湖南省岳陽市2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題（ 含答案解析 ）

2023年岳陽縣一中高一數(shù)學期中考試試題一.選擇題（共12小題，60分）1.已知且，若集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合B，再由給定條件，對a分類討論，利用數(shù)形結(jié)合及構(gòu)造函數(shù)的方法，利用導數(shù)探討函數(shù)最小值求解作答.【詳解】依題意，，，且，當時，作出函數(shù)與的大致圖象，則，即，所以，即；當時，設，若，，則恒成立，，滿足，于是當時，，當且僅當，即不等式對成立，，由得，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，于是得，即，變形得，解得，從而得當時，恒成立，，滿足；綜上，實數(shù)a取值范圍是或.故選：B.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以利用導數(shù)探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.2.已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數(shù)最多為（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合滿足的條件①②可知要使得集合中元素盡可能多，則相鄰的兩個自然數(shù)最少差為，故先考慮集合中元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，判斷集合元素的個數(shù)的最多情況，再對部分元素進行調(diào)整即可得答案.【詳解】對于條件①，②，必有，若集合中所有的元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，例如，集合中有個元素，又則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個數(shù)最多不能超過10個，故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個元素，例如.故選：B.3.用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得或，進而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.【詳解】因為，，所以或，由，得，關(guān)于x的方程，當時，即時，易知，符合題意；當時，即或時，易知0，-a不是方程的根，故，不符合題意；當時，即時，方程無實根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.【點睛】對于新定義的問題，一定要讀懂題意，一般理解起來不難，它一般和平常所學知識和方法有很大關(guān)聯(lián)；另外當時，容易遺漏a=0時的情況，注意仔細分析題目.4.若1∈{x，x2}，則x=（）A.1 B. C.0或1 D.0或1或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系分類討論，再驗證互異性得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，若1∈{x，x2}，則必有x=1或x2=1，進而分類討論：①、當x=1時，x2=1，不符合集合中元素的互異性，舍去，②、當x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），當x=-1時，x2=1，符合題意，綜合可得，x=-1，故選B．【點睛】本題考查元素與集合關(guān)系以及集合中元素互異性，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5.已知集合.對于，，定義A與B之間的距離為.若集合M滿足：，且任意兩元素間的距離均為2，則集合M中元素個數(shù)的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】由題中條件可得：R3中含有8個元素，先閱讀然后再理解定義得：可將其看成正方體的8個頂點，已知集合M中的元素所對應的點應該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點，即或，得解.【詳解】由題中條件可得：R3中含有8個元素，可將其看成正方體的8個頂點，已知集合M中的元素所對應的點應該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點，所以或,故集合M中元素個數(shù)最大值為4，故選：6.若X是一個非空集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足：（1）；（2）對于的任意子集，當且時，有；（3）對于的任意子集.當且時，有，則稱是集合的一個“——集合類”.例如：{?，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合的一個“——集合類”.已知，則所有含的“M——集合類”的個數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)新定義以集合為元素組成集合，由條件可知M——集合類集合至少含有三個元素：，，，然后再研究其它幾個元素的添加方式有多少個，可按照添加元素的個數(shù)分為共六類進行討論.