七年級數(shù)學(xué)上冊考點(diǎn)03 平面基本圖形（2）（角的運(yùn)算、余角和補(bǔ)角）（原卷版）

/考點(diǎn)03平面基本圖形（2）（角的運(yùn)算、余角和補(bǔ)角）知識框架基礎(chǔ)知識點(diǎn)知識點(diǎn)1-1角的相關(guān)概念1）角的定義：角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成，兩條射線的公共端點(diǎn)是這個角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊，構(gòu)成角的兩個基本條件：一是角的頂點(diǎn)，二是角的邊．角的另一種定義：角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的．如圖4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A為端點(diǎn)的射線，從AB的位置繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AC的位置而成的圖形．如圖4-3-8所示，射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OC和起始位置OA成一直線時，所成的角叫做平角；如圖4-3-9所示，射線OA繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所成的角叫做周角.2）角的分類：小于平角的角可按大小分成三類：當(dāng)一個角等于平角的一半時，這個角叫直角；大于零度角小于直角的角叫銳角（0°<銳角<90°）；大于直角而小于平角的角叫鈍角（90°<鈍角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用幾何符號“∠”表示，角的表示方法可歸納為以下三種：(1)用三個大寫英文字母表示，如圖4-3-3所示，記作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的頂點(diǎn)，寫在中間；A和B分別是角的兩邊上的一點(diǎn)，寫在兩邊，可以交換位置．(2)用一個大寫英文字母表示，如圖4-3-3所示，可記作∠O．用這種方法表示角的前提是以這個點(diǎn)作頂點(diǎn)的角只有一個，否則不能用這種方法表示，如圖4-3-4所示，∠AOC就不能記作∠O．因?yàn)榇藭r以O(shè)為頂點(diǎn)的角不止一個，容易混淆．(3)用數(shù)字或小寫希臘字母來表示，用這種方法表示角時，要在靠近頂點(diǎn)處加上弧線，注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母α、β、γ等．如圖4-3-4所示，∠AOB記作∠l，∠BOC記作∠2；如圖4-3-5所示，∠AOB記作∠β，∠BOC記作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角時要注意：(1)對中（頂點(diǎn)對中心）；(2)重合（一邊與刻度尺上的零度線重合）(3)讀數(shù)（讀出另一邊所在線的刻度數(shù)）．5）角的換算：在量角器上看到，把一個平角180等分，每一份就是1°的角．1°的為1分，記作“1′”，即l°＝60′.1′的為1秒，記作“1″”，即1″＝60″．1．（2021·全國七年級課時練習(xí)）角也可以看成是一條射線________的圖形，這條射線的起始位置叫做角的_____，這條射線的終止位置叫做角的__________．2．（2021·湖南會同縣·七年級期末）如圖所示下列說法正確的是（）A．就是 B．可以用表示C．和是同一個角 D．和不是同一個角3．（2021·山西太谷縣·）下列各角中，是鈍角的是（）．A．周角 B．平角 C．平角 D．平角4．（2021·陜西神木市·七年級期末）若∠α＝5.12°，則∠α用度、分、秒表示為（）A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″5．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校）鐘面上3點(diǎn)20分時，時針與分針的夾角度數(shù)是（）A．30° B．25° C．15° D．20°6．（2020·遼寧鞍山初一期末）如下圖，在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有個角；畫2條射線，圖中共有個角；畫3條射線，圖中共有個角；求畫n條射線所得的角的個數(shù).7．（2021·吉林吉林市·七年級期末）如圖，平面上有四個點(diǎn)A，B，C，D．（1）根據(jù)下列語句畫圖：①射線BA；②直線AD，BC相交于點(diǎn)E；③在線段DC的延長線上取一點(diǎn)F，使CF＝BC，連接EF．（2）圖中以E為頂點(diǎn)的角中，小于平角的角共有個．8．（2020·成都市嘉祥外國語初一月考）某人下午6點(diǎn)到7點(diǎn)之間外出購物，出發(fā)和回來時發(fā)現(xiàn)表上的時針和分針的夾角都為110°，此人外出購物共用了__________分鐘．知識點(diǎn)1-2角的比較1）角的比較方法(1)度量法：如圖4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)疊合法：比較∠ABC與∠DEF的大小，先讓頂點(diǎn)B、E重合，再讓邊BA和邊ED重合，使另一邊EF和BC落在BA(DE)的同側(cè)．如果EF和BC也重合(如圖4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．記作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如圖4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，記作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的內(nèi)部(如圖4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，記作∠DEF＜∠ABC.