高考數(shù)學(xué)北師大（理）一輪復(fù)習(xí)ppt課件23函數(shù)的奇偶性與周期性

2.3

函數(shù)的奇偶性與周期性2.3函數(shù)的奇偶性與周期性-2-知識梳理考點(diǎn)自診1.函數(shù)的奇偶性f(-x)=f(x)y軸

f(-x)=-f(x)原點(diǎn)

-2-知識梳理考點(diǎn)自診1.函數(shù)的奇偶性f(-x)=f(x)-3-知識梳理考點(diǎn)自診2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個周期,則需滿足條件:①T≠0;②

對定義域內(nèi)的任意x都成立.

(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個

,那么這個

就叫做f(x)的最小正周期.

(3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(x∈R)的一個周期,則nT(n∈Z,且n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正數(shù)

最小正數(shù)

-3-知識梳理考點(diǎn)自診2.函數(shù)的周期性f(x+T)=f(x)-4-知識梳理考點(diǎn)自診1.函數(shù)奇偶性的四個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(4)在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.-4-知識梳理考點(diǎn)自診1.函數(shù)奇偶性的四個重要結(jié)論-5-知識梳理考點(diǎn)自診2.周期性的幾個常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x(其中a>0,且為常數(shù)):(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a;(2)若f(x+a)=

(m∈R且m≠0),則T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-a),則T=2a;一般地,若f(x+a)=f(x-b),則T=|a+b|;(4)若f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱,且關(guān)于x=b對稱,則T=4|a-b|;(5)若f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱,且關(guān)于(b,0)對稱,則T=2|a-b|.3.對稱性的四個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱;-5-知識梳理考點(diǎn)自診2.周期性的幾個常用結(jié)論-6-知識梳理考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是偶函數(shù).(

)(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0.(

)(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱.(

)(4)如果函數(shù)f(x),g(x)是定義域相同的偶函數(shù),那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù).(

)(5)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若f(x)在(-∞,0)上是減少的,則f(x)在(0,+∞)上是增加的.(

)(6)若T為y=f(x)的一個周期,則nT(n∈Z)是函數(shù)f(x)的周期.(

)×√×√√×-6-知識梳理考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√-7-知識梳理考點(diǎn)自診2.(2018陜西寶雞中學(xué)三模,2)函數(shù)

的圖像(

)A.關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.關(guān)于x軸對稱C.關(guān)于y軸對稱

D.關(guān)于直線y=x對稱C3.(2018山東濟(jì)寧一模,4)已知函數(shù)f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù),且當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2,則f(-5)的值為(

)A.-3 B.-1 C.1

D.3B解析:∵函數(shù)f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù),∴f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=-f(1),又x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2,則f(1)=2×1-12=1,∴f(-5)=-f(1)=-1,故選B.-7-知識梳理考點(diǎn)自診2.(2018陜西寶雞中學(xué)三模,2)函-8-知識梳理考點(diǎn)自診4.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)內(nèi)是減少的,f(2)=0.若f(x-1)>0,則x的取值范圍是

.

5.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對于x∈R,恒有f(x+2)=f(x).當(dāng)x∈[1,3]時,f(x)=x2-2x,則f(2019)=

.

(-1,3)解析:作出函數(shù)f(x)的大致圖像如圖所示,

因?yàn)閒(x-1)>0,所以-2<x-1<2,解得-1<x<3.則x的取值范圍為(-1,3).解析:由f(x+2)=f(x)知,f(x)是周期T=2的周期函數(shù).∵當(dāng)x∈[1,3]時,f(x)=x2-2x,∴f(2

019)=f(1

009×2+1)=f(1)=12-2×1=-1,即f(2

019)=-1.-1-8-知識梳理考點(diǎn)自診4.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)內(nèi)-9-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:-9-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4函數(shù)奇偶性的判斷-10-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)由題意知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)x>0時,-x<0,此時f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);當(dāng)x<0時,-x>0,此時f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).-10-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么?解題心得判斷函數(shù)的奇偶性要注意兩點(diǎn):(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提.(2)判斷關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性:-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解

(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱.因?yàn)閒(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(2)由

可得函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1].因?yàn)楹瘮?shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(3)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)x>0時,-x<0,此時f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);當(dāng)x<0時,-x>0,此時f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解(1)由題意知函數(shù)f(x-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

例2(1)(2018河北衡水中學(xué)九模,4)已知f(x)滿足:對任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且x≥0時,f(x)=ex+m(m為常數(shù)),則f(-ln5)的值為(

)A.4 B.-4 C.6 D.-6(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)(3)已知f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且

,則函數(shù)f(x)的解析式為

;