【詳解】依題意知，中至少含有這幾個元素：，{b，c}，{a，b，c}，將它看成一個整體；剩余的{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}；①{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加0個的集合為{，{b，c}，{a，b，c}}，1種，②{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加1個的集合為{，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，{、，{b，c}，{a，b，c}}，{、{c}，{b，c}，{a，b，c}}，共3種，③{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加2個的集合共3種，即、{c}；{c}、{a，c}；、{a，b}3種添加方式，④{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加3個的集合共4種，即{a}、、{a，b}；{a}、{c}、{a，c}；、{c}、{a，b}；、{c}、{a，c}，4種添加方式，⑤{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}5個中添加4個的集合共0種，⑥{a}、、{c}、{a，c}、{a，b}添加5個的集合共1種，綜上含的“M——集合類”的個數(shù)為12種.故選：D7.設所示有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；與相同的集合有（）A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合相等的含義，逐一分析①②③④，即可得答案【詳解】對于①：集合，則，解得，即，是一一對于，所以與集合相同.對于②：集合，則，也是一一對應，所以與集合相同.對于③：集合，，一一對應，，所以與集合相同.對于④：，但方程無解，則，與不相同．故選：D8.設集合，，下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用因為與互為反函數(shù)，所以，互相關(guān)于對稱，得到，進而得出集合的范圍；對于集合，化簡得，設，進而利用導數(shù)求出的最值，得出集合的范圍，即可求解【詳解】對于集合，因為與互為反函數(shù)，所以，互相關(guān)于對稱，而，所以，只需要即可，因為，所以，，得，設，得，所以，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減，所以，，得到，所以，；對于集合，化簡得，設，，因為，可設，，單調(diào)遞減，又，所以，當時，，，，單調(diào)遞減，利用洛必達法則，時，，所以，，所以，；由于，，所以，D正確故選：D9.已知集合，，則滿足的集合的個數(shù)為（）A.4 B.8 C.7 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設列舉法表示出集合，再由集合的包含關(guān)系，判斷元素與集合的關(guān)系得只需討論元素是否為集合的元素研究集合即可.【詳解】由題設，，又，所以，只需討論元素是否為集合的元素研究集合的個數(shù)，即可得結(jié)果，所以集合的個數(shù)為.故選：B10.集合，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】，所以當恒成立,即恒成立，即.【詳解】已知，則.因為，所以當恒成立，即恒成立，即.這一函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以.故選B.【點睛】本題以集合為背景，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)及參數(shù)范圍的求解，綜合性較強，解決該題的關(guān)鍵是解出集合M，將轉(zhuǎn)化為在時成立，分離參數(shù)法即可求得a，其主要應用的數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化的思想.11.設集合中至少兩個元素，且滿足：①對任意，若，則，②對任意，若，則，下列說法正確的是（）A.若有2個元素，則有3個元素B.若有2個元素，則有4個元素C.存在3個元素的集合，滿足有5個元素D.存在3個元素的集合，滿足有4個元素【答案】A【解析】【分析】不妨設，由②知集合中的兩個元素必為相反數(shù)，設，由①得，由于集合中至少兩個元素，得到至少還有另外一個元素，分集合有個元素和多于個元素分類討論，即可求解.【詳解】若有2個元素，不妨設，以為中至少有兩個元素，不妨設，由②知，因此集合中的兩個元素必為相反數(shù)，故可設，由①得，由于集合中至少兩個元素，故至少還有另外一個元素，當集合有個元素時，由②得：，則或.當集合有多于個元素時，不妨設，其中，由于，所以，若，則，但此時，即集合中至少有這三個元素，若，則集合中至少有這三個元素，這都與集合中只有2個運算矛盾，綜上，，故A正確；當集合有個元素，不妨設，其中，則，所以，集合中至少兩個不同正數(shù)，兩個不同負數(shù)，即集合中至少個元素，與矛盾，排除C，D.故選：A.【點睛】解題技巧：解決以集合為背景的新定義問題要抓住兩點：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應用到具體的解題過程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.12.如果集合，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先將兩集合元素表示形式統(tǒng)一，再比較確定包含關(guān)系.【詳解】由，令，則，所以，由于，故故選：A.二.填空題（共3小題，20分）13.設集合，滿足下列性質(zhì)的集合稱為“翔集合”：集合至少含有兩個元素，且集合內(nèi)任意兩個元素之差的絕對值大于2.則A的子集中有___________個“翔集合”.【答案】49【解析】【分析】設出集合中滿足題設性質(zhì)的子集個數(shù)為，寫出，在時，要分情況把的遞推公式寫出來，進而得到，即答案.【詳解】設集合中滿足題設性質(zhì)的子集個數(shù)為，則.當時，可將滿足題設性質(zhì)的子集分為如下兩類：一類是含有n的子集，去掉n后剩下小于的單元子集或者是滿足題設性質(zhì)的子集，前者有個，后者有個；另一類是不含有n的子集，此時恰好是滿足題設性質(zhì)的子集，有個.于是，.又，所以.故答案為：49【點睛】本題的難點是用數(shù)列的思想來考慮，設集合中滿足題設性質(zhì)的子集個數(shù)為，寫出的遞推公式，再代入求值即可.14.