2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列方程中，屬于一元二次方程的是(

)A.x2?2x?3=0 B.x2?xy=2 C.2.將拋物線y=x2向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為(

)A.y=x2+2 B.y=x2?23.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是(

)

A.AB//DC，AD//BC B.AB=DC，AD=BC

C.AO=CO，BO=DO D.AB=DC，AD//BC4.某餐飲外賣平臺規(guī)定，點單時除點餐費用外，需另付配送費5元.某學(xué)習(xí)小組收集了一段時間內(nèi)該外賣平臺的部分訂單，統(tǒng)計了每單的消費總額和每單不計算配送費的消費額的兩組數(shù)據(jù)，對于這兩組數(shù)據(jù)，下列判斷正確的是(

)A.眾數(shù)相同 B.中位數(shù)相同 C.平均數(shù)相同 D.方差相同5.對于y=3(x?1)2+2的性質(zhì)，下列敘述正確的是A.頂點坐標(biāo)為(?1,2) B.當(dāng)x=1時，y隨x增大而減小

C.當(dāng)x=1時，y有最大值2 D.對稱軸為直線x=16.如圖，在△ABC中E、F分別是AB、AC上的點，EF//BC，且AEEB=12，若△AEF的面積為2，則四邊形EBCF的面積為A.16

B.14

C.12

D.87.已知方程x2?6x+q=0配方后是(x?p)2=16，那么方程A.(x?p)2=14 B.(x+p)2=148.如圖，函數(shù)y1=mx和y2=x+3的圖象相交于點A(?1,2)，則關(guān)于x的不等式mx<x+3的解集是A.x<2

B.x>2

C.x<?1

D.x>?19.如圖，菱形ABCD對角線AC、BD相交于點O，點E在AC上，CE=CD，AC=16，CD=10，則DE的長為(

)A.210

B.42

C.10.已知拋物線y=ax2?2ax+3(a>0)，A(?1,y1)，B(2,y2)，C(4,yA.y1<y2<y3 B.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24分）11.若二次根式x?2有意義，則x的取值范圍是______．12.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，AB=8，則CD=______．

13.如圖是甲、乙兩人5次足球點球測試(每次點球10個)成績的統(tǒng)計圖，甲、乙兩人測試成績的方差分別記作S甲2、S乙2，則S甲2______S乙2(填“>14.關(guān)于x的方程12x2?3x?1=0的兩根分別為x1，x2，則15.如圖，已知正方形ABCD，邊長為4，點M是正方形ABCD對角線AC上一點，連接BM，過點A作AH⊥BM，垂足為H，連接CH.在M點從C到A的運動過程中，CH的最小值為______．

16.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)的自變量x與函數(shù)值yx…?2?1012…y=a…tm?2?2n…當(dāng)x=?12時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>0.有下列結(jié)論：①abc>0；②?2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的兩個根；三、解答題（本大題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題8.0分)

解方程：

(1)4(x?1)2?1=8；

(2)218.(本小題8.0分)

如圖，D、E分別是AC、AB上的點，連接DE，且∠ADE=∠B，若DE=8，AB=18，AD=6，求BC的長．19.(本小題8.0分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(m?1)x+m?2=0．

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若該方程兩個實數(shù)根的差為3，求m20.(本小題8.0分)

校學(xué)生處為了了解全校1200名學(xué)生每天在上學(xué)路上所用的時間，隨機調(diào)查了30名學(xué)生.下面是某一天這30名學(xué)生上學(xué)所用時間(單位：分鐘)：20，20，30，15，20，25，5，15，20，10，15，35，45，10，20，25，30，20，15，20，20，10，20，5，15，20，20，20，5，15．

通過整理和分析數(shù)據(jù)，得到如下不完全的統(tǒng)計圖．

根據(jù)所給信息，解答下列問題：

(1)補全條形統(tǒng)計圖；

(2)這30名學(xué)生上學(xué)所用時間的中位數(shù)為______分鐘，眾數(shù)為______分鐘；

(3)若隨機問這30名同學(xué)中其中一名學(xué)生的時間，最有可能得到的回答是______分鐘；

(4)估計全校學(xué)生上學(xué)所用時間在20分鐘及以下的人數(shù)．21.(本小題8.0分)

