一元二次方程及解法學(xué)案

第二十一章一元二次方程一、教材內(nèi)容一元二次方程概念；解一元二次方程的措施；一元二次方程應(yīng)用題．二、課標(biāo)規(guī)定1、以分析實際問題中的等量關(guān)系并求解其中的未知數(shù)為背景,認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念.2、根據(jù)化歸思想,抓住降次這一方略,掌握配措施,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.3、經(jīng)歷分析和處理實際問題的過程,體會一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用,深入提高在實際問題中運(yùn)用這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力.三、教學(xué)目的1．知識與技能理解一元二次方程及有關(guān)概念；掌握通過配措施、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握根據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的措施；應(yīng)用純熟掌握以上知識處理問題．2．過程與措施（1）通過豐富的實例，讓學(xué)生合作探討，老師點評分析，建立數(shù)學(xué)模型．根據(jù)數(shù)學(xué)模型恰如其分地給出一元二次方程的概念．（2）結(jié)合八冊上整式中的有關(guān)概念簡介一元二次方程的派生概念，如二次項等．（3）通過掌握缺一次項的一元二次方程的解法──直接開措施，導(dǎo)入用配措施解一元二次方程，又通過大量的練習(xí)鞏固配措施解一元二次方程．（4）通過用已學(xué)的配措施解ax2+bx+c=0（a≠0）導(dǎo)出解一元二次方程的求根公式，接著討論求根公式的條件：b2－4ac>0，b2－4ac=0，b2－4ac<0．（5）通過復(fù)習(xí)八年級上冊《整式》的第5節(jié)因式分解進(jìn)行知識遷移，處理用因式分解法解一元二次方程，并用練習(xí)鞏固它．（6）提出、分析問題，建立一元二次方程數(shù)學(xué)模型，并用處理實際問題．3．情感、態(tài)度與價值觀經(jīng)歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程，體會到通過一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系的一種有效數(shù)學(xué)模型；經(jīng)歷用配措施、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程，使同學(xué)們體會到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情景，使學(xué)生體會到建立數(shù)學(xué)模型處理實際問題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好．四、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點:1.一元二次方程及其他有關(guān)的概念.2．用配措施、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3.運(yùn)用實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型,并處理這個問題.教學(xué)難點:1．一元二次方程配措施解題．2．用公式法解一元二次方程時的討論．3．建立一元二次方程實際問題的數(shù)學(xué)模型；方程解與實際問題解的區(qū)別．五、課時劃分本單元教課時間約需13課時，詳細(xì)分派如下：22．1一元二次方程2課時22．2降次──解一元二次方程5課時22．3實際問題與一元二次方程3課時教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)3課時21學(xué)習(xí)目的：深入體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一種有效數(shù)學(xué)模型；2、對的理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式，對的識別二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項。學(xué)習(xí)過程：一、自主學(xué)習(xí)：（一）、根據(jù)題意列方程：（1）有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一種正方形,然后將四面突出部分折起,就能制作一種無蓋方盒.假如要制作的無蓋方盒底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?（2）我校為豐富校園文化氣氛，要設(shè)計一座2米高的人體雕像，使雕像的上部（腰以上）與所有高度的乘積，等于下部（腰如下）高度的平方，求雕像下部的高度.（3）要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，請問全校有多少個隊參賽？（二）、探索新知：（１）、問題：上述４個方程是不是一元一次方程？有何共同點？①；②；③。（2）一元二次方程的概念：像這樣的等號兩邊都是_____,只具有___個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是___的方程叫做一元二次方程。（3）任何一種有關(guān)x的一元二次方程都可以化為（a,b,c為常數(shù)，）的形式,我們把它稱為一元二次方程的一般形式。為，為，為。（三）、注意點：(1)一元二次方程必須滿足三個條件：a；b；c。