北京市西城區(qū)育才中學高二上學期期中考試數(shù)學（理）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2017—2018學年度第一學期北京育才學校高二數(shù)學（理科）期中考試試卷一、選擇題（每小題5分,8道題,共40分）1。拋物線的焦點坐標為（）．A。B。C.D?！敬鸢浮緿【解析】拋物線的焦點在軸上，坐標為．選D．2。圓與直線相切于點，則直線的方程為（)．A.B.C。D?！敬鸢浮緿【解析】圓的方程為，故圓心為，半徑,由題意得圓心與切點間的距離半徑，∴,解得，又圓心與切點連線的斜率，∴直線斜率，又直線過點，∴直線的方程為，即．選．3。若雙曲線的離心率是，則實數(shù)（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】，，,∴，解得，故選．點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等。4.“"是“”的（）．A。必要不充分條件B.充分不必要條件C。充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則或，據(jù)此可得：“”是“”的充分不必要條件本題選擇B選項。5.長方體一個頂點上三條棱的長分別是、、，且它的頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是(）．A。B。C.D?！敬鸢浮緾【解析】設球的半徑為,則由題意得,解得，所以球的表面積．選．點睛：對于球的外接或內(nèi)切的問題，解題的關鍵是如何確定球心的位置。解題時要根據(jù)內(nèi)接(或外切）的幾何體的特征,確定出球心得位置，然后根據(jù)勾股定理建立關于球半徑的等式，進而求得球半徑，從而達到求解的目的。其中,當球的內(nèi)接幾何體的長方體（或正方體)時，球的直徑為長方體(或正方體）的體對角線的長。6.一個幾何體的三視圖及其尺寸如下,則該幾何體的表面積及體積為（）．A.，B。，C。，D。以上都不正確【答案】A【解析】由三視圖知該幾何體為圓錐，且底面圓半徑為3，高為。所以表面積．體積．選．7.下列說法不正確的是（）．A.,B.，，C。夾在平行平面間的平行線段相等D。若平面外的一條直線上有兩點到這個平面的距離相等，則這條直線和這個平面平行【答案】D【解析】選項A，B,C中，由面面平行的性質(zhì)得正確.選項中,平面外的一條直線上有兩點到平面的距離相等,則這條直線可能平形于這個平面,也可能與此平面相交．故D不正確。選．8.為過橢圓中心的弦，為橢圓的右焦點，則面積的最大值是（）．A.B.C.D?！敬鸢浮緼【解析】面積為與面積的和，設點到軸的距離為，∵過橢圓中心的弦，所以點到軸的距離為,且,∴，∵最大值為,∴的最大值為．選．點睛：(1)圓錐曲線中對于求三角形面積的問題，有時可根據(jù)圖形的特點將三角形的面積化為兩個同底的三角形的面積的和，可使得解題變得簡單。(2）解題時注意解析幾何中一些結論的利用，可提高解題的效率。如在本題中，用到了橢圓上的點到長軸距離的最大值為短軸的長這一結論。二、填空題（每小題5分,6道題，共30分）9.命題“，”的否定是__________．【答案】，【解析】全稱命題的否可得，命題的否定為“，"．答案:,。10。已知點,拋物線的焦點是，若拋物線上存在一點，使得最小，則最小值為__________；此時點的坐標為__________．【答案】(1）。3(2）?！窘馕觥咳缟蠄D,過作于,則由拋物線的定義得所以，由圖形得當、、三點共線時，最小，又最小值為到準線的距離此時最小值為，此時點的縱坐標為，所以，即點的坐標為．答案：(1).3(2).點睛：(1）將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解;（2）將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決．11。中心在原點,焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則它的離心率為_____．【答案】【解析】設雙曲線方程為，則其漸近線方程為，將點坐標代入上式，得,∴．答案:12。如圖，一個空間幾何體的主視圖，左視圖都是面積為，且一個內(nèi)角為的菱形,俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為__________;體積為__________．【答案】（1）.4（2）.【解析】由三視圖可知該幾何體由兩個相同的正四棱錐組成?！哒晥D，側視圖都是面積為,一個內(nèi)角為的菱形，∴菱形的邊長為，又正四棱錐的底面邊長為,側面底邊長為，斜高為，側棱長為，∴幾何體的表面積為，體積．答案：(1)。4（2)。13.下列說法中正確的是__________．①一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；②“”是“”的充要條件；③“，則，全為”的逆否命題是“若，全不為，則”④一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真；⑤“為假命題"是“為真命題"的充分不必要條件．【答案】②④⑤【解析】對于①，由于逆命題與否命題真假性相同，但無法判斷其逆否命題的真假,故①錯誤．對于②，由“”可推出“”，由“"也可推出“”，故②正確．對于③，原命題的逆否命題為“若、不全為，則”，故③錯誤．對于④,由于否命題與逆命題真假性相同,故④正確．