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.過點A作AE//BD，過點D作DE//AC交AE于點E．

(1)求證：四邊形AODE是矩形；

(2)若AB=2，∠ABC=60°，求四邊形AODE的面積．22.(本小題10.0分)

如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．

(1)尺規(guī)作圖：在線段AB上確定一點E，使得AE=4.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)的條件下，連接DE，若F是DE的中點，連接BF，求線段BF的長度．23.(本小題10.0分)

某公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為22元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量m(件)與x(天)的關(guān)系如表：時間x(天)1361036…日銷售量m(件)9490847624…未來40天內(nèi)，前20天每天的價格y1=14x+25(1≤x≤20且x為整數(shù))，后20天每天的價格y2=?12x+40(20<x≤40且x為整數(shù))．

(1)認真分析表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)，二次函數(shù)的知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)m(件)與x(天)之間的關(guān)系式，求出日銷售量m(件)與24.(本小題12.0分)

如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連結(jié)BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點H，連結(jié)AF，CG．

(1)寫出AF和CG的數(shù)量關(guān)系，并證明．

(2)求證：2BG2=BH?BD

(3)連接DF，若正方形ABCD的邊長為25.(本小題14.0分)

如圖，拋物線y=?12x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C，已知A(?1,0)，AB=5．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D是第一象限拋物線上的一個動點，當(dāng)點D在運動過程中，求△CBD的面積的最大值，并寫出此時點D的坐標(biāo)；

(3)在第一象限的拋物線上是否存在點M，使得∠ACO=∠CBM，若存在，求出點答案和解析1.【答案】A

解：A.x2?2x?3=0只含有一個未知數(shù)且最高次數(shù)為2，所以是一元二次方程，故該選項符合題意；

B.x2?xy=2，含有兩個未知數(shù)且最高次數(shù)為2，所以不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

C.x2+1x=2為分式方程，故該選項不符合題意；

D.2(x?1)=x是一元一次方程，故該選項不符合題意．

故選：A．

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；2.【答案】B

解：將拋物線y=x2向下平移2個單位，則所得拋物線的表達式為y=x2?2，

故選：B3.【答案】D

解：A、∵AB//CD，AD//BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；

B、∵AB=DC，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；

C、∵AO=CO，BO=DO，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；

D、AB=DC，AD//BC無法得出四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；

故選：D．

分別利用平行四邊形的判定方法判斷得出即可．

此題主要考查了平行四邊形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵．4.【答案】D

解：由題意知，統(tǒng)計了每單的消費總額是在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，每個數(shù)據(jù)增加5，

所以這兩組數(shù)據(jù)的波動幅度相同，即方差相同；

而這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不同；中位數(shù)不同；平均數(shù)不同；

故選：D．

分別根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差的意義求解即可．

本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．5.【答案】D

解：∵y=3(x?1)2+2，

∴該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(1,2)，故選項A不符合題意；

當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小，故選項B不符合題意；

當(dāng)x=1時，y取得最小值2，故選項C不符合題意；

對稱軸為直線x=1，故選項D符合題意；

故選：D．

根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以得到該函數(shù)的頂點坐標(biāo)，從而可以判斷A；也可以得到當(dāng)x<1時，y隨x增大而減小，從而可以判斷B；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到當(dāng)x=1時，y取得最小值2，即可判斷C；根據(jù)函數(shù)解析式可以直接寫出對稱軸，從而可以判斷D6.【答案】A

解：∵AEEB=12，

∴AEAB=13，

∵EF//BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=(13)2=19，

∵△AEF的面積為2，7.【答案】D

解：x2?6x+q=0，

x2?6x=?q，

配方，得x2?6x+9=?q+9，

即(x?3)2=?q+9，

∵方程x2?6x+q=0配方后是(x?p)2=16，

∴p=3，?q+9=16，

∴q=?7，

∴x2+6x+q=0為x2+6x?7=0，

x2+6x=7，

x2+6x+9=7+9，

(x+3)2=16，

∵P=3，

8.【答案】D

解：∵函數(shù)y1=mx和y2=x+3的圖象相交于點A(?1,2)，

∴不等式mx<x+3的解集為x>?1．

故選：D．

以交點為分界，結(jié)合圖象寫出不等式9.【答案】A

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，

∵AC=16，CD=10，

∴CO=8，

∴OD=DC2?OC2=102?82=6，

∵CE=CD=10，

∴OE=CE?OC=10?8=2，

∴DE=OD210.【答案】B

解：∵拋物線y=ax2?2ax+3=a(x?1)2?a+3，a>0，

∴該拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線開口向上，

∴當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小，

∵A(?1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是拋物線上三點，1?(?1)=2，2?1=1，4?1=3，

