第七章立體與立體相交

第七章立體與立體相交第一頁，共37頁?！锕灿行浴锉砻嫘韵嘭灳€位于兩立體的表面上（外表面或內(nèi)表面）。相貫線是兩立體表面的共有線?！锓忾]性相貫線一般是封閉的空間折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線?！锟臻g性相貫線一般是空間曲線，有時也為平面曲線或直線。2.相貫線的主要性質(zhì)第一頁第二頁，共37頁。★空間分析1.相貫兩立體的表面性質(zhì)（外表面或內(nèi)表面）。3.相貫線作圖的一般方法3.相貫兩立體的相對大小。2.相貫兩立體相互位置。第二頁第三頁，共37頁。

相貫線作圖實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影。4.相貫兩立體對投影面位置。★投影作圖描點(diǎn)法，特殊位置點(diǎn)、一般位置點(diǎn)投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛竦谌摰谒捻?，共37頁。1.相貫線的性質(zhì)兩平面體的交線在一般情況下是折線。這條折線可以分裂成兩個或更多部分，并且都是直線組成的空間封閉線框。1.求解方法

棱線法—求各棱線與棱面的交點(diǎn)

棱面法—求各棱面的交線兩平面體的交線的各個頂點(diǎn)是一個平面體的棱線與另一平面體的交點(diǎn)，交線的各條線段是兩平面體的各棱面間的交線。

§7.1平面體與平面體相交第四頁第五頁，共37頁。3.

連線。注意判別交線的可見性，在P面內(nèi)的交線可見，在Q面內(nèi)的交線不可見。PVQV投影分析

從正面和側(cè)面投影看出，四棱柱的四條棱線都穿過棱錐，所以兩立體是全貫的。其交線是兩條封閉折線。前面一條是空間折線，是四棱柱與三棱錐的前面兩個棱面的交線；后面一條是平面折線，是四棱柱與三棱錐后面棱面的交線。作圖步驟

1.

先求四棱柱的兩個水平棱面對三棱錐各棱面的交線。通過四棱柱上下兩個棱面作水平面P和Q，P和Q與三棱錐各個棱面的交線分別與三棱錐的底面三角形的三條邊平行。2.

求四棱柱左右兩個側(cè)面與三棱錐的交線?？梢杂伤睦庵笥覀?cè)面投影的積聚性和步驟1中求出的交線共同確定。[例題一]求四棱柱與三棱錐的交線第五頁第六頁，共37頁。擦除多余作圖線后的結(jié)果第六頁第七頁，共37頁。1.相貫線的性質(zhì)

相貫線是由若干段平面曲線（或直線）所組成的封閉曲線，每一段平面曲線是平面體的棱面與曲面體表面的截交線。平面曲線的交點(diǎn)就是平面體的棱線與曲面體的交點(diǎn)。2.作圖方法

分析各棱面與曲面的相對位置，從而確定交線的形狀。

求各棱面與曲面的截交線及棱線與曲面的交點(diǎn)。

連接各段交線，并判斷可見性。求交線的實(shí)質(zhì)是求各棱面與曲面的截交線及棱線與曲面的交點(diǎn)?！?.2平面體與曲面體相交第七頁第八頁，共37頁。投影分析

三棱柱與半球的交線由三條截交線組成。它們的空間形狀都是圓弧。由投影可知，三棱柱的最后面的棱面是正平面，前面兩個棱面是與正立面傾斜的鉛垂面。作圖方法

輔助平面法。用一個正平面來切此模型，則切三棱柱前面的兩個棱面分別產(chǎn)生兩條交線，切球面的交線為圓弧。棱面上的交線與圓弧的交點(diǎn)就是三棱柱與球面的交線上的點(diǎn)。RHSHUHTH作圖步驟１.求特殊位置點(diǎn)。?

求三棱柱各條棱線上的點(diǎn)。?