提示：疊合法可歸納為“先重合，再比較”.2）角的和、差由圖4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，圖4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；圖4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分線從一個角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線．如圖4-4-9所示，射線OC是∠BOA的平分線，則∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA.4）方向的表示eq\o\ac(○,1)方位角：是指南北方向線與目標(biāo)方向所成的小于900的水平角。注意表示方向時要先寫北或南，再寫偏東或偏西，最后寫多少度.如圖4-4-2所示，OA是表示北偏東30°的一條射線．特別地，射線OC表示北偏西45?；?qū)懗晌鞅狈较颍甧q\o\ac(○,2)仰角和俯角：如圖：在用上標(biāo)上仰角和俯角1．（2021·東營市東營區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）如圖．∠AOB＝∠COD，則()A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1與∠2的大小無法比較2．（2021·山東單縣·七年級期中）下面等式成立的是（）A． B．C． D．3．（2021·全國）如圖，已知∠DAE=∠EAF，∠BAD=∠CAF，則下列結(jié)論：①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分.正確的有__________．（只填序號）4．（2021·遼寧西豐縣·七年級期末）將一副三角板按如圖所示的方式放置，則∠AOB的大小為（）A．75° B．45° C．30° D．15°5．（2021·全國）某一時刻從海島觀測站P觀測到海面上的兩艘輪船，輪船A位于南偏東方向上，輪船B位于北偏西方向上，此時為（）．A． B． C． D．6．（2021·河北涿鹿縣·）如圖，把一張長方形紙片沿AB折疊后，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為______．7．（2021·陜西神木市·七年級期末）如圖，已知∠BAE＝∠CAF＝110°，∠CAE＝60°，AD是∠BAF的平分線，則∠BAD的度數(shù)為___°．8．（2021·廣東南山區(qū)·蛇口育才二中七年級期中）如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，,將一直角三角板（∠M＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，另一邊OM與OC都在直線AB的上方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．（1）幾秒后ON與OC重合？（2）如圖2，經(jīng)過秒后，MN∥AB；（3）若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間OC與OM重合？請并說明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過多長時間OC平分∠MOB？請說明理由．知識點(diǎn)1-3余角、補(bǔ)角、對頂角1）余角定義：如果兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角，簡稱互余，其中一個角是另一個角的余角。用數(shù)學(xué)語言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α與∠β余角；反過來，如果∠α與∠β互余，那么∠α+∠β=90°2）補(bǔ)角定義：如果兩個角的和是一個平角，這兩個角叫做互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，其中一個角是另一個角的補(bǔ)角。用數(shù)學(xué)語言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α與∠β互補(bǔ)；反過來如果∠α與∠β互補(bǔ)，那么∠α+∠β=180°3）余角（補(bǔ)角）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等。4）對頂角的定義：一對角，如果它們的頂點(diǎn)重合，兩條邊互為反向延長線，我們把這樣的兩個角叫做互為對頂角，其中一個角叫做另一個角的對頂角。注：對頂角是成對出現(xiàn)的，它們有公共的頂點(diǎn)；只有兩條直線相交時才能形成對頂角。5）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。說明：如圖，∠1和∠4是對頂角，∠2和∠3是對頂角，即∠1=∠4，∠2=∠3112341．（2021·遼寧朝陽·七年級期末）下列說法正確的是（）A．互補(bǔ)的兩個角是鄰補(bǔ)角 B．相等的角必是對頂角C．對頂角一定相等 D．若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校七年級月考）下圖中，和是對頂角的是（）A． B． C． D．3．（2021·廣東·新豐縣教育局教研室七年級月考）下列圖形中，與是鄰補(bǔ)角的是（）A．B．C．D．4．（2021·陜西澄城·七年級期末）已知，則下列說法正確的是（）A．與是鄰角B．與是鄰補(bǔ)角C．與互為余角D．與互為補(bǔ)角5．（2021·云南臨滄·七年級期中）如圖所示，，垂足為，是過點(diǎn)的一條直線，則下列關(guān)于與的關(guān)系一定成立的是（）A．互為對頂角 B．