【解析】人教A版（2023） 必修一 5.5 二倍角的正弦、余弦、正切公式

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一、單選題

1．（2023高一上·合肥期末）若，，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】解：

故

又

即

由，

解得：.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)，先求出，利用二倍角公式可以解出結(jié)果.

2．（2023高三上·鶴崗月考）已知為銳角，，則（）

A．B．C．2D．3

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】∵為銳角，，∴，

則，

∴.

故答案為：D

【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得，再根據(jù)兩角和正切公式求結(jié)果.

3．（2023高三上·南昌月考）若，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題中條件，根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及二倍角的余弦公式，和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，直接化簡求解，即可得出結(jié)果.

4．（2023高三上·福州期中）若，則的值為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值

【解析】【解答】由，

得，

則，

故答案為：D.

【分析】先利用誘導(dǎo)公式可得，再利用平方差公式和二倍角公式即可求解.

5．（2023高二上·內(nèi)蒙古期中）已知，，則等于（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正切公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】因?yàn)?，?/p>

所以，即，

，解得或，

因?yàn)椋?，?/p>

所以，，，，

因?yàn)?，所以，?/p>

解得，

故答案為：D．

【分析】本題首先可根據(jù)、以及同角三角函數(shù)關(guān)系得出以及，然后根據(jù)二倍角公式對(duì)進(jìn)行化簡即可得出的值．

6．（2023高一下·奉化期中）下列四個(gè)等式：

①；②；③；④．

其中正確的等式個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；兩角和與差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】①因?yàn)椋?/p>

所以，

所以；故正確；

②，故錯(cuò)誤；

③，故錯(cuò)誤；

④，

，故正確.

故答案為：B

【分析】①利用兩角和的正切公式判斷.②利用二倍角的正切公式判斷.③利用二倍角余弦公式判斷.④先通分，得到，再分子用兩角差的正弦公式化簡，分母用二倍角正弦公式化簡即可.

7．（2023·湛江模擬）已知，，則（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】，且，

，解得．又，

．

，，

．

故答案為：D．

【分析】根據(jù)已知條件以及，解得，再利用二倍角公式即可化簡求得結(jié)果.

8．（2023高一下·吉林期中）若，且，則的值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】因?yàn)?，所以?/p>

所以，所以，

又，所以

所以.

故答案為：A.

【分析】對(duì)兩邊平方，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，可知，由此即可求出結(jié)果.

二、多選題

9．（2023高三上·大東月考）若，則的值可能為（）

A．B．C．D．

【答案】B,D

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正切公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】設(shè)，，，故.

故答案為：BD.

【分析】設(shè)，直接利用二倍角的正切公式和兩角和的正切公式。即可得到答案。

10．（2023高三上·湖南月考）下列各式的值計(jì)算正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C,D

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正切公式；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以A不符合題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以B不符合題意；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?/p>

所以，所以C符合題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以D符合題意.

故答案為：CD.

【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

11．（2023高一下·徐州期中）下列各式中，值為的是（）

A．2sin15°cos15°B．

C．1﹣2sin215°D．

【答案】B,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】解：對(duì)于A，2sin15°cos15°＝sin30；

對(duì)于B，；

對(duì)于C，1﹣2sin215°＝cos30；

對(duì)于D，.

∴值為的是BCD.

故答案為：BCD.

【分析】利用二倍角公式結(jié)合三角函數(shù)的值逐一求解四個(gè)選項(xiàng)得答案.

12．（2023·青島模擬）已知函數(shù)，，則（）

A．

B．在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)

C．的最小正周期為

D．為圖象的一條對(duì)稱軸

【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：已知函數(shù)，，

則、正確，

、當(dāng)，，即，，在區(qū)間上只有2個(gè)零點(diǎn)，

則在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)錯(cuò)誤，

、的最小正周期為，正確

、當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，

所以為圖象的一條對(duì)稱軸，正確．

故答案為：ACD．

【分析】利用二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

三、填空題

13．（2023高三上·邢臺(tái)月考）已知，則；.

【答案】；

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】由，

又，

得，

，

；

故答案為：；.

【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得即可得出結(jié)果；利用誘導(dǎo)公式，再利用二倍角公式即可得出結(jié)果.

14．（2023高三上·長春開學(xué)考）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正切公式

【解析】【解答】∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，-2），∴tanα=-2tan2α==。

【分析】利用正切函數(shù)的定義結(jié)合二倍角的正切公式，從而求出的值。

15．（2023高三上·天津月考）已知，，則的值為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】∵，，

∴，

∴，

∵，兩邊平方，

可得，，

∴.

故答案為：.

【分析】根據(jù)得到，將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，然后利用二倍角公式化簡求解.