求交線正面投影上虛實(shí)的分界點(diǎn)。３.連線。注意輪廓線的可見性。２.求一般位置點(diǎn)。[例題二]求三棱柱與半圓球的交線第八頁第九頁，共37頁。擦除多余作圖線后的結(jié)果第九頁第十頁，共37頁。1.相貫線的性質(zhì)相貫線一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。2.作圖方法利用投影的積聚性直接找點(diǎn)輔助平面法先找特殊點(diǎn)⒊作圖過程補(bǔ)充一般位置點(diǎn)

輔助球面法連線并判別可見性點(diǎn)§7.3曲面體與曲面體相交第十頁第十一頁，共37頁?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛裢队胺治觯盒A柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。求相貫線的投影：采用表面取點(diǎn)法，利用投影積聚性。☆找特殊點(diǎn)☆找一般位置點(diǎn)☆光滑連接［例題三］求兩圓柱垂直相交的交線第十一頁第十二頁，共37頁。擦除多余作圖線后的結(jié)果第十二頁第十三頁，共37頁。當(dāng)兩圓柱正交時，交線的投影由小圓柱內(nèi)向大圓柱內(nèi)彎曲。隨著小圓柱直徑增大，大圓柱直徑不變，交線彎曲程度越大。當(dāng)兩個圓柱直徑相等時，交線的投影為直線。討論：當(dāng)兩圓柱正交時，隨著直徑變化，相貫線的變化趨勢？第十三頁第十四頁，共37頁。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆兩外表面相貫◆一內(nèi)表面和一外表面相貫★內(nèi)形交線◆兩內(nèi)表面相貫投影分析

這是一個內(nèi)外形都有圓柱面相交的問題。相交的圓柱面都是垂直相交，即柱面正交。這與例題三相似。作圖方法

采用表面取點(diǎn)法，利用投影積聚性。［例題四］補(bǔ)全主視圖第十四頁第十五頁，共37頁。

圓柱面正交，不管是內(nèi)形還是外形，其作圖方法是表面取點(diǎn)，利用投影的積聚性。作圖步驟是先求特殊位置點(diǎn)，再求一般位置點(diǎn)，最后連線，同時判別可見性。小結(jié)擦除多余作圖線后的結(jié)果第十五頁第十六頁，共37頁。作圖方法

輔助平面法。取一正平面為輔助平面，此輔助平面切此模型的交線都是圓柱的素線。這些素線的交點(diǎn)即為相貫線上的點(diǎn)。投影分析

兩圓柱面分別垂直于水平面和側(cè)面，所以交線水平投影積聚在小圓柱的水平投影上，交線的側(cè)面積聚在大圓柱的側(cè)面投影圓弧上（即在小圓柱輪廓線之間的一段圓?。＃劾}五］求兩偏交圓柱的交線。第十六頁第十七頁，共37頁。作圖步驟1.求特殊位置點(diǎn)

●●RHRWTHTWQHQWSHSW2.求一般位置點(diǎn)●PHPW3.連線。注意判別可見性。［例題五］求兩偏交圓柱的交線第十七頁第十八頁，共37頁。II6:1擦除多余作圖線后的結(jié)果第十八頁第十九頁，共37頁。P38（7）P40P41（8）作業(yè)第十九頁第二十頁，共37頁。投影分析

大圓柱是直立的，小圓柱是傾斜的，直立圓柱的水平投影具有積聚性，則交線的水平投影為兩圓柱投影的公共部分。小圓柱的軸線是正平線，則小圓柱的端面圓的正面投影積聚為直線。

作圖方法

輔助平面法。用正平面切此模型，其交線分別為四條直線，它們的交點(diǎn)是相貫線上的點(diǎn)。作圖步驟1.求特殊位置點(diǎn)。

●●2.用輔助平面法求一般位置點(diǎn)。

●PHPWQHQW3.用光滑曲線連線，并判別可見性。［例題六］求兩斜交圓柱的交線第二十頁第二十一頁，共37頁。擦除多余作圖線后的結(jié)果第二十一頁第二十二頁，共37頁。投影分析