互補(bǔ) C．相等 D．互余6．（2021·山東黃島·七年級期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)O，，，則的度數(shù)為__________．7．（2021·河北青龍·七年級期中）已知與互為補(bǔ)角，且，則______．8．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校七年級期中）若一個角等于42°，則它的余角等于（）A．38° B．48° C．138° D．148°9．（2021·全國·七年級專題練習(xí)）已知∠1和∠2互為余角，且∠2與∠3互補(bǔ)，∠1＝60°，則∠3為（）A．120° B．60° C．30° D．150°10．（2021·山東沂南·七年級期末）已知O為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．射線OC平分∠MOB．（1）如圖1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度數(shù)；（2）在圖1中，若∠AOM＝，直接寫出∠CON的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）將圖1中的直角三角板OMN繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)∠AOC＝3∠BON時，求∠AOM的度數(shù)．重難點(diǎn)題型題型1與平面圖相關(guān)的概念問題1．（2021·全國七年級課時練習(xí)）下列說法中：（1）角的兩邊越長，角就越大；（2）與表示同一個角；（3）在角一邊的延長線上取一點(diǎn)D；（4）角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．錯誤的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021·全國七年級）下列關(guān)于角的說法正確的是（）A．角是由兩條射線組成的圖形 B．在角一邊延長線上取一點(diǎn)C．角的邊越長，角越大 D．角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形3．（2021·全國七年級專題練習(xí)）下列說法中，不正確的有（）A．大于0°小于90°的角是銳角； B．等于90°的角是直角C．大于90°的角是鈍角； D．平角等于180°4．（2020·廣東汕頭初一期末）下列說法：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）兩點(diǎn)確定一條直線；（3）同一個銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°；（4）A、B兩點(diǎn)間的距離是指A、B兩點(diǎn)間的線段；其中正確的有（）A．一個 B．兩個 C．三個 D．四個5．（2021·全國·七年級課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（）．A．鄰補(bǔ)角是互補(bǔ)的角 B．互補(bǔ)的角若相等，則此兩角是直角C．鄰補(bǔ)角相等 D．一個角的兩個鄰補(bǔ)角是對頂角6．（2021·河北晉州·初一期中）下列說法中錯誤的有()(1)線段有兩個端點(diǎn)，直線有一個端點(diǎn)；(2)角的大小與我們畫出的角的兩邊的長短無關(guān)；(3)線段上有無數(shù)個點(diǎn)；(4)同角或等角的補(bǔ)角相等；(5)兩個銳角的和一定大于直角．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2020·銀川外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校初一期末）用一個放大鏡去觀察一個角的大小，正確的說法是（）A．角的度數(shù)擴(kuò)大了B．角的度數(shù)縮小了C．角的度數(shù)沒有變化D．以上都不對題型2角的表示與計(jì)算1．（2021·北京房山區(qū)·七年級期末）下列四個圖中，能用、、三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．2．（2021·四川大邑縣·）如圖，下列各個圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一角的圖形是（）A．B．C．D．3．（2021·山東高青縣·七年級期末）如圖，能用∠AOB，∠O，∠1三種方法表示同一個角的圖形是（）A．B．C．D．4．（2021·廣東順德區(qū)·七年級期末）計(jì)算：（）A．10° B．18° C．20° D．30°5．（2021·哈爾濱市第四十九中學(xué)校期中）______°．6．（2021·全國）下列各式不正確的是（）A． B． C． D．7．（2020·山東省昌樂第一中學(xué)初一月考）已知∠1=18°18′，∠2=18.18°，∠3=18.3°，下列結(jié)論正確的是（）A．∠1=∠3 B．∠1=∠2 C．∠2=∠3 D．∠1=∠2=∠38．（2021·全國）已知，，，下列比較大小正確的是（）A． B． C． D．題型3鐘面上的角度問題1．（2021·浙江新昌縣·）周末早上，小蘭9：00從家里出發(fā)去圖書館看書，上午10：30回到家中，這段時間內(nèi)鐘面上的時針轉(zhuǎn)了（）A．37.5° B．45° C．52.5° D．60°2．（2021·遼寧西豐縣·七年級期末）某校下午放學(xué)的時間是4：30，此時時針與分針夾角的度數(shù)為______．3．（2021·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)七年級期末）在10點(diǎn)10分時，鐘表上時針和分針的夾角為_______度4．（2021·浙江浙江省·七年級單元測試）鐘表上的時間是2時40分，此時時針與分針?biāo)傻膴A角是____度．5．