(2)任何一種一元二次方程都可以化為一般形式：.二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項都要包括它前面的符號。(3)二次項系數(shù)是一種重要條件，不能遺漏，為何？（四）、自我嘗試：1、下列列方程中，哪些是有關(guān)的一元二次方程？（1）（2）（3）（4）（5）2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：(1)(2)(3)（五）閱讀書本，30頁到32頁，反思自主學(xué)習(xí)狀況。二、鞏固練習(xí)：書本32頁練習(xí)1、2題三、課堂檢測：1、下列方程中，是有關(guān)X的一元二次方程的是（）A.B.C.D.2、方程的一次項是（）A.B.C.D.3、將方程化成一般形式為___________,它的二次項系數(shù)為_____，一次項系數(shù)為_____，常數(shù)項為______。4、當(dāng)a_______時，有關(guān)X的方程（a－1）x2+3x－5=0是一元二次方程。21學(xué)習(xí)目的：1、會進(jìn)行簡樸的一元二次方程的試解；2、理解方程的解的概念，發(fā)展有條理的思索與體現(xiàn)能力；3、會在簡樸的實際問題中估算方程的解，理解方程解的實際意義。學(xué)習(xí)過程：一、自主學(xué)習(xí)：（一）復(fù)習(xí)引入：1、解方程，并說出方程解的定義：3x=2(x+5)2一種面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？設(shè)苗圃的寬為xm，則長為_______m．根據(jù)題意，得________．整頓，得________．（二）探索新知：1．下面哪些數(shù)是上述方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____，雖然一元二次方程等號左右兩邊相等的_____的值。3、判斷下列一元二次方程背面括號里的哪些數(shù)是方程的解：(1)(－7,－6,－5,5,6,7)(2)4、你能用此前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？(1)(2)(3)（三）、注意點：1、使一元二次方程成立的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。2、由實際問題列出方程并得出解后，還要考慮這些解與否是實際問題的解。（四）、自我嘗試：1、下列各未知數(shù)的值是方程的解的是（）A.B.C.D.2、根據(jù)表格確定方程=0的解的范圍____________x1.01.11.21.30.5－0.09－0.66－1.213、已知方程的一種根是1，則m的值是______（五）閱讀書本，32頁到33頁，反思自主學(xué)習(xí)狀況。二、鞏固練習(xí)：書本33頁練習(xí)1、2題三、課堂檢測：1、把化成一般形式是____________,二次項是____一次項系數(shù)是_______，常數(shù)項是_______。2、一元二次方程的根是__________；方程x（x－1）=2的兩根為________3、寫出一種認(rèn)為根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次項系數(shù)為1：__________。4、已知m是方程的一種根，則代數(shù)式________。5．若，則_____________。6．方程ax（x－b）+（b－x）=0的根是x1=______x2=___7．已知x=－1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），則=________8．假如x2－81=0，那么x2－81=0的兩個根分別是x1=________，x2=__________．9．已知方程5x2+mx－6=0的一種根是x=3，則m的值為________．10．假如x=1是方程ax2+bx+3=0的一種根，則（a－b）2+4ab的值為．11、若有關(guān)X的一元二次方程的一種根是0，a的值是幾？你能得出這個方程的其他根嗎？21.2.1用直接開平措施解一元二次方程學(xué)習(xí)目的：1、會用開平措施解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；2、經(jīng)歷列方程處理實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)過程：一、自主學(xué)習(xí)（一）、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動：請同學(xué)們完畢下列各題問題1．填空（1）x2－8x+______=（x－______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．問題2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始，沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，假如AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點同步出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？（二）探索新知：1、36的平方根是________,的平方根是____________。2、若，則=______________；若，則=__________。3、請根據(jù)提醒完畢下面解題過程：(1)由方程，得(2)由方程，得=_______(_________)=2即∴______________=_______=____，=_____即____________,____________∴=_______,=_____∴=_______,=_____（三）、歸納概括：1、形如或的一元二次方程可運(yùn)用平方根的定義用開平方的措施直接求解，這種解方程的措施叫做直接開平措施。