2021-2022學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《正方形的性質(zhì)與判定》習(xí)題

1.3《正方形的性質(zhì)與判定》習(xí)題1

一、選擇題

1.下列性質(zhì)中正方形具有而菱形不具有的是（）

A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線相等

C.對(duì)角線互相垂直D.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

2.下列命題不正確的的是（）

A.對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)

C.有一個(gè)角的是直角的四邊形是矩形

D.對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

3.如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，要得到一個(gè)正方形，剪口與折痕

所成銳角的大小為（）

A.30。B.45，C.60。D.90s

4.四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相等且互相垂直，則順次連接這個(gè)四邊形四邊的中點(diǎn)得到四

邊形是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

5.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件:①AB=BC,②NABC=90°,

③AC=BD,④ACLBD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使口ABCD為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選法,

你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是（）

6.下列說(shuō)法：

①四邊相等的四邊形一定是菱形

②順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形

③對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形

④經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分

其中正確的有（）個(gè).

A.4B.3C.2D.1

7.用兩塊完全相同的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形;

⑤等腰三角形；⑥等邊三角形，一定能拼成的圖形是（）

A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤

8.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊則/5后。為（）

AD

RC

A.15°B.35°C.45°D.55°

9.如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A'8'C'。'，圖中陰影部

分的面積為()

G

Dr

A.4azB.AC.(1-^)a2D.（1-烏a?

2343

10.如圖，正方形ABCD中，AE=AB,直線DE交BC于點(diǎn)F,則NBEF=（)

11.如圖，正方形ABCD中，AB=6,點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE,將"DE沿AE對(duì)折至AAFE,

延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF,則（）

A.6B.2.4C.3.6D,4.8

12.如圖，正方形力做9的邊長(zhǎng)為10,AG=CH￡,BG=DH』,連接G〃，則線段做的長(zhǎng)為（）

A.2.8B.2&C.2.4D.3.5

13.如圖，正方形/用力的邊長(zhǎng)為8,〃在〃。上，且〃Q2,/V是/。上一動(dòng)點(diǎn)，則"Vh階的最

14.如圖，矩形ABCD中，AB=10,AD=4,點(diǎn)E從D向C以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以AE

為一邊在AE的右下方作正方形AEFG.同時(shí)垂直于CD的直線MN也從C向D以每秒2個(gè)單位的

速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)（）秒時(shí)，直線MN和正方形AEFG開(kāi)始有公共點(diǎn)

C.3D.3.5

二、填空題

L如圖，在大正方形中剪去一個(gè)小正方形，再將圖中的陰影剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2,這個(gè)

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為24,寬為16,則圖2中S2部分的面積是

51

圖2

2.如圖，等邊△如。在正方形4%/內(nèi)，連接口、EB,則N/曲的度數(shù)是

3.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，ZBAE=n°.如果在邊AB、CD上分別找一點(diǎn)F、G,

使FG=AE,FG與AE相交于點(diǎn)0,那么NG0E的大小等于

4.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG,

連接CE,BG和EG,EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：①BG=CE；②BGLCE；③AM是4AEG

的中線；④NEAM=NABC.其中正確的是

三、解答題

1.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接AF、DE相交于點(diǎn)G,求證:

AF1DE.

2.已知：如圖，在正方形ABC。中，對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,廠分別是邊上的

點(diǎn)，且NEO尸=90°.

求證：CE=DF.

BC

E

3.正方形ABCD與正方形CEFG的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段CD或CD的延長(zhǎng)線上，分別連接

BD、BF、FD,得到用BFD.

(1)在圖1、圖2、圖3中，若正方形CEFG的邊長(zhǎng)分別為1、3、4,且正方形ABCD的邊長(zhǎng)均為

3,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算填寫下表：

正方形CEFG的邊

134

長(zhǎng)

.盤BFD的面積

⑵若正方形CEFG的邊長(zhǎng)為a,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,猜想S.%的大小，并結(jié)合圖3證明

你的猜想.

4.如圖，四邊形4?5為正方形，連接4c

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊比上求作一點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到的距離等于鰭的長(zhǎng)度.(保留作圖

痕跡，不寫作法)

⑵若正方形46徵的邊長(zhǎng)為4,求(1)中所得的即的長(zhǎng)

4^-------------\D

BC

5.已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE=AF

(1)求證：BE=DF；

⑵連接AC交EF于點(diǎn)0,延長(zhǎng)0C至點(diǎn)M,使0M=0A,連接EM、FM.判斷四邊形AEMF是什么

特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.

6.已知：如圖，在正方形/閱9中，點(diǎn)反夕在對(duì)角線"'上，且4斤6F.

(1)求證：DE//BF

(2)若四邊形加期的面積為8,但^,則正方形邊長(zhǎng)為

7.如圖，在RtZSABC中，ACB=90°,過(guò)點(diǎn)C的直線MN〃AB,D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE_L

BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.