（2021·浙江七年級期末）星期二中年，小新同學(xué)正在做數(shù)學(xué)作業(yè)，突然抬頭看到時鐘上正好，他想：此刻（即）時針與分針的夾角是幾度呢？嗨，同學(xué)，你認(rèn)為這個角的度數(shù)應(yīng)該是____________．6．（2021·四川龍泉驛區(qū)·七年級期末）我們將圓形鐘面的時針和分針看作是兩條從圓心發(fā)出的射線，當(dāng)時針和分針夾角180度時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時刻稱為“平衡時刻”，如圖，6點(diǎn)整就是一個平衡時刻，請問從0時到24時共有_________個平衡時刻．7．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校七年級期末）如圖1，在表盤上12：00時，時針、分針都指向數(shù)字12，我們將這一位置稱為“標(biāo)準(zhǔn)位置”(圖中)．小文同學(xué)為研究12點(diǎn)分()時，時針與分針的指針位置，將時針記為，分針記為．如：12：30時，時針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)動°；時針每分鐘轉(zhuǎn)動°；（2）當(dāng)與在同一直線上時，求的值；（3）當(dāng)、、兩兩所夾的三個角、、中有兩個角相等時，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數(shù)均不超過180°)題型4方位角問題1．（2021·吉林吉林市·七年級期末）如圖，OA表示北偏東41°方向，OB表示南偏東54°方向，則∠AOB＝_____度．2．（2021·湖北江漢區(qū)·七年級期末）某貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的南偏東65°方向上，同時在它的北偏東40°方向發(fā)現(xiàn)了一座海島B，則∠AOB的度數(shù)是__________．3．（2021·吉林公主嶺·七年級期末）如圖，射線OA的方向?yàn)楸逼珫|30°，∠AOB=90°，則射線OB的方向?yàn)椋ǎ〢．南偏東30° B．南偏西30° C．南偏東60° D．南偏西60°4．（2021·四川郫都區(qū)·）如圖，點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏西60°的方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏東20°的方向上______°．5．（2021·河北滄州市·）如圖，是小明家（圖中點(diǎn)O）和學(xué)校所在地的簡單地圖，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C為OP的中點(diǎn)．①請用距離和方向角表示圖中商場、學(xué)校、公園、停車場分別相對小明家的位置；②若學(xué)校距離小明家400m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？6．（2021·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）如圖，射線OA的方向是北偏東，射線OB的方向是北偏西，射線OD是OB的反向延長線．（1）射線OC的方向是______；（2）求的度數(shù)；（3）若=90°，試說明射線OE平分．題型5一副直角三角形板中的角度問題1．（2021·黑龍江虎林市·）如圖，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合放置于點(diǎn)A處，下列結(jié)論：①∠BAE>∠DAC；②∠BAD=∠EAC；③AD⊥BC；④∠BAE+∠DAC=180°；⑤∠E+∠D=∠B+∠C．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2021·漳州市普通教育教學(xué)研究室七年級期末）將一副三角尺按下列幾種方式擺放，則能使的擺放方式為（）A． B．C． D．3．（2021·山東臨清市·七年級期末）如圖，將一個三角板60°角的頂點(diǎn)與另一個三角板的直角頂點(diǎn)重合，，則的度數(shù)是（）A．B．C．D．4．（2021·河北定州市·七年級期末）如圖，把一副三角板疊合在一起，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．5．（2021·安徽淮北市·）如圖，一副三角板（直角頂點(diǎn)重合）擺放在桌面上，若，則______．6．（2021·山東東明縣·七年級期末）借助一副三角板，可以得到一些平面圖形（1）如圖1，∠AOC＝度．由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是多少度？（2）如圖2，∠1的度數(shù)比∠2度數(shù)的3倍還多30°，求∠2的度數(shù)；（3）利用圖3，反向延長射線OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，請按題意補(bǔ)全圖（3），并求出∠EOF的度數(shù)．題型6.折疊有關(guān)的角度問題1．（2021·四川成都市·成都實(shí)外）如圖，將長方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，C重合），使點(diǎn)C落在長方形內(nèi)部點(diǎn)E處，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，則∠GFH的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°2．（2021·成都市初一月考）如圖，將一張長方形紙片的角A、E分別沿著BC、BD折疊，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)E落在邊BA'上的E'處，則∠CBD的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°3．