2、假如方程能化成或的形式，那么可得，或。3、用直接開平措施解一元二次方程實質(zhì)上是把一種一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程。（四）、自我嘗試解下列方程：(1)(2)(3)(4)（五）閱讀書本，35頁到36頁，反思自主學(xué)習(xí)狀況。二、鞏固練習(xí)：書本36頁練習(xí)三、課堂檢測：1、方程的根是（）A.B.C.D.2、解下列方程：(1）(2)(3)(4)(5)(6)21.2.1用配措施解一元二次方程學(xué)習(xí)目的:1、掌握用配措施解數(shù)字系數(shù)的一般一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，體會化歸思想。學(xué)習(xí)過程：一、自主學(xué)習(xí)（一）復(fù)習(xí)引入：填上合適的數(shù)，使下列等式成立：(1)+____=(2)____=(___)(3)____=(____)（4）－x＋_____＝（x－____）2由上面等式的左邊可知，常數(shù)項和一次項系數(shù)的關(guān)系是：（二）探索新知：請閱讀教材第37頁，解方程，完畢下面框圖：（三）、歸納總結(jié)：1、通過配成完全平方形式來解一元二次方程的措施，叫做配措施。2、配方是為了降次，把一種一元二次方程化為兩個一元一次方程來解。3、方程的二次項系數(shù)不是1時，可以讓方程的各項除以二次項系數(shù)，將方程的二次項系數(shù)化為1。4、用配措施解二次項系數(shù)是1的一元二次方程的一般環(huán)節(jié)是：①、移項，把常數(shù)項移到方程右邊；②、配方，在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的二分之一的平方，使左邊成為完全平方；③、運(yùn)用直接開平措施解之。若方程的二次項系數(shù)不是1，咋辦？（四）、自我嘗試：解下列方程：（同桌互相查找問題，進(jìn)行糾正）若方程的二次項系數(shù)不是1，咋辦？(1)(2)(3)（五）閱讀書本，38頁到39頁，自作例題1，反思自主學(xué)習(xí)狀況。二、學(xué)生分小組交流解疑，教師點評升華。三、鞏固練習(xí)：書本39頁練習(xí)四、課堂檢測：1、填上合適的數(shù)，使下列等式成立：(1)(2)(3)(4)2、將方程配方后，原方程變形為（）A.B.C.D.3、解下列方程：(1)(2)(3)21.2.2公式法學(xué)習(xí)目的：1、經(jīng)歷推導(dǎo)求根公式的過程，加強(qiáng)推理技能訓(xùn)練，深入發(fā)展邏輯思維能力。2、會用公式法解簡樸系數(shù)的一元二次方程。學(xué)習(xí)過程：一、自主學(xué)習(xí)：(一)復(fù)習(xí)提問1、用配措施解一元二次方程的環(huán)節(jié)有哪些？用配措施解方程：x2－7x－18=02、你能用配措施解方程嗎？請嘗試解（二）歸納總結(jié)：1、一元二次方程的根由方程的_________確定。當(dāng)__________時，它的根是_____________，這個式子叫做一元二次方程的_____________，運(yùn)用它解一元二次方程的措施叫做______________。2、一元二次方程：當(dāng)____時，方程有實數(shù)根____________________________；當(dāng)___________時，方程有實數(shù)根______________________________；當(dāng)___________時，方程沒有實數(shù)根。（三）、注意點：1、公式法是解一元二次方程的一般措施.2、公式法是配措施的一般化和格式化。配措施是公式法的基礎(chǔ)，通過配措施得出了求根公式；公式法是直接運(yùn)用求根公式，它省略了詳細(xì)的配方過程。3、一元二次方程當(dāng)時，方程有實數(shù)根:；當(dāng)時,方程有實數(shù)根：；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根。（四）、自我嘗試：1、一元二次方程的求根公式是_______________。2、不解方程，判斷下列方程實數(shù)根的狀況：(1)(2)(3)3、用公式法解方程：(1)(2)二、鞏固練習(xí)：書本42頁練習(xí)1、2題三、課堂檢測：1、方程的根是（）A.B.C.D.沒有實數(shù)根2、下列方程中，沒有實數(shù)根的是（）A.B.C.D.3、用公式法解下列方程：(1)(2)(3)(4)(5)(6)21.2.3因式分解法學(xué)習(xí)目的：1、會用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些簡樸的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2、能根據(jù)詳細(xì)的一元二次方程的特性，靈活選擇方程的解法，體會處理問題措施的多樣性。學(xué)習(xí)過程：自主學(xué)習(xí)（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題背景材料：根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，假如把一種物體從地面以10M/S的速度豎直上拋，那么通過xs物體離地面的高度（單位：m）為10x－4.9x2。設(shè)問1：你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體通過多少秒落回地面嗎？（精確到0.001s）設(shè)問2；除配措施或公式法以外，能否找到更簡樸的措施解方程？