2024屆高考數(shù)學立體幾何專項練-（5）直線、平面垂直的判定與性質(zhì)含答案

2024屆高考數(shù)學立體幾何專項練——（5）直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.已知直線m，n和平面，，若，，，要使，則應(yīng)增加的條件是()A. B. C. D.2.已知在三棱錐中，平面ABC，垂足為O，且，則點O一定是的().A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心3.如圖所示，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，，則它的五個面中，互相垂直的共有()A.3對 B.4對 C.5對 D.6對4.設(shè)，，為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則下列條件中一定能得到的是()A.，， B.，，C.，， D.，，5.在矩形ABCD中，，，P為矩形ABCD所在平面外一點，且平面ABCD，，那么二面角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.75°6.在四邊形ABCD中，，，，.如圖，將沿BD折起，使平面平面BCD，構(gòu)成三棱錐.則在三棱錐中，下列結(jié)論正確的是()A.平面平面ABC B.平面平面BDCC.平面平面BDC D.平面平面ABC7.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是()A. B.C. D.8.已知兩個平面相互垂直，有下列命題：①一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中真命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.49.在正四面體中,已知分別是上的點(不含端點),則()A.不存在,使得 B.存在,使得C.存在,使得平面 D.存在,使得平面平面10.（多選）已知m，n是空間中兩條不同的直線，，為空間中兩個互相垂直的平面，則下列命題不正確的是()A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則11.（多選）如圖所示，PA垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面，C為圓上異于A，B的任一點，則下列關(guān)系中正確的是()A. B. C.平面PAC D.12.（多選）在三棱錐中,分別為的中點,平面,則下列判斷中正確的是()A.平面 B.平面C. D.平面平面13.如圖所示，在直三棱柱中，底面是以為直角的等腰三角形，，，D是的中點，點E在棱上，要使平面，則________.14.已知矩形ABCD所在的平面，則圖中相互垂直的平面有_____對.15.如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長為2，，，D是的中點，F(xiàn)是上的動點，，DF交于點E.要使平面，則線段_______.

16.如圖，在四棱錐中，，平面底面ABCD，，E和F分別是CD和PC的中點.求證：(1)底面ABCD.(2)平面平面PCD.17.如圖，AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面互相垂直，已知，，（1）求證：平面平面BCF.（2）設(shè)幾何體，的體積分別為，，求的值.18.如圖，在正三棱柱中，各棱長均為4，M，N分別是BC，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線AB與平面所成角的余弦值.19.如圖，長方體的底面ABCD是正方形，點E在棱上，.（1）證明：平面；（2）若，，求四棱錐的體積.

答案以及解析1.答案：C解析：由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，要使，只需在，，上增加條件.故選C.2.答案：B解析：如圖所示，分別連接OA，OB，OC，由平面ABC，可得，，.又因為，所以利用勾股定理，可得，所以點O一定是的外心.故選B.3.答案：C解析：因為，，所以，，所以，.因為，所以底面ABCD.因為平面PAB，平面PAD，所以平面平面ABCD，平面平面ABCD.因為四邊形ABCD是正方形，所以平面PAD，可得平面平面PAD，平面PAB，可得平面平面PBC，平面PAD，可得平面平面PCD.故選C.4.答案：C解析：在A選項中，，，，則和m可能平行或相交，故A錯誤；在B選項中，，，，則m與相交或或，故B錯誤；在C選項中，因為，，所以，又，所以，故C正確；在D選項中，由，，不能推出，所以由不能推出，故D錯誤.故選C.5.答案：A解析：過點A作于點O，連接PO，則為二面角的平面角.易知，所以，故.6.答案：D解析：在平面圖形中，，折起后仍然滿足.因為平面平面BCD，所以平面ABD，.又因為，所以平面ADC，所以平面平面ABC.7.答案：D解析：對于A，如圖（1），連接AE，由題可知，，，平面AEB，，同理可證.又，平面MNQ.對于B，AB為上底面的對角線，顯然.如圖（2），連接FG.，，.又，平面MNQ.對于C，由題可知，，，平面MNQ.對于D，如圖（3），連接KB，，AB與KB所成角為60°，與MN所成角為60°，AB與平面MNQ不垂直.故選D.8.答案：A解析：對于①，當兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線，故①是假命題.對于②，設(shè)兩個相互垂直的平面為，，平面平面，，.平面平面，當時，必有，而，，而在平面內(nèi)與l平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與n垂直，故一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，即②是真命題.對于③，當兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的任意一條直線不一定垂直于另一個平面，故③是假命題.對于④，當兩個平面垂直時，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，若該直線不在第一個平面內(nèi)，則此直線不一定垂直于另一個平面，故④是假命題.故選A.9.答案：D解析：為了方便解題，將正四面體放入正方體中，如圖所示.連接，對于選項A，取分別為的中點，則易知，所以選項A不正確；對于選項B，在正方體中，易知平面，因為過點且與平面平行的平面不經(jīng)過點，所以不存在，使得，故選項B不正確；對于選項C，在正方體中，易證平面，所以不存在，使得平面，故選項C不正確；對于選項D，設(shè)與平面的交點為，連接，只要令平面與的交點為即可得平面平面，故選項D正確.10.答案：ABD解析：A中，直線m和平面可能垂直，也可能平行或m在平面內(nèi)，故A不正確；B中，直線m與n平行、異面或相交，故B不正確；C中，，則直線或，又，所以，故C正確；D中，缺少條件，故D不正確，故選ABD.11.答案：AC解析：由題意得，平面ABC.平面ABC，，故A正確.是圓O的直徑，C為圓上異于A，B的任一點，，且，PA，平面PAC，平面PAC，故C正確.假設(shè)，，，平面PBC，則，與題目矛盾，故假設(shè)不成立，故B錯誤.由平面PAC可得，，則為直角三角形，不可能與PB垂直，故D錯誤.故選AC.12.答案：ABD解析：連接,因為分別為的中點,所以,以平面,故選項A正確;因為,所以.又,所以.又平面,所以.因為,所以平面,故選項B正確;因為平面,所以.又與不垂直,所以不成立,故選項C錯誤;因為平面平面,所以平面平面,故選項D正確,故選ABD.13.答案：a或2a解析：由已知得，又D是的中點，所以，又側(cè)棱底面ABC，可得側(cè)棱平面，又平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以，故若平面，則必有.設(shè)，則，，又，所以，解得或2a.故答案為：a或2a.14.答案：5解析：因為矩形ABCD所在的平面且平面平面PDC.所以平面平面ABCD，平面平面ABCD，又因為四邊形ABCD為矩形，所以.因為矩形ABCD所在的平面，所以.因為，所以平面平面PDC.因為平面平面PBC，所以平面平面PAD，平面平面PCD，又，所以平面PAD，又平面PAB，所以平面平面PAD.綜上相互垂直的平面有5對.15.答案：解析：設(shè)，因為平面,平面，