（2021·江西·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)七年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，沿線段BE對折后，若比大18°，則的度數(shù)是___________________度．4．（2020·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠CBD＝66°，則∠ABE＝_________.5．（2021·遼寧西豐縣·七年級期末）利用折紙可以作出角平分線．（1）如圖1，若∠AOB＝58°，則∠BOC＝．（2）折疊長方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接OA'．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B'在OA'上時，判斷∠AOC與∠BOD的關(guān)系，并說明理由；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時，連接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度數(shù)．6．（2021·黑龍江甘南縣·七年級期末）請仔細(xì)觀察如圖所示的折紙過程，然后回答下列問題：（1）的度數(shù)為__________；（2）與有何數(shù)量關(guān)系：______；（3）與有何數(shù)量關(guān)系：__________；題型7余角、補(bǔ)角、對頂角的相關(guān)計(jì)算問題1．（2021·廣東·佛山市華英學(xué)校七年級期中）如圖，直線和交于點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．100° D．120°2．（2021·福建梅列·七年級期中）已知，則的補(bǔ)角等于（）A．B．C．D．3．（2021·山東招遠(yuǎn)市·）如圖，已知是平角，平分，在平面上畫射線，使和互余，若，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或4．（2021·福建省福州延安中學(xué)七年級期末）將一副三角板如圖所示擺放，若∠BAE＝125°，則∠CAD的度數(shù)是____．5．（2021·黑龍江巴彥·七年級期末）已知直線和相交于，為銳角．（1）填空：如圖1圖中有______對相等的角（平角除外）分別是___________，判斷的依據(jù)是___________（2）如圖2，作，平分，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，，計(jì)算的度數(shù)．6．（2021·江西·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)七年級期末）如圖，直線上有一點(diǎn)，平分，是內(nèi)部的一條射線．（1）在圖中與互補(bǔ)的角有___________；（2）當(dāng)，則的度數(shù)是___________；（3）當(dāng)，，求的度數(shù)．題型8與角平分線（角的和差）有關(guān)的計(jì)算1．（2021·甘肅瓜州縣·七年級期末）如圖，已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠AOD．（1）如圖1，若∠COE＝20°，則∠DOB的度數(shù)為°；（2）將圖1中的∠COD放置圖2的位置，其他條件不變，探究∠COE和∠DOB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（2021·全國七年級課時練習(xí)）如圖，OM是的平分線，ON是的平分線．（1）如圖1，當(dāng)是直角，時，________，________，________；（2）如圖2，當(dāng)，時，猜想：與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)，（為銳角）時，猜想：與?有數(shù)量關(guān)系嗎?如果有，請寫出結(jié)論，并說明理由．3．（2021·山東乳山市·期末）（問題回顧）我們曾解決過這樣的問題：如圖1，點(diǎn)O在直線上，，分別平分，，可求得．（不用求解）（問題改編）點(diǎn)O在直線上，，OE平分．（1）如圖2，若，求的度數(shù)；（2）將圖2中的按圖3所示的位置進(jìn)行放置，寫出與度數(shù)間的等量關(guān)系，并寫明理由．4．（2021·湖北黃梅縣·）如圖，已知，平分，平分．（1）若是直角，，求的度數(shù)；（2）若，則是多少度？5．（2021·黑龍江昂昂溪區(qū)·）如圖①，已知線段AB＝14cm，點(diǎn)C為線段AB上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn)，則DE＝______cm；若AC＝6cm，則DE＝_______cm；（2）隨著C點(diǎn)位置的改變，DE的長是否會改變？如果改變，請說明原因；如果不變，請求出DE的長；（3）知識遷移：如圖②，已知∠AOB＝130°，過角的內(nèi)部任意一點(diǎn)C畫射線OC，若OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，試說明∠DOE的度數(shù)與射線OC的位置無關(guān)．6．（2021·陜西秦都區(qū)·七年級期末）如圖，已知是的角平分線，是的角平分線．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，且，求的度數(shù)．題型9旋轉(zhuǎn)有關(guān)的角度問題（壓軸）1．（2021·貴州息烽縣·）已知兩個分別含有30°，45°角的一副直角三角板．（1）如圖1疊放在一起，若OC恰好平分∠AOB，求∠A