16．（2023高三上·上海期中）函數(shù)的最小正周期是．

【答案】π

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；余弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以函數(shù)的最小正周期為．

故答案為：π．

【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦型函數(shù)的周期公式，即可求得函數(shù)的最小正周期．

17．（2023高三上·大慶期中）已知，則.

【答案】2或-1

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】或，

當(dāng)時(shí)，可得：，，

當(dāng)時(shí)，可得，，

故答案為：2或-1

【分析】利用二倍角的余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和的正切公式進(jìn)行求解即可.

18．（2023高三上·揚(yáng)州月考）函數(shù)的最小值等于．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以，

故答案為：.

【分析】由，化簡，即可得解.

四、解答題

19．（2023高一下·荊州期末）已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）解：由

所以．

則

（2）解：因?yàn)?，?/p>

所以

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式

【解析】【分析】(1)利用題意可知，結(jié)合兩角和差正余弦公式可得．(2)利用二倍角公式結(jié)合題意整理計(jì)算可得三角函數(shù)式的值為12.

20．（2023高一下·撫順期末）已知，其中為銳角，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）解：化簡得：，又因?yàn)椋覟殇J角，所以可得：.

且由可得：.

（2）解：因?yàn)?

所以

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

【解析】【分析】（1）化簡已知條件得，再與且為銳角聯(lián)立解方程可得：,再通過誘導(dǎo)公式化簡并代入與的值即可求得答案；（2）通過二倍角公式化簡并代入即可求得答案.

21．（2023高一上·合肥期末）已知角滿足，求下列各式的值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

【答案】解：由題意知,得.

（Ⅰ）由正弦與余弦的二倍角公式變形可得

.

（Ⅱ）由正弦與余弦的二倍角公式變形可得

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)正切和角公式,展開化簡可求得的值.將原式根據(jù)正弦與余弦的二倍角公式展開即可變形為,即可求解.（Ⅱ）將原式變形為齊次式,,即可變形求解.

22．（2023高二上·莆田月考）已知.

（1）若，，求α的值；

（2）若，，求f(x)的值.

【答案】（1）解：由題意有，

因?yàn)?，所以，則，

又因?yàn)?，所?/p>

（2）解：因?yàn)椋?，所以?/p>

所以，

所以

【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【分析】（1）先化簡函數(shù)并根據(jù)題意建立方程，再結(jié)合，求的值；（2）先根據(jù)已知求出，再根據(jù)二倍角公式求，，最后代入求.

23．（2023高一下·沈陽期末）求下列各式的值.

（1）；

（2）.

【答案】（1）解：原式；

（2）解：原式

【知識(shí)點(diǎn)】弦切互化；兩角和與差的正弦公式；二倍角的正弦公式

【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡即可；（2）先切化弦，再利用兩角差的正弦公式化簡即可.

24．（2023高一下·鄭州期末）已知α，β為銳角，.

（1）求cos2α的值；

（2）求tan(β-α)的值.

【答案】（1）解：由，

得；

（2）解：由α，β為銳角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π），

又∵，

∴，，

由，得.

則.

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為齊次式求值；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.

1/1人教A版（2023）必修一5.5二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、單選題

1．（2023高一上·合肥期末）若，，則（）

A．B．C．D．

2．（2023高三上·鶴崗月考）已知為銳角，，則（）

A．B．C．2D．3

3．（2023高三上·南昌月考）若，則（）

A．B．C．D．

4．（2023高三上·福州期中）若，則的值為（）

A．B．C．D．

5．（2023高二上·內(nèi)蒙古期中）已知，，則等于（）

A．B．C．D．

6．（2023高一下·奉化期中）下列四個(gè)等式：

①；②；③；④．

其中正確的等式個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

7．（2023·湛江模擬）已知，，則（）

A．B．C．D．

8．（2023高一下·吉林期中）若，且，則的值是（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．（2023高三上·大東月考）若，則的值可能為（）

A．B．C．D．

10．（2023高三上·湖南月考）下列各式的值計(jì)算正確的是（）

A．

B．

C．

D．

11．（2023高一下·徐州期中）下列各式中，值為的是（）

A．2sin15°cos15°B．

C．1﹣2sin215°D．

12．（2023·青島模擬）已知函數(shù)，，則（）

A．

B．在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)

C．的最小正周期為

D．為圖象的一條對(duì)稱軸

三、填空題

13．（2023高三上·邢臺(tái)月考）已知，則；.

14．（2023高三上·長春開學(xué)考）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為．

15．（2023高三上·天津月考）已知，，則的值為.

16．（2023高三上·上海期中）函數(shù)的最小正周期是．

17．（2023高三上·大慶期中）已知，則.

18．（2023高三上·揚(yáng)州月考）函數(shù)的最小值等于．

四、解答題

19．（2023高一下·荊州期末）已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

20．（2023高一下·撫順期末）已知，其中為銳角，

（1）求的值；

（2）求的值.