所以.由已知可得，設(shè)的斜邊上的高為h,

則.由，得，.在中，.由,得,即線段的長為.16.答案：(1)見解析.(2)見解析.解析：(1)因為平面底面ABCD，平面底面平面，所以底面ABCD.(2)因為，四邊形ABED是平行四邊形，所以.由(1)知底面ABCD，所以.因為，所以平面PAD，所以.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以，所以.因為，所平面BEF.因為平面PCD，所以平面平面PCD.

17.（1）答案：見解析解析：如圖，矩形ABCD中，，平面平面平面平面ABEF，所以平面ABEF又平面ABEF，又AB為圓O的直徑，則.因為，BC，平面BCF，所以平面BCF，且平面ADF所以平面平面BCF.（2）答案：6解析：幾何體是四棱錐，是三棱錐，過F點作，交AB于H，平面平面ABEF，平面ABCD則，，所以.18.答案：（1）見解析（2）解析：（1）因為，且M為BC的中點，所以.在正三棱柱中，平面平面ABC，平面ABC，且平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為M，N分別為BC，的中點，所以.又因為，，所以，所以，，所以，所以.又因為平面，平面，，所以平面.（2）設(shè)，連接AO.由（1）可知平面，所以為AB與平面所成的角.連接AN，由題可知，所以為等腰三角形，作于E，則E為AB的中點，所以，所以.在中，，所以，所以直線AB與平面所成角的余弦值為.19.答案：（1）見解析（2）四棱錐的體積為18解析：（1）由已知得平面，平面，故.又，所以平面.（2）由（1）知.由題設(shè)知，所以，故，.作，垂足為F，則平面，且.所以，四棱錐的體積.2024屆高考數(shù)學立體幾何專項練——（6）空間向量及其運算1.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則k的值為().A.2 B.-2 C.4 D.-42.若點關(guān)于y軸的對稱點是，則，，的值依次為().A.1，-4，9 B.2，-5，-8 C.-3，-5，8 D.2，5，83.已知，，則a與b的夾角等于().A. B. C. D.4.在平行六面體中，，則的值為().A. B.1 C. D.5.設(shè)，向量，，，且，，則的值為()A.-1 B.1 C.2 D.36.設(shè)，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個7.如圖,空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1,點分別是的中點,則()A. B. C. D.8.在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點，若,,，則用基底表示向量為()

A. B.C. D.9.如圖，在正四棱柱中，，，動點P，Q分別在線段，AC上，則線段PQ長度的最小值是()A. B. C. D.10.（多選）給出下列命題,其中是假命題的是()

A.若A,B,C,D是室間中的任意四點,則有 B.是,共線的充要條件 C.若,共線,則 D.對空間中的任意一點O與不共線的三點A,B,C,若,則P,A,B,C四點共面11.（多選）已知向量，，，則下列等式中正確的是().A. B.C. D.12.（多選）已知空間中三點,則下列說法不正確的是()A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.與夾角的余弦值是 D.平面的一個法向量是13.已知，，，，，，則__________.14.如圖，在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點，若，則___________.15.如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，M，N分別為PC，PD上的點，，，若，則____________.16.已知，，若，，且平面ABC，則___________.17.如圖，在正四棱錐中，，點M為PA的中點，.若，則實數(shù)__________.

答案以及解析1.答案：C解析：由兩個法向量共線，得.2.答案：B解析：由解得3.答案：D解析：.4.答案：C解析：因為，所以，，，，.5.答案：A解析：，，解得，又，，解得，則，故選A.6.答案：C解析：結(jié)合長方體，如圖，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，也不共面，故選C.7.答案：B解析：由題意得,所以.故選B.8.答案：C解析：連接BD，E為PD的中點，.故選C.9.答案：C解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)點P的坐標為，，點Q的坐標為，，，當且僅當，時，線段PQ的長度取得最小值.10.答案：BCD解析：顯然A是真命題;若,共線，則或，故B是假命題；若,共線，則直線AB,CD平行或重合，故C是假命題；只有當時，P,A,B,C四點才共面，故D是假命題.故選BCD.11.答案：BCD解析：A.左邊為向量，右邊為實數(shù)，顯然不相等，A不正確.B.左邊，右邊，B正確.C.，左邊，右邊，C正確.D.由C可得左邊，又，所以右邊，D正確.12.答案：ABC解析：對于A,,所以不存在實數(shù),使得,則與不是共線向量