AC-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(2)已知f-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,則f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.(2)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x<0時,f(x)=-x2+2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖像如圖中實(shí)線所示,結(jié)合圖像可知f(x)是R上的增加的,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)因?yàn)閒(x)為R-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考函數(shù)的奇偶性有哪幾個方面的應(yīng)用?解題心得1.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用主要有:利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式;利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的單調(diào)性;利用函數(shù)的奇偶性解不等式;利用函數(shù)的奇偶性求最值等.2.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式,往往要抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程,從而可得f(x)的解析式.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考函數(shù)的奇偶性有哪幾個方面-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2018河北衡水中學(xué)三模,7)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=2x+2x+2017+a(a為常數(shù)),則f(-1)=(

)A.3 B.1 C.-3 D.-1(2)若f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=x3-8,則{x|f(x-2)>0}=(

)A.{x|-2<x<0或x>2} B.{x|0<x<2或x>4}C.{x|x<0或2<x<4} D.{x|x<-2或x>2}(3)(2018湖南衡陽二模,13)已知函數(shù)f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)+g(x)=2x+x,則f(log25)=

.

CB-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2018河-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)由題意得f(0)=0,得20+0+2

017+a=0,∴a=-2

018,所以f(-1)=-f(1)=-3.(3)由函數(shù)f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)+g(x)=2x+x,可得f(-x)+g(-x)=2-x-x,即f(x)-g(x)=2-x-x,(2)當(dāng)x=2時,有f(2)=0,又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=0,作出f(x)的大致圖像,由圖像可知,當(dāng)-2<x-2<0或x-2>2,即0<x<2或x>4時,有f(x-2)>0,選B項(xiàng).-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)由題意得f(0-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4函數(shù)周期性的應(yīng)用例3(1)(2018全國2,理12)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(

)A.-50 B.0 C.2 D.50(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=

.若當(dāng)2≤x≤3時,f(x)=x,則f(105.5)=

.

C2.5-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4函數(shù)周期性的應(yīng)用C2.5-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期為4.∵f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.∴函數(shù)f(x)的周期為4.∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,∴f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵f(-x)=-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個數(shù)、求解析式等問題,轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問題,再進(jìn)行求解.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得利用函數(shù)的周期性,可-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4A.-1 B.0 C.1 D.2(2)(2018山東濟(jì)寧一模,8)已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),且f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱,當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=2x-1,則f(2017)+f(2018)的值為

(

)A.-2 B.-1 C.0 D.1BD-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4A.-1 B.0 C.1 D-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,當(dāng)x>0時,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-2),∴f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=f(x),∴f(x)是周期為6的周期函數(shù),∴f(2

019)=f(336×6+3)=f(3)=f(2)-f(1)=(f(1)-f(0))-f(1)=-f(0)=0.(2)由題意,f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x)=-f(-x),∴f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),∴f(x)的周期為4.∵當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=2x-1,∴f(2

017)+f(2

018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1.-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵函數(shù)f(x)-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(2018河北石家莊期末,8)已知奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時單調(diào)遞增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍為(

)A.{x|0<x<1或x>2} B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<-1或x>1}D解析:∵f(x)為奇函數(shù),x>0時遞增,∴x<0時,也遞增,由f(1)=0,得f(-1)=0,解得0<x<1,∴x的取值范圍為0<x<1或x>2,故選A.-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用D解析:∵-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性綜合問題的策略有哪些?解題心得函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略:(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.(2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的定義域內(nèi)求解.(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,再利用奇偶性和單調(diào)性求解.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4思考解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2019河北邢臺月考四,5)設(shè)函數(shù)f(x)=e-x-ex-5x,則不等式f(x2)+f(-x-6)<0的解集為(

)A.(-3,2) B.(-∞,-3)∪(2,+∞)C.(-2,3) D.(-∞,-2)∪(3,+∞)(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且f(x)在區(qū)間[0,2]上是增加的,則(

)A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)DD-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2019河-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x2)+f(-x-6)<0?f(x2)<-f(-x-6)=f(x+6).又f(x)是減函數(shù),∴f(x2)<f(x+6)?x2>x+6,故不等式f(x2)+f(-x-6)<0的解集為(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)因?yàn)閒(x)滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增加的,f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[-2,2]上是增加的,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵f(x)是奇函-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)41.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個關(guān)鍵點(diǎn):(1)“定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)”的必要不充分條件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.2.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù).為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要將函數(shù)進(jìn)行化簡,或應(yīng)用定義的等價形式:3.函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性,知二斷一.特別注意“奇函數(shù)若在x=0處有定義,則一定有f(0)=0;偶函數(shù)一定有f(|x|)=f(x)”在解題中的應(yīng)用.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)41.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)44.求函數(shù)周期的方法

-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)44.求函數(shù)周期的方法-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)41.判斷函數(shù)的奇偶性不可忽視函數(shù)的定義域.2.函數(shù)f(x)是奇函數(shù),必須滿足對定義域內(nèi)的每一個x,都有f(-x)=-f(x),而不能說存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同樣偶函數(shù)也是如此.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)41.判斷函數(shù)的奇偶性不可忽視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