∴y2<y1<y311.【答案】x≥2

解：根據(jù)題意，使二次根式x?2有意義，即x?2≥0，

解得x≥2；

故答案為：x≥2．

根據(jù)二次根式有意義的條件，可得x?2≥0，解不等式求范圍．

本題考查二次根式的意義，只需使被開方數(shù)大于等于012.【答案】4

解：∵∠ACB=90°，點D是AB的中點，AB=8，

∴CD=12AB=4，

故答案為：4．

13.【答案】<

解：由統(tǒng)計圖可知：

甲的成績?yōu)椋?，5，6，4，7；

乙的成績?yōu)椋?，2，5，7，3，

∴x甲?=6+5+6+4+75=5.6，

S甲2=(6?5.6)2+(5?5.6)2+(6?5.6)2+(4?5.6)14.【答案】?2

解：∵關(guān)于x的方程12x2?3x?1=0的兩根分別為x1，x2，

∴x1?x2=?115.【答案】2解：如圖，取AB的中點G，連接GH，GC，則BG=12AB=2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC，BC=AB=4，

∴GC=BC2+BG2=42+22=25，

∵AH⊥BM，G為AB的中點，

∴GH=12AB=12×4=2，

∵CH≥GC?GH(當(dāng)且僅當(dāng)點H在線段GC上時，等號成立)，

∴CH≥2516.【答案】①②

解：當(dāng)x=0時，y=c=?2，當(dāng)x=1時，y=a+b+c=?2，

∴a+b=0，拋物線對稱軸為直線x=0+12=12，

∵當(dāng)x=?12時，其對應(yīng)的函數(shù)值y>0，

∴在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，

∴二次函數(shù)開口向上，

∴a>0，b<0．

∴abc>0.①結(jié)論符合題意；

∵x=?2時，y=t，

∴?2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的根．

∵對稱軸為直線x=12，

∴?2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的兩個根．②結(jié)論符合題意；

∵b=?a，c=?2，

∴二次函數(shù)解析式：y=ax2?ax?2，

∵當(dāng)x=?12時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>0．

∴34a?2>0，

∴a>83；

∵當(dāng)x=?1和x=2時的函數(shù)值分別為m和n，

∴m=n=2a?2，

∴m+n=4a?4>203；故③錯誤，

故答案為：①②．

利用待定系數(shù)法將點(0,?2)，(1,?2)代入解析式求出c=?2，a+b=0，再結(jié)合二次函數(shù)圖象與已知信息當(dāng)x=?17.【答案】解：(1)4(x?1)2?1=8，

∴4(x?1)2=9，

∴(x?1)2=94，

x?1=?32或x?1=32，

∴x1=52，x【解析】(1)用直接開平方法解一元二次方程即可；

(2)用公式法解一元二次方程即可．

本題考查了直接開平方法和公式法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴ADAB=DEBC．

∵DE=8，AB=18，AD=6，

∴【解析】由兩角相等的兩個三角形相似得到△ADE∽△ABC，則ADAB=DEBC，再代入數(shù)值即可求BC的長．

此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明19.【答案】(1)證明：∵一元二次方程x2?(m?1)x+m?2=0，

∴Δ=(1?m)2?4(m?2)