(1)求證：四邊形ADEC是平行四邊形；

(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)解答下面兩個(gè)問(wèn)題：

①求證：四邊形BECD是菱形

②當(dāng)NA的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

8.同學(xué)們：八年級(jí)下冊(cè)第9章我們學(xué)習(xí)了一種新的圖形變換——旋轉(zhuǎn)，圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中蘊(yùn)含

著眾多數(shù)學(xué)規(guī)律，以圖形旋轉(zhuǎn)為依托構(gòu)建的解題方法是解決各類幾何問(wèn)題的常用方法.

圖②

(1)(問(wèn)題提出)

如圖①，在正方形/靦中，乙必A“5°，點(diǎn)M/V分別在邊6C、勿上.求證：，的三因/+加：

證明思路如下:

第一步：如圖②，將△ADN繞點(diǎn)力按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△45￡,再證明￡氏"三點(diǎn)

在一條直線上.

第二步：證明

請(qǐng)你按照證明思路寫出定擘的證明過(guò)程.

(2)(初步思考)

如圖③，四邊形ABCD和CEFG為正方形，連接。C、BE,得到4DCG和ABCE.

下列關(guān)于這兩個(gè)三角形的結(jié)論：①周長(zhǎng)相等；②面積相等；③4CB舁4CDG.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

圖③

答案

一、選擇題

1.B.2,C3.B.4.D.5,C.6.C.7.D,8.C.9.D.

10.B.11.C12.B.13.D.14.A.

二、填空題

1.64

2.150°.

3.90°或(90-2n)°.

4.①②③④.

三、解答題

1.證明：二?四邊形ABCD為正方形

.\AB=BC=CD=AD,ZABF=ZDAE=90°,

又：E,F分別是邊AB.BC的中點(diǎn)

.\AE=-AB.BF=-BC

22

?.AE=BF.

在AABF與4DAE中，

DA=AB

<NDAE=ABF,

AE=BF

..△DAE-ABF(SAS).

.\ZADE=ZBAF,

VZBAF+ZDAG=90°,

.\ZADG+ZDAG=90°,

.,.ZDGA=90°,

即AF±DE.

2.解：：四邊形ABCD為正方形，

>\0D=0C,Z0DF=Z0CE=45°,ZC0D=90°,

VZE0F=90°,即NC0E+NC0F=90°,

二.ZC0E=ZD0F,

.,.△COE之△DOF(ASA),

，CE=DF.

9

3.(1)都是|■⑵如圖，連接CF,有正方形的性質(zhì)可知

4DBC=NFCE=45°

：.BD//CF

.?.△BDE/BCO的高相同

:.S^BFD=S?BCD=-b1

4.(1)由角平分線的性質(zhì)得：點(diǎn)P為NBAC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)

分以下三步作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N

②分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)0

③過(guò)點(diǎn)A、0作射線，與邊BC交于點(diǎn)P

則如圖所示，點(diǎn)P即為所作；

⑵如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸于點(diǎn)Q,則8P=P。

V四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形

AB=AC=4,ZB=90°,4PCQ=45°

AC=y]AB2+BC2=472

BP=PQ

在R^ABP和Rt^AAQP

AP-AP

Rt^ABP三RtSQP(HL)

：.AB=AQ=4

CQ=AC-AQ=40-4

又PQ±AC,ZPCQ=45°

???放ACPQ是等腰直角三角形

PQ=CQ=4立-4

BP=PQ=4y/2-4.

AD

5.（1）證明：5四邊形ABCD是正方形,

，AB=AD,NB=ND=90°,

在RtAABE和RtAADF中，

..AD=AB

*AF=AE'

.,.RtAADF^RtAABE（HL）

.\BE=DF；

（2）四邊形AEMF是菱形，理由為：

證明：?.,四邊形ABCD是正方形，

二ZBCA=ZDCA=45°（正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角），

BC=DC（正方形四條邊相等），

：BE=DF（已證）,

二BC-BE=DC-DF（等式的性質(zhì)），

即CE=CF,

在ACOE和acoF中，

CE=CF

<ZACB=ZACD,

oc=oc

二.△COE四△COF（SAS）,

/.OE=OF,

又OM=OA,

二四邊形AEMF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）,

VAE=AF,

二平行四邊形AEMF是菱形.

6.⑴連接BD,交AC于點(diǎn)0,

在正方形ABCD中，0B=0D,0A=0C,

VAE=CF,

AOA-AE=OC-CF,

?.OF=OE,

二四邊形BEDF是平行四邊形，

，DE〃BF；

(2)：四邊形ABCD是正方形,

.\OA=OD,OA±OD,

.\OD=OE+AE=OE+^,

.四邊形DEBF是平行四邊形,OA±OD,

二四邊形DEBF是菱形，

,/四邊形DEBF的面積為8,

/.yBD*EF=8,

即gx20D?20E=8,

.?.OD?0E=4,

V0D=0E+72,

/.0E=V2,0D=2Q,

?.AD=V20D=4,

故答案為：4.

7.(1)證明:VZACB=90°,DEIBC,

AZACB=ZDFB=90°,

AACDE,

又：MN〃AB,，CE〃AD,

?.四邊形ADEC是平行四邊形；

(2)①四邊形BECD是菱形，理由：

?.?/ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，四邊形ADEC是平行四邊形，

.,.CD=-^AB=AD=BD,CE=AD,

；.CE=AD,

；CE〃AD,