山東省泰安市泰安一中新校區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

泰安一中新校區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題2023.5一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)，則（）A．B．1C．D．22．若表示兩條不重合的直線，表示三個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若，且，則B．若相交且都在外，，則C．若，則D．若，則3．如圖，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長是（）A．B．C．D．4．已知，．若，則（）A．B．C．D．45．某景區(qū)為提升游客觀賞體驗(yàn)，搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥荩ㄈ鐖D1）．現(xiàn)測(cè)量其中一個(gè)屋頂，得到圓錐的底面直徑長為，母線長為（如圖2）．若是母線的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)S），從點(diǎn)A到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，則燈光帶的最小長度為（）圖1圖2A．B．C．D．6．如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，若，則的值為（）A．2B．3C．D．57．已知，則（）A．B．C．D．8．函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，將該函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A．B．C．D．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中（其中i為虛數(shù)單位），正確的是（）A．B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2C．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為210．下列說法正確的是（）A．已知向量，若，則B．已知向量，則“的夾角為銳角”是“”的充要條件C．若向量，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為D．在中，向量與滿足，且，則為等邊三角形11．中，角A、B、C對(duì)邊分別為，下列說法正確的是（）A．若，則面積的最大值為B．若，且只有一解，則的取值范圍為C．若，且為銳角三角形，則的取值范圍為D．為的外心，則12．《九章算術(shù)》里說：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”．如圖，底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，沿截面將一個(gè)“塹堵”截成兩部分，其三棱錐稱為“鱉臑”．在鱉臑中，為中點(diǎn)，其外接球的體積為，當(dāng)此鱉臑的體積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．三棱錐體積為D．內(nèi)切球的半徑為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則________．14．需要測(cè)量某塔的高度，選取與塔底在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為________米．15．公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值，這一數(shù)值近似可以表示為，若，則________．16．已知是邊長為的正三角形，點(diǎn)是的外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是________．四?解答題：本題6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟．17．（10分）已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，．（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角．18．（12分）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為．（1）求圓錐的表面積；（2）如圖，過的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，求剩下幾何體的體積．19．（12分）已知中，是邊的中點(diǎn)．．（1）求的長；（2）的平分線交于點(diǎn)，求的長．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知：①；②；③．從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．問題：在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足：________．（1）求角的大小；（2）若與的平分線交于點(diǎn)，求周長的最大值．22．（12分）幾何體是四棱錐，為正三角形，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．泰安一中新校區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題解析2023.5一?單項(xiàng)選擇題：1．B2．B3．D4．A5．C6．A7．A8．C二?多項(xiàng)選擇題：9．BD10．ACD11．ACD12．ACD11．【詳解】對(duì)于A，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，若，且，所以，由余弦定理得，由，可得，即，則面積，所以面積的最大值為，故A正確；對(duì)于B，若，且，由正弦定理得，所以，當(dāng)時(shí)即，所以時(shí)有一解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，所以，且為銳角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理得，故C正確；對(duì)于D，做交于點(diǎn)點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，設(shè)，所以，所以，故D正確．12．【詳解】由題意，的中點(diǎn)即為的外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，得，在中，，故，即，而，所以，鱉臑的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，故，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；而，故C項(xiàng)正確；設(shè)的內(nèi)切球半徑為，由題意知三棱錐的四個(gè)側(cè)面皆為直角三角形，由等體積法，而，得，所以，故D項(xiàng)正確，三、填空題：13．214．15．16．216．【詳解】以接圓圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)榈冗叺倪呴L為，則，設(shè)，則，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的最大值?．四、解答題：17．【詳解】（1）設(shè)向量，因?yàn)椋?，解得，或，所以或；?）因?yàn)榕c垂直，所以，所以而，所以，得，與的夾角為，所以，因?yàn)?，所以?8．【詳解】（1）設(shè)圓錐的底面半徑為，高為．由題意，得：圓錐的側(cè)面積，底面積，表面積．（2）由（1）可得：圓錐的體積為．又圓柱的底面半徑為，高為，圓柱的體積為．剩下幾何體的體積為．19．【詳解】（1）設(shè)，由余弦定理可得，又，即．（2）由（1）知，因?yàn)椋?，由可得，，即，解得?0．【詳解】（1），令，所以，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（2）函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即曲線與直線在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．設(shè)，則，且，又因?yàn)?，由圖象可知，若要使與區(qū)間上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則．21．【詳解】（1）選擇①，在中，由余弦定理得，整理得，則，又，所以．選擇②，可得，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，則，即，因?yàn)?，因此，即，又，所以．選擇③，在中，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，從而．?）由（1）知，，有，而與的平分線交于點(diǎn)，即有，于是，設(shè)，則，且，在中，由正弦定理得，，所以，所以的周長為，由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，的周長取得最大值．22．【詳解】（1）記為的中點(diǎn)，連接，如圖1，圖1因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>