對于⑤，“”為假命題，那么為真命題，可推出“為真命題”，反之不成立。故⑤正確．綜上可得②④⑤正確.答案:②④⑤14。下列命題正確的是__________．①兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行或互為異面直線；②如果兩個平面有三個公共點，那么它們重合；③一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點,則這條直線和這個平面平行；④兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行;⑤過兩條異面直線中的一條可以作無數(shù)個平面與另一條直線平行．【答案】①【解析】對于①，由空間中兩條直線的位置關系可得正確．對于②，滿足條件的兩個平面可能相交也可能平行,故②錯誤.對于③，滿足條件的直線和平面可能平行，也可能在平面內(nèi)，故③錯誤．對于④,滿足條件的兩直線可能相交或平行，故④錯誤。對于⑤,由于只能作出一個符合要求的平面,故⑤錯誤。綜上只有①正確.答案：①點睛：點、線、面的位置關系的判斷方法(2）利用線線平行、線面平行、面面平行以及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理綜合進行推理和判斷命題是否正確．三、解答題(6道題,共80分）15。已知命題，．(）分別寫出真、真時不等式的解集．（）若是的充分不必要條件，求的取值范圍．【答案】（）真時，解集為；真時，解集為（)【解析】試題分析：（1）由絕對值不等式和一元二次不等式的解法可得不等式的解集。（2）結合(1)得到對應的集合，將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為兩集合間的包含關系,利用不等式求解即可。試題解析:（）由，得，．∴當真時對應的集合為。由，得，解得或．∴當真時對應的集合為或。（）由題知當對應的集合為或，∵是的充分不必要條件,∴或或∴，且等號不能同時成立。解得．∴實數(shù)的取值范圍為。點睛：解答本題時注意充分必要條件與集合間的關系.設命題對應的集合為，命題對應的集合為，則的充分條件等價于；的充分不必要條件等價于；的充要條件等價于.16.正三棱柱中，是上一點，若．（)若底面邊長為，側棱長為,求該正三棱柱的表面積、體積．（）求證：平面．【答案】（），（）見解析【解析】試題分析:（1)由等邊三角形、矩形的面積公式可得柱體的表面積；由體積公式可得柱體的體積。(2）由題意可證得點D為BC的中點，連，交于點，則點O為的中點，連接，可得,從而可證得平面．試題解析:（）在正三棱柱中，為等邊三角形，∵的邊長為,∴，∴正三棱柱的表面面積，體積．(）證明：∵，,∴點D為BC的中點。連接，交于點，則點為的中點。連接,在中，，分別為，中點，∴，又平面，平面,∴平面．17。已知圓的半徑為，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切．（）求圓的標準方程．（)求直線與圓相交的弦長．【答案】（）（）【解析】試題分析：（1）由題意設出圓的標準方程為，根據(jù)直線與圓相切可求得，從而可求得圓的方程。(2）先求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式求解。試題解析:（）由題意設圓的方程為,∵圓與直線相切，∴圓心到直線的距離，解得或（舍去)，∴圓的方程為．（)圓心到直線距離,所以弦長為．18。四棱錐中底面是平行四邊形,是中點，過的平面與交于．（)求證：平面．(）求證：是中點．【答案】（1）見解析;(2)見解析【解析】試題分析:（1）由平行四邊形可得，根據(jù)線面平行的判斷定理可得平面。(2）由（1）得平面,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，又是的中點,故得是中點．試題解析：（1)證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面,∴平面．（）證明:由（1)可得平面，又平面,平面,∴，又是的中點，∴是中點．19.一座拋物線拱橋在某時刻水面的寬度為米,拱頂距離水面米．（)建立如圖所示的平面直角坐標系，試求拱橋所在拋物線的方程．（）若一竹排上有一米寬米高的大木箱，問此木排能否安全通過此橋?【答案】（)（)可以安全通過【解析】試題分析：（1）由題意建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，將點坐標代入方程求得即可得到拋物線方程.(2）根據(jù)（1）中的拋物線方程，當當時，得，由于，故可以安全通過。試題解析：（)由題意在平面直角坐標系中，設拋物線方程為。由條件得點在拋物線上，∴解得,∴拋物線方程為,即．（)由（1）可得拋物線的方程為當時，解得,∵，∴木排可安全通過此橋．20.已知橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為，且過點．(）求橢圓的標準方程．（)、、、是橢圓上的四個不同的點，兩條都不和軸垂直的直線和分別過點，，且這條直線互相垂直，求證:為定值．【答案】（)（)見解析【解析】試題分析：（1）由離心率可得，故橢圓的方程為，將點的坐標代入方程可得，，從而可得橢圓的方程.（2）①當直線的斜率為0時，為長軸長,為通徑長;②當直線的斜率不為0時，設出直線的方程，運用橢圓的弦長公式可得和,然后驗證即可得到結論.試題解析:（）∵，∴，∴，∴橢圓的方程為,又點在橢圓上，∴解得，∴，∴橢圓的方程為．（)由（1)得橢圓的焦點坐標為,，①當直線的斜率為0時，則，