=m2?2m+1?4m+8

=(m?3)2．

∵(m?3)2≥0，

∴Δ≥0．

∴該方程總有兩個實數(shù)根．

(2)解：∵一元二次方程x2?(m?1)x+m?2=0，

解方程，得x1=1，x2=m?2．

∵該方程的兩個實數(shù)根的差為【解析】(1)證明一元二次方程的判別式大于等于零即可；

(2)用m表示出方程的兩個根，比較大小后，作差計算即可．

本題考查了一元二次方程根的判別式，方程的解法，熟練掌握判別式，并靈活運用實數(shù)的非負性是解題的關(guān)鍵．20.【答案】20

20

20

解：(1)補全條形統(tǒng)計圖如圖所示．

(2)這30名學(xué)生用時數(shù)據(jù)從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)都是20分鐘，

因此中位數(shù)是20，即m=20，

這30名學(xué)生用時數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是20分鐘，

因此眾數(shù)是20，即n=20，

故答案為：20，20；

(3)由于眾數(shù)是20分鐘，

因此用時為20分鐘的學(xué)生最多，

所以最有可能得到的回答是20分鐘；

故答案為：20；

(4)3+3+6+1230×1200=960(人)，

答：估計全校學(xué)生上學(xué)時間在20分鐘及以下的人數(shù)約為960人．

(1)根據(jù)頻數(shù)統(tǒng)計的方法可得“15分鐘”和“40分鐘”的頻數(shù)，進而補全條形統(tǒng)計圖；

(2)根據(jù)眾數(shù)的意義，找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即可，根據(jù)中位數(shù)的意義，求出排列后處在中間位置的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)即可；

(3)根據(jù)眾數(shù)和可能性的大小即可得出答案；

(4)用1200乘以樣本中“20分鐘及以下”的學(xué)生所占比例即可．21.【答案】(1)證明：∵AE//BD，DE//AC，

∴四邊形AODE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

∴平行四邊形AODE為矩形；

(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=2，

∴OA=12AC=1，

∴OD=OB=AB2?OA2=3，

【解析】(1)先證四邊形AODE是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，則∠AOD=90°，即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=BC，再證△ABC是等邊三角形，得AC=AB=2，則OA=12AC=1，然后由勾股定理得OD=OB=22.【答案】解：(1)以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交AB于點M，

可得AM=AD=3，

∴BM=AB?AM=2，

再作線段BM的垂直平分線，交BM于點E，

可得ME=12BM=1，

∴AE=AM+ME=4．

如圖，點E即為所求．

(2)過點F作FG⊥AB于點G，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠A=90°，

∴AD//FG，

∴EFDE=FGAD=EGAE，

∵F是DE的中點，

∴EFDE=12，【解析】(1)以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交AB于點M，再作線段BM的垂直平分線，交BM于點E，則點E即為所求．

(2)過點F作FG⊥AB于點G，結(jié)合已知條件以及矩形的性質(zhì)可得FG=32，EG=2，則BG=GE+BE=3，再由勾股定理可得BF=BG23.【答案】解：(1)由題意可知，m(件)與x(天)滿足一次函數(shù)關(guān)系．

設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為m=kx+b，

將(1,94)，(3,90)分別代入一次函數(shù)關(guān)系式m=kx+b中，得k+b=943k+b=90，

解得k=?2b=96，

∴m=?2x+96，

經(jīng)檢驗，其他m與x的對應(yīng)值均適合以上關(guān)系式，

∴日銷售量m(件)與x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式：m=?2x+96；

(2)設(shè)前20天日銷售利潤為P1元，后20天日銷售利潤為P2元，

則P1=(?2x+96)(14x+25?22)=?12x2+18x+288=?12(x?18)2+450，

∵1≤x≤20，?12<0，

∴當(dāng)x=18時，P1有最大值，最大值為450；

P2=(?2x+96)(?12x+40?22)=x2?84x+1728=(x?42)2【解析】(1)利用待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)關(guān)系式；

(2)日利潤=日銷售量×每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論．

此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決實際問題，屬于中考?？碱}型．24.【答案】(1)解：AF=CG，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵四邊形BGEF是正方形，

∴∠BF=BG，∠FBG=90°，

∴∠ABF=∠GBC，

∴△ABF≌△CBG(SAS)，

∴AF=CG；

(2)證明：∵∠BEH=∠EDB=45°，∠EBH=∠DBE，

∴△BEH∽△BDE，

∴BEBD=BHBE，

∴BE2=BD?BH，

∵BE=2BG，

∴2BG2=BH?BD；

(