相貫線為一光滑的封閉的空間曲線。其中圓柱面的側(cè)面投影有積聚性，因此，相貫線的側(cè)面投影在柱面的側(cè)面投影上。相貫線的正面投影、水平投影應(yīng)分別求出。［例題七］求圓柱與圓錐的交線第二十二頁第二十三頁，共37頁。根據(jù)三面共點(diǎn)的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫出相貫線的投影。作圖方法假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點(diǎn)既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫線上的點(diǎn)。輔助平面的選擇原則

使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影簡單易畫，例如直線或圓。一般選擇投影面平行面作為輔助平面輔助平面法第二十三頁第二十四頁，共37頁?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛窠忸}步驟：★求特殊點(diǎn)★用輔助平面法求中間點(diǎn)★光滑連接各點(diǎn)［例題七］求圓柱與圓錐的交線第二十四頁第二十五頁，共37頁。擦除多余的作圖線后的結(jié)果第二十五頁第二十六頁，共37頁。P42P43P44（14）作業(yè)第二十六頁第二十七頁，共37頁。投影分析

軸線為鉛垂線的直立回轉(zhuǎn)體的水平投影有積聚性。傾斜圓柱的軸線為正平線，其正面投影有積聚性。作圖方法

輔助球面法—同心球面法。其基本原理：若一回轉(zhuǎn)面與一球心在其回轉(zhuǎn)軸上的球面相交，則其交線一定是圓。

同心球面法適用于當(dāng)兩個曲面都是回轉(zhuǎn)面時，且它們的軸線相交并平行于投影面。［例題八］求作兩曲面體的交線第二十七頁第二十八頁，共37頁。作圖步驟1.求特殊位置點(diǎn)。

●●2.求一般位置點(diǎn)。以兩回轉(zhuǎn)體軸線的交點(diǎn)為球心作一個輔助球面。●●3.連線，并判別可見性。［例題八］求作兩曲面體的交線第二十八頁第二十九頁，共37頁。擦除多余的作圖線后的結(jié)果第二十九頁第三十頁，共37頁。定理1

在一般情況下，兩個二次曲面的交線是四次空間曲線。但在特殊情況下可分解成兩條二次曲線（4=2+2），一條直線和一條三次曲線（4=1+3），或四條(4=1+1+1+1)。直徑相等的兩圓柱圓柱與橢圓柱定理2

若兩個二次曲面具有公共的對稱平面，則它們的交線在該平面上的正投影是二次曲線。（1）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中有一個是球面時，則它們的交線在公共對稱平面上的投影是拋物線。拋物線（2）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中有一個是扁橢球面時，則它們的交線在公共對稱平面上的投影是橢圓。橢圓（3）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中不含球面或扁橢球面時，則它們的交線在公共對稱平面上的投影是雙曲線。雙曲線定理3

若兩個二次曲面有兩個切點(diǎn)，則它們的交線分解為通過切點(diǎn)的兩條二次曲線。二次曲線定理4

若兩個二次曲面切于第三個二次曲面，則它們的交線兩條平面曲線。在求兩曲面體的交線時，若遇到這種情況，可以將交線的投影直接畫出，不必找點(diǎn)連線?！?.4二次曲面的交線性質(zhì)第三十頁第三十一頁，共37頁。［例題九］補(bǔ)全視圖形體分析

分析組成模型的基本幾何形體及其相互位置關(guān)系，判斷哪些表面之間有交線，并分析交線趨勢。1小圓柱2大圓柱3圓柱和與之相切的平面立體正交交線作圖步驟

1.

畫出基本體的投影;2.求大圓柱與形體3的交線；

3.求形體3與小圓柱的交線；4.求大小兩圓柱的交線?！?.5多形體相交第三十一頁第三十二頁，共37頁。擦除多余的作圖線后的結(jié)果第三十二頁第三十三頁