已知集合，，存在正數(shù)，使得對任意，都有，則的值是____________【答案】1或【解析】【分析】根據(jù)所處的不同范圍，得到和時，所處的范圍；再利用集合的上下限，得到與的等量關(guān)系，從而構(gòu)造出方程，求得的值.【詳解】，則只需考慮下列三種情況：①當時，又且可得：②當即時，與①構(gòu)造方程相同，即，不合題意，舍去③當即時可得：且綜上所述：或【點睛】本題考查利用集合與元素的關(guān)系求解參數(shù)的取值問題，關(guān)鍵在于能夠通過的不同取值范圍，得到與所處的范圍，從而能夠利用集合的上下限得到關(guān)于的等量關(guān)系，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程；難點在于能夠準確地對的范圍進行分類，對于學生的分析和歸納能力有較高的要求，屬于難題.15.設集合A是由1，k2為元素構(gòu)成的集合，則實數(shù)k的取值范圍是________．【答案】k≠±1【解析】【詳解】∵1∈A，k2∈A，結(jié)合集合中元素的互異性可知k2≠1，解得k≠±1.點睛:利用元素的性質(zhì)求參數(shù)的方法(1)確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值．(2)互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗．三.解答題（共6小題，70分）16.集合A中的元素個數(shù)記為，若且，則稱M為集合A的二元子集．已知集合．若對集合A的任意m個不同的二元子集，均存在集合B同時滿足：①；②；③，則稱集合A具有性質(zhì)．（1）當時，若集合A具有性質(zhì)，請直接寫出集合A的所有二元子集以及m的一個取值；（2）當時，判斷集合A是否具有性質(zhì)？并說明理由；（3）若集合A具有性質(zhì)，求n的最小值．【答案】（1）答案見解析（2）不具有，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合A具有性質(zhì)的定義即可得出答案；（2）當時，利用反證法即可得出結(jié)論；（3）首先利用反證法證明，然后證明，當時，，再結(jié)合抽屜原理分析即可得出結(jié)論.【小問1詳解】當時，，則集合A的所有二元子集為，滿足題意得集合可以是：，此時，或者也可以是，此時；【小問2詳解】集合A不具有性質(zhì)，理由如下：假設存在集合，即對任意的，，，則取，此時由于，由抽屜原理可知，必有，與題設矛盾，假設不成立，所以集合A不具有性質(zhì)；【小問3詳解】首先證明，反證法：假設，由集合具有性質(zhì)，則存在集合，對于任意，，，則任取，，此時由于，由抽屜原理可知，必有，與題設矛盾，假設不成立，因此，然后證明：，當時，，由抽屜原理可知，存在，不妨設為，取，設，此時，且，故符合題意，綜上所述，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題對學生的抽象思維能力要求較高，特別是對數(shù)的分析，在解題時注意對新概念的理解與把握是解題的關(guān)鍵.17.已知是非空數(shù)集，如果對任意，都有，則稱是封閉集.（1）判斷集合是否為封閉集，并說明理由；（2）判斷以下兩個命題的真假，并說明理由；命題：若非空集合是封閉集，則也是封閉集；命題：若非空集合是封閉集，且，則也是封閉集；（3）若非空集合是封閉集合，且為全體實數(shù)集，求證：不是封閉集.【答案】（1）集合都是封閉集，理由見解析；（2）命題為假命題，命題q為真命題，理由見解析；（3）見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)封閉集的定義判斷即可；(2)對命題舉反例說明即可；對于命題：設，由是封閉集，可得，從而判斷為正確；(3)根據(jù)題意，令，只需證明不是封閉集即可，取中的即可證明.【小問1詳解】解：對于集合因為，所以是封閉集；對于集合，因為，，，所以集合是封閉集；【小問2詳解】解：對命題：令，則集合是封閉集，如，但不是封閉集，故錯誤；對于命題：設，則有，又因為集合是封閉集，所以，同理可得，所以，所以是封閉集，故正確；【小問3詳解】證明：因為非空集合是封閉集合，且所以，假設是封閉集，由(2)的命題可知：若非空集合是封閉集，且，則也是封閉集，又因為，所以不是封閉集.得證.18.已知n為不小于3的正整數(shù)，記對于中的兩個元素，，定義為，，…，中的最小值.（Ⅰ）當時，，，，求的值；（Ⅱ）若，為中的兩個元素，且，求實數(shù)b的所有可能取值構(gòu)成的集合.（Ⅲ）若，且對于任意的，均有，求L的最小值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用定義計算即得;（Ⅱ）根據(jù)定義和條件得到不等式組，求解即得;（Ⅲ）先找一特例，使得,然后證明不可能更大即可.【詳解】（Ⅰ），，，,=；（Ⅱ）若，，，,或.,解得或,即實數(shù)b的所有可能取值構(gòu)成的集合;（Ⅲ）若，且對于任意的，均有，當時，，所以.若存在,使得,則矛盾.所以L的最小值.【點睛】本題考查集合的新定義問題，關(guān)鍵是構(gòu)造與證明相結(jié)合的思想方法.19.對非空數(shù)集定義與的和集．對任意有限集A，記為集合A中元素的個數(shù)．（1）若集合，，寫出集合與；（2）若集合滿足，且，求．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用定義求解即可；（2）由題意先說明，再結(jié)合，即可求解【小問1詳解】因為，，所以，；【小問2詳解】因為，所以，所以集合中至少包含個元素，所以，又由題意，所以，又為整數(shù)，所以；【點睛】方法點睛:新定義題型的特點是:通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.20.設集合，集合，若，求集合.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，先求得，再求得.【詳解】由于，所以，所以，則，則，所以.21.對正整數(shù)，記，.（1）用列舉法表示集合；（2）求集合中元素的個數(shù)；（3）若的子集中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱為“稀疏集”.證明：存在使得能分成兩個不相