二次函數(shù)與一元二次方程不等式（第2課時）導學案

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（第2課時）導學案【學習目標】1.會解可化為一元二次不等式的簡單分式不等式；(重、難點)；3.能夠從實際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決(難點)?！咀灾鲗W習】一．分式不等式的解法若f(x)與g(x)是關(guān)于x的多項式，則不等式eq\f(fx,gx)>0(或<0，或≥0，或≤0)稱為分式不等式．解分式不等式總的原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式(組)求解．1.eq\f(fx,gx)>0?；2.eq\f(fx,gx)<0?；3.eq\f(fx,gx)≥0?；4.eq\f(fx,gx)≤0?.f(x)g(x)>0f(x)g(x)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≤0，,gx≠0))思考：eq\f(x－3,x＋2)>0與(x－3)(x＋2)>0等價嗎？將eq\f(x－3,x＋2)>0變形為(x－3)(x＋2)>0，有什么好處？等價；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式．二．不等式恒成立問題1.不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式ax2＋bx＋c>0ax2＋bx＋c<0a＝0a≠0b＝0，c>0b＝0，c<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立?若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymax≤kymin≥k【當堂達標基礎(chǔ)練】解：設(shè)這家工廠在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該利用這條流水線生產(chǎn)x輛摩托車，因為只能取整數(shù)值，所以當這條流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51~59輛時，這家工廠能獲得60000元以上的收益.4.如圖，在長為8m，寬為6m的矩形地面的四周種花卉上中間種植草坪，如要求草坪的種植面積不超過總面積的一半，那么花卉帶的寬度應(yīng)為多少米?設(shè)花卉帶的寬度應(yīng)為xm，則5.某網(wǎng)店銷售一批新款削筆器，每個削筆器的最低售價為15元.若按最低售價銷售，每天能賣出20個；若每個削筆器的售價每提高1元，日銷售量將減少2個.為了使這批削筆器每天的獲得400元以上的銷售收入，應(yīng)怎樣制定這批削筆器的銷售價格?設(shè)每個削筆器的銷售價格為x元，則【當堂達標提升練】6.解下列不等式：(1)eq\f(x－3,x＋2)<0；(2)eq\f(x＋1,2x－3)≤1.[解](1)eq\f(x－3,x＋2)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2<x<3，∴原不等式的解集為{x|－2<x<3}．(2)∵eq\f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq\f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴eq\f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq\f(x－4,x－\f(3,2))≥0.此不等式等價于(x－4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq\f(3,2)≠0，解得x<eq\f(3,2)或x≥4，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)或x≥4)))).7.國家原計劃以2400元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)．為了減輕農(nóng)民負擔，制定積極的收購政策．根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點．試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.[思路點撥]將文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言：“稅率降低x個百分點”即調(diào)節(jié)后稅率為(8－x)%；“收購量能增加2x個百分點”，此時總收購量為m(1＋2x%)噸，“原計劃的78%”即為2400m×8%×78%.[解]設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元．y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依題意，得y≥2400m×8%×78%，即－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根據(jù)x的實際意義，知x的范圍為0<x≤2.8．某校園內(nèi)有一塊長為800m，寬為600m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．[解]設(shè)花卉帶的寬度為xm(0<x<600)，則中間草坪的長為(800－2x)m，寬為(600－2x)m.根據(jù)題意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為0＜x≤100.9.已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范圍．[思路點撥]對于含參數(shù)的函數(shù)在某一范圍上的函數(shù)值恒大于等于零的問題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．[解]設(shè)函數(shù)y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2時的最小值為關(guān)于a的一次函數(shù)，設(shè)為g(a)，則(1)當對稱軸x＝－eq\f(a,2)<－2，即a>4時，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3)，與a>4矛盾，不符合題意．(2)當－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4時，g(a)＝3－a－eq\f(a2,4)≥0，解得－6≤a≤2，此時－4≤a≤2.(3)當－eq\f(a,2)>2，即a<－4時，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此時－7≤a<－4.綜上，a的取值范圍為－7≤a≤2.【當堂達標素養(yǎng)練】10．不等式eq\f(x＋1x＋22x＋3,x＋4)>0的解集為________．{x|－4<x<－3或x>－1}原式可轉(zhuǎn)化為(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為－4<x<－3或x>－1.11．通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場.2021年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.(1)據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2022年對該種玻璃實施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費用，投入500萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位/萬平方米）至少達到多少時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時的售價.【答案】(1)40(2)該種玻璃的銷售量至少達到102萬平方米時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元.【分析】（1）設(shè)出未知數(shù)，列不等式進行求解；（2）根據(jù)題意，得到關(guān)于的關(guān)系式，，利用基本不等式進行求解（1）設(shè)該種玻璃的售價提高到x歐元/平方米解得：所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米（2）整理得：除以得：由基本不等式得：，當且僅當，即時，等號成立，所以該種玻璃的銷售量至少達到102萬平方米時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元/平方米.12.為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點，某企業(yè)計劃加大對空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？(2)是否存在實數(shù)m，同時滿足兩個條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)75人(2)存在，7【分析】（1）根據(jù)題意直接列出不等式可求解；（2）由條件可得，，分別利用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式即可求解.(1)依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員人數(shù)為，年人均投入為萬元，則，()解得，又，，所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人；(2)假設(shè)存在實數(shù)m滿足條件.由技術(shù)人員年人均投入不減少有，解得.由研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入有，兩邊同除以得，整理得，故有，因為，當且僅當時等號成立，所以，又因為，，所以當時，取得最大值7，所以，，即存在這樣的m滿足條件，其范圍為.13．已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式；(3)若不等式對一切恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）對二次項系數(shù)進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的判別式即可容易求得結(jié)果；（2），對，與分類討論，可分別求得其解集（3），通過分離常數(shù)與利用基本不等式結(jié)合已知即可求得m的取值范圍．（