（二）探索新知：對于方程10x－4.9x2=0。它的右邊為0，左邊可以因式分解，得=0；于是得或。因此：x1=，x2≈設(shè)問3：方程的兩根都符合問題的實際意義嗎？設(shè)問4：以上解方程的措施是怎樣使二次方程降為一元一次的？（三）歸納總結(jié)：1、對于一元二次方程，先因式分解使方程化為________________的形式，再使__________________，從而實現(xiàn)_____________，這種解法叫做__________________。2、假如，那么或，這是因式分解法的根據(jù)。如：假如，那么或_______，即或________。（四）、注意點：1、因式分解法是解一元二次方程最簡樸的措施，但只合用于左邊易因式分解而右邊是0的一元二次方程。2、因式分解法的根據(jù)是：假如，那么或。據(jù)此把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解，到達(dá)降次的目的。（五）、自我嘗試：1、說出下列方程的根：（1）（2）2、解下列方程：(1)(2)(3)二、鞏固練習(xí)：書本45頁練習(xí)1、2題三、課堂檢測：1、方程的根是（）A.B.C.D.2、下列方程適合用因式分解法的是（）A.B.C.D.3、方程的根是________________。4、用因式分解法解下列方程：(1)(2)(3)(4)(5)(6)21.2.4解一元二次方程（習(xí)題課學(xué)習(xí)目的：選擇合適的措施解一元二次方程一、自主學(xué)習(xí)：解下列方程：1.2.3、X（x－2）+X－2=04.5、5x2－2X－=x2－2X+6.二、歸納總結(jié)：1、解一元二次方程的基本思緒是：將二次方程化為一次方程，即降次2、一元二次方程重要有四種解法，它們的理論根據(jù)和合用范圍如下表：措施名稱理論根據(jù)合用方程的形式直接開平措施平方根的定義或配措施完全平方公式所有的一元二次方程公式法配措施所有的一元二次方程因式分解法兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一種等于0一邊是0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積的一元二次方程3、一般考慮選擇措施的次序是：直接開平措施、因式分解法、配措施或公式法三、課堂檢測1、方程的根是（）A.B.C.D.2、一元二次方程的根是__________________________.3、當(dāng)____________時，代數(shù)式的值等于3.4、兩個數(shù)的和為－7，積為12，這兩個數(shù)是_____________________.5、解下列方程：(1)(2)(3)(4)6、一次會議上，每兩個參與會議的人都互相握了一次手，有人記錄一共握了66次手，這次會議到會的人數(shù)是多少？7、已知是方程的一種根，求方程的另一種根及c的值21.2.5一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目的：1．理解并掌握根與系數(shù)關(guān)系：，；2．會用根的鑒別式及根與系數(shù)關(guān)系解題.一、自主學(xué)習(xí)1、(1)一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：2、探究1：完畢下列表格方程25x2+3x-10=0-3問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語言論述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②x2+px+q=0的兩根,用式子表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。方程2x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01探究2：完畢下列表格問題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？請完善規(guī)律；①用語言論述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②ax2+bx+c=0的兩根,用式子表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。3、運(yùn)用求根公式推到根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）ax2+bx+c=0的兩根=,===4、根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根和與兩根積：（1）（2）（3）5、已知方程的一種根是-3，求另一根及K的值。二、教師點撥：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：①根的鑒別式；②二次項系數(shù)，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.四、課堂練習(xí)1．方程則==2．若方程的一種根2，則它的另一種根為____p=____3．若0和-3是方程的兩根，則p+q=____4.在解方程x2+px+q=0時，甲同學(xué)看錯了p，解得方程根為x=1與x=-3；乙同學(xué)看錯了q，解得方程的根為x=4與x=-2，你認(rèn)為方程中的p=，q=。5．兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是（）ABCD6．若方程的兩根中只有一種為0，那么（）Ap=q=0BP=0,q≠0Cp≠0,q=07、不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積：（1）x2-5x-10=0（2）2x2+7x+1=0（3）3x2-1=2x+5（4）x（x-1）