21．（2023高一上·合肥期末）已知角滿足，求下列各式的值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

22．（2023高二上·莆田月考）已知.

（1）若，，求α的值；

（2）若，，求f(x)的值.

23．（2023高一下·沈陽期末）求下列各式的值.

（1）；

（2）.

24．（2023高一下·鄭州期末）已知α，β為銳角，.

（1）求cos2α的值；

（2）求tan(β-α)的值.

答案解析部分

1．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】解：

故

又

即

由，

解得：.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)，先求出，利用二倍角公式可以解出結(jié)果.

2．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】∵為銳角，，∴，

則，

∴.

故答案為：D

【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得，再根據(jù)兩角和正切公式求結(jié)果.

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題中條件，根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及二倍角的余弦公式，和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，直接化簡求解，即可得出結(jié)果.

4．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值

【解析】【解答】由，

得，

則，

故答案為：D.

【分析】先利用誘導(dǎo)公式可得，再利用平方差公式和二倍角公式即可求解.

5．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正切公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】因?yàn)?，?/p>

所以，即，

，解得或，

因?yàn)椋?，?/p>

所以，，，，

因?yàn)?，所以，?/p>

解得，

故答案為：D．

【分析】本題首先可根據(jù)、以及同角三角函數(shù)關(guān)系得出以及，然后根據(jù)二倍角公式對(duì)進(jìn)行化簡即可得出的值．

6．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；兩角和與差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】①因?yàn)椋?/p>

所以，

所以；故正確；

②，故錯(cuò)誤；

③，故錯(cuò)誤；

④，

，故正確.

故答案為：B

【分析】①利用兩角和的正切公式判斷.②利用二倍角的正切公式判斷.③利用二倍角余弦公式判斷.④先通分，得到，再分子用兩角差的正弦公式化簡，分母用二倍角正弦公式化簡即可.

7．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】，且，

，解得．又，

．

，，

．

故答案為：D．

【分析】根據(jù)已知條件以及，解得，再利用二倍角公式即可化簡求得結(jié)果.

8．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】因?yàn)椋裕?/p>

所以，所以，

又，所以

所以.

故答案為：A.

【分析】對(duì)兩邊平方，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，可知，由此即可求出結(jié)果.

9．【答案】B,D

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正切公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】設(shè)，，，故.

故答案為：BD.

【分析】設(shè)，直接利用二倍角的正切公式和兩角和的正切公式。即可得到答案。

10．【答案】C,D

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正切公式；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以A不符合題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以B不符合題意；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?/p>

所以，所以C符合題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以D符合題意.

故答案為：CD.

【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

11．【答案】B,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】解：對(duì)于A，2sin15°cos15°＝sin30；

對(duì)于B，；

對(duì)于C，1﹣2sin215°＝cos30；

對(duì)于D，.

∴值為的是BCD.

故答案為：BCD.

【分析】利用二倍角公式結(jié)合三角函數(shù)的值逐一求解四個(gè)選項(xiàng)得答案.

12．【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：已知函數(shù)，，

則、正確，

、當(dāng)，，即，，在區(qū)間上只有2個(gè)零點(diǎn)，

則在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)錯(cuò)誤，

、的最小正周期為，正確

、當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，

所以為圖象的一條對(duì)稱軸，正確．

故答案為：ACD．

【分析】利用二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

13．【答案】；

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】由，

又，

得，

，

；

故答案為：；.

【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得即可得出結(jié)果；利用誘導(dǎo)公式，再利用二倍角公式即可得出結(jié)果.

14．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正切公式

【解析】【解答】∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，-2），∴tanα=-2tan2α==。

【分析】利用正切函數(shù)的定義結(jié)合二倍角的正切公式，從而求出的值。

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】∵，，

∴，

∴，

∵，兩邊平方，

可得，，

∴.

故答案為：.

【分析】根據(jù)得到，將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，然后利用二倍角公式化簡求解.

16．【答案】π

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式；余弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以函數(shù)的最小正周期為．

故答案為：π．

【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦型函數(shù)的周期公式，即可求得函數(shù)的最小正周期．

17．【答案】2或-1

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】或，

當(dāng)時(shí)，可得：，，

當(dāng)時(shí)，可得，，

故答案為：2或-1

【分析】利用二倍角的余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和的正切公式進(jìn)行求解即可.

18．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；二倍角的余弦公式

【解析】【解答】因?yàn)椋?/p>

所以，

故答案為：.

【分析】由，化簡，即可得解.

19．【答案】（1）解：由

所以．

則

（2）解：因?yàn)椋?/p>

所以

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式

【解析】【分析】(1)利用題意可知，結(jié)