第32講正弦定理余弦定理的應(yīng)用（原卷版）

第31講正弦定理、余弦定理的應(yīng)用1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．區(qū)分兩種角(1)方位角：從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角．(2)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．1、（2023年高考真題新高考Ⅱ卷）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，已知面積為，若D為BC中點(diǎn)，且．（1）若，求；（2）若，求b，c．1、為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A，B(如圖)，要測(cè)量A，B兩點(diǎn)的距離，測(cè)量人員在岸邊定出基線BC，測(cè)得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為____________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m2、已知△ABC的面積S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則角C的大小為()A.135°B.45°C.60°D.120°3、一塊形狀近似為三角形的草坪，若其中兩角的正切值分別為eq\f(1,4)與eq\f(3,5)，且最長(zhǎng)的邊為eq\r(17)m，則最短的邊為()A.eq\r(3)mB.2eq\r(3)mC.eq\r(2)mD.5m4、（2022年河北省承德市高三模擬試卷）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且B為銳角，若＝，sinB＝，S△ABC＝，則b的值為________．考向一利用正弦、余弦定理解決實(shí)際問題例1、（2022年江蘇省鎮(zhèn)江市高三模擬試卷）云臺(tái)閣，位于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，全全落于云臺(tái)山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學(xué)為測(cè)量云臺(tái)閣的高度，在云臺(tái)閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A，云臺(tái)閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺(tái)閣的高度為（）（，，精確到1）A.42 B.45 C.51 D.57變式1、（2022年江蘇省徐州市高三模擬試卷）如圖，有一壁畫，最高點(diǎn)A處離地面12m，最低點(diǎn)B處離地面7m.若從離地高4m的C處觀賞它，若要視角最大，則離墻的距離為（）A. B.3m C.4m D.變式2、如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心，半徑為10eq\r(3)m的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪AB(不計(jì)B離河岸的距離)，且OB的連線恰好與河岸l垂直，設(shè)OB與圓弧的交點(diǎn)為E．經(jīng)測(cè)量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)C，點(diǎn)O和點(diǎn)E處測(cè)得煙囪AB的仰角分別為45°，30°和60°．(1)求煙囪AB的高度；(2)如果要在CE間修一條直路，求CE的長(zhǎng)．方法總結(jié)：(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．考向二利用正弦、余弦定理解決范圍問題例2、（2022年遼寧省大連市高三模擬試卷）在①，②，③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，__________，且．（1）求角C的值；（2）求a的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分．變式1、（2022年福建省福州四校聯(lián)盟高三模擬試卷）某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中AB，AC為兩條公路，，M，N為公路上的兩個(gè)景點(diǎn)，測(cè)得，，為了拓展旅游業(yè)務(wù)，擬在景區(qū)內(nèi)建一個(gè)觀景臺(tái)P，為了獲得最佳觀景效果，要求P對(duì)M，N的視角.現(xiàn)需要從觀景臺(tái)P到M，N建造兩條觀光路線PM，PN.（1）求M，N兩地間的直線距離；（2）求觀光線路長(zhǎng)的取值范圍.變式2、（2022年河北省衡水中學(xué)高三模擬試卷）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）求；（2）若，為邊的中點(diǎn)，求的最小值．變式3、（2022·江蘇宿遷·高三期末）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且__________.（1）求角；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分..方法總結(jié)：一邊一對(duì)角問題求最值或范圍問題，有兩種處理方法：(1)利用正弦定理轉(zhuǎn)化成角的函數(shù)．(2)利用余弦定理轉(zhuǎn)化成邊的函數(shù)．考向三利用正弦、余弦定理解決多邊形的問題例3、（2022·江蘇常州·高三期末）已知在四邊形中，，，，且，．（1）求；（2）求．變式1、（2022年重慶市巴蜀中學(xué)高三模擬試卷）重慶奉節(jié)小寨天坑景區(qū)擁有世界上深度和容積最大的巖溶漏斗，吸引橙子輔導(dǎo)來此參觀留影.為了測(cè)量天坑邊上如圖1所示的，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在旁邊取兩點(diǎn)，測(cè)得米，，，（假設(shè)，，四點(diǎn)在同一平面上，則兩點(diǎn)的距離為______米.變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大?。唬?）求四邊形ABCD的面積．變式3、（2022·湖北·高三期末）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角A；（2）如圖，若，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，設(shè)，求平面四邊形面積的最大值及相應(yīng)的值．1、（2022·湖北襄陽·高三期末）在中，，，則角的最大值為（）A． B． C． D．2、（2022·江蘇如東·高三期末）某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)學(xué)生為了測(cè)量該校操場(chǎng)旗桿的高AB，先在旗桿底端的正西方點(diǎn)C處測(cè)得桿頂?shù)难鼋菫?5°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)20m到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得桿頂?shù)难鼋菫?0°，則旗桿的高為（）A．20m B．10m C．m D．m3、（2022年福建省龍巖市高三模擬試卷）如圖，中，角的平分線交邊于點(diǎn)，，，，則（）A. B. C. D.4、（2022年湖北省黃岡市高三模擬試卷）在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對(duì)邊，且，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.5、（2022年福建省福州延安中學(xué)高三模擬試卷）給出以下三個(gè)條件：①且；②，；③；請(qǐng)從這三個(gè)條