3.1 隨機變量及其分布概率論基礎

第三章隨機變量與分布函數(shù)概率論基礎第三章隨機變量與分布函數(shù)3.1

隨機變量及其分布3.2

隨機向量，隨機變量的獨立性3.3

隨機變量的函數(shù)及其分布3.1

隨機變量及其分布----隨機變量的定義

在所討論的許多隨機現(xiàn)象中，許多問題與數(shù)值之間可以建立一一對應關系。例如：在產(chǎn)品檢驗中，考慮的是抽樣中出現(xiàn)的次品數(shù)。在機票超售中，考慮的是旅客實際到達數(shù)。在測量過程中，考慮的是誤差。3.1

隨機變量及其分布----隨機變量的定義

也有一些隨機現(xiàn)象，初看是與數(shù)值無關，例如擲硬幣問題，所出現(xiàn)的結果為正面或方面，與數(shù)值無關。但我們可以將試驗結果與數(shù)值建立一種關系。在擲硬幣試驗中，當出現(xiàn)“正面”是對于數(shù)值“1”，當出現(xiàn)“反面”是對于數(shù)值“0”。一般情況，設A為隨機事件，則一定可以通過示性函數(shù)是事件A是否與數(shù)值建立關系：3.1

隨機變量及其分布----隨機變量的定義

上面所討論的這些例子中，試驗的結果能用一個數(shù)ξ來表示，這個數(shù)ξ是由試驗的結果所決定，也就是ξ是樣本空間的函數(shù)，即ξ(ω)，稱之為隨機變量，用希臘字母ξ，η，ζ，…等來表示。根據(jù)隨機試驗可能出現(xiàn)的結果，我們考慮兩種隨機變量類型：一種是隨機變量ξ取值為有限個，或可列無窮；一種是隨機變量ξ取值為一個區(qū)間[c,d]。3.1

隨機變量及其分布----隨機變量的定義

隨機變量定義設ξ(ω)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的單值實函數(shù)，如果對于任意實數(shù)x，{ω:ξ(ω)<x}F，則稱ξ(ω)是隨機變量。分布函數(shù)定義稱F(x)=P(ξ(ω)<x)為隨機變量ξ(ω)的分布函數(shù)。將“隨機變量ξ(ω)服從分布函數(shù)F(x)”簡記為ξ(ω)~F(x)。P(a≤ξ<b)=F(b)?F(a)3.1

隨機變量及其分布----分布函數(shù)性質

定理(I)單調性：若a

<b，則F(a)

≤F(b)。(II)。(III)左連續(xù)性：F(x?0)=F(x)。3.1

隨機變量及其分布----分布函數(shù)性質

由P(a≤ξ<b)=F(b)?F(a)，以及分布函數(shù)的性質可以推出一些計算概率的公式：P(ξ(ω)=a)=F(a+0)?F(a)

。P(ξ(ω)≤a)=F(a+0)。P(ξ(ω)≥a)=1?F(a)。P(ξ(ω)>a)=1?F(a+0)。3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量

設{xi}為離散型隨機變量ξ所有取值，p(xi)是ξ取xi的概率，即P{ξ=xi}=p(xi)(i=1,2,…)。{p(xi)|i=1,2,…}稱為隨機變量ξ的概率分布，滿足：3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量隨機變量ξ的分布列隨機變量ξ的分布函數(shù)是一個跳躍函數(shù)。3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量退化分布若隨機變量ξ只取常數(shù)值c，即P{ξ=c}=1。退化分布的分布函數(shù)3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量伯努利分布（兩點分布，0-1分布）在一次試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p（0<p<1），不出現(xiàn)的概率q=1?

p。設隨機變量ξ表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則ξ可能取值為0與1，其對應的概率P{ξ=k}=pkq1?k，k=0,1。3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量二項分布（記為ξ~B(n,p)）在n重伯努利試驗中，P(A)=p，設隨機變量ξ表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則ξ可能取值為0,1,2,…,n，其對應的概率其中0<p<1，q=1?

p。3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量超幾何分布N件產(chǎn)品中有M件次品，進行不放回抽樣，共抽取n件產(chǎn)品，設隨機變量ξ表示這n件產(chǎn)品中次品數(shù)，則ξ可能取值為0,1,2,…,n，其對應的概率3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量泊松分布（記為ξ~P(

)）若ξ可能取值為一切非負整數(shù)值，且其中參數(shù)

>0。3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量幾何分布在事件A出現(xiàn)的概率為p（0<p<1,q=1?p）的伯努利試驗中，若以ξ記為事件A首次出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則ξ為一隨機變量，其可能取值為0,1,2,…，其對應的概率幾何分布的無記憶性3.1

隨機變量及其分布----離散型隨機變量帕斯卡分布在事件A出現(xiàn)的概率為p（0<p<1,q=1?p）的伯努利試驗中，若以ξ記第r次事件A出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則ξ為一隨機變量，其可能取值為r,r+1,r+2,…，其對應的概率3.1

隨機變量及其分布----連續(xù)型隨機變量連續(xù)性隨機變量隨機變量ξ可能取值為一區(qū)間[c,d]或(?∞,d]或[c,+∞)或(?∞,∞)內的一切值，其分布函數(shù)F(x)是絕對連續(xù)函數(shù)，即存在可積函數(shù)p(x)，使稱函數(shù)p(x)為隨機變量ξ的（分布）密度函數(shù)。3.1

隨機變量及其分布----連續(xù)型隨機變量顯然成立反之，若可積函數(shù)p(x)滿足上述式子，則由定義的函數(shù)F(x)是分布函數(shù)。3.1

隨機變量及其分布----連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)隨機變量ξ，設c是任意常數(shù)，計算P{ξ=c}：因為所以所以

P{ξ=c}=0。當x是p(x)的連續(xù)點，則有3.1

隨機變量及其分布----連續(xù)型隨機變量均勻分布（記為ξ~U[a,b]）隨機變量ξ的密度函數(shù)為相應的分布函數(shù)為3.1

隨機變量及其分布----連續(xù)型隨機變量正態(tài)分布（記為ξ~N(μ,σ2)）隨機變量ξ的密度函數(shù)為其中μ與σ是常數(shù)，σ

>0。當μ=0，σ=1時，成為標準正態(tài)分布。3.1

隨機變量及其分布----連續(xù)型隨機變量指數(shù)分布（記為ξ~Exp(

)）

隨機變量ξ的密度函數(shù)為其中參數(shù)

>0。相應的分布函數(shù)為3.1

隨機變量及其分布----連續(xù)型隨機變量指數(shù)分布有及其重要的應用，包括電子元器件的壽命，動物的壽命，通話時間，服務時間等通常被假設為服從指數(shù)分布。指數(shù)分布也具有“無記憶性