362880種停車措施。例．六人站成一排，求(1)甲、乙即不再排頭也不在排尾的排法數(shù)(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析：（1）按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計數(shù)第一類：排出首尾和末尾、由于甲乙不再首尾和末尾，那么首尾和末尾實在其他四位數(shù)選出兩位進行排列、一共有A(4,2)=12種；第二類：由于六個元素中已經(jīng)有兩位排在首尾和末尾，因此中間四位是把剩余的四位元素進行排列，共A(4,4)=24種；根據(jù)乘法原理得即不再排頭也不在排尾數(shù)共12×24=288種。(2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有A(4,4)種措施。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有3×A(4,4)種措施。第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有3×A(4,4)種措施。第四類：甲不在排尾也不再排頭，乙不在排頭也不再排尾，有6×A(4,4)種措施（排除相鄰）。共A(4,4)+3×A(4,4)+3×A(4,4)+6×A(4,4)=312種。例．對某件產(chǎn)品的6件不一樣正品和4件不一樣次品進行一一測試，至辨別出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被所有發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試措施有多少種也許分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最終一種次品，因而第五次測試應(yīng)算是特殊位置了，分步完畢。第一步：第五次測試的有C(4,1)種也許；第二步：前四次有一件正品有C(6,1)中也許。第三步：前四次有A(4,4)種也許。∴共有576種也許。例.8人排成一隊(1)甲乙必須相鄰(2)甲乙不相鄰(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：（1）甲乙必須相鄰，就是把甲乙捆綁(甲乙可互換)和7人排列A(7,7)×2（2）甲乙不相鄰，A(8,8)-A(7,7)×2。（3）甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰A(6,6)×2×2甲乙必須相鄰且與丙不相鄰A(7,7)×2-A(6,6)×2×2（4）甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰A(6,6)×2×2（5）甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，A(8,8)-A(7,7)×2×2+A(6,6)×2×2例.某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍持續(xù)命中，有多少種不一樣的狀況分析：∵持續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一種插空問題。此外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即A(5,2)。例.馬路上有編號為l，2，3，……，10十個路燈，為節(jié)省用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同步關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的狀況下，求滿足條件的關(guān)燈措施共有多少種分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又由于燈與燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包括兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈?！喙睠(6,3)=20種措施。例.三行三列共九個點，以這些點為頂點可構(gòu)成多少個三角形分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題的措施數(shù)=任意三個點的組合數(shù)-共線三點的措施數(shù)，∴共76種。例．正方體8個頂點中取出4個，可構(gòu)成多少個四面體分析：所求問題的措施數(shù)=任意選四點的組合數(shù)-共面四點的措施數(shù)，∴共C(8,4)-12=70-12=58個。例.1，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可構(gòu)成多少個不一樣數(shù)值的對數(shù)分析：由于底數(shù)不能為1。（1）當1選上時，1必為真數(shù)，∴有一種狀況。（2）當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共A(8,2)=56，其中l(wèi)og2為底4=log3為底9，log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log3為底2=log9為底4.因而一共有56-4+1=53個。例.六人排成一排，規(guī)定甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不一樣的措施假如規(guī)定甲乙丙按從左到右依次排列呢分析：（一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的背面兩種狀況對稱，具有相似的排法數(shù)。因而有=360種。（二）先考慮六人全排列；另一方面甲乙丙三人實際上只能按照一種次序站位，因而前面的排法數(shù)反復(fù)了種，∴共=120種。例．5男4女排成一排，規(guī)定男生必須按從高到矮的次序，共有多少種不一樣的措施分析：首先不考慮男生的站位規(guī)定，共A(9,9)種；男生從左至右按從高到矮的次序，只有一種站法，因而上述站法反復(fù)了次。因而有=9×8×7×6=3024種。若男生從右至左按從高到矮的次序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種。例.三個相似的紅球和兩個不一樣的白球排成一行，共有多少種不一樣的措施分析：先認為三個紅球互不相似，共A(5,5)=120種措施。而由于三個紅球所占位置相似的狀況下，共A(3,3)=6變化，因而共A(