【數(shù)學(xué)課件】直線的傾斜角與斜率（2課時） 2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期人教A版（2019）選擇性必修第一冊

引

入解析幾何勒奈·笛卡爾（1596-1650）：法國數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601-1665），法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家坐標(biāo)系點(diǎn)數(shù)(有序數(shù)對或數(shù)組)幾何代數(shù)曲線(點(diǎn)的軌跡)的方程研究幾何圖形性質(zhì)代數(shù)方法直線直線的方程幾何要素圓的方程解決實(shí)際問題圓平面直角坐標(biāo)系代數(shù)方法數(shù)形結(jié)合思想以坐標(biāo)系為橋梁，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法.幾何圖形代數(shù)表示由形到數(shù)由數(shù)到形解析幾何基本思想平面幾何中點(diǎn)是構(gòu)成直線的基本元素．本節(jié)我們首先在平面直角坐標(biāo)系中探索確定直線位置的幾何要素.坐標(biāo)點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系如何用坐標(biāo)表示直線呢？2.1.1傾斜角與斜率Q1：如何確定一條直線的位置？兩點(diǎn)可確定一條直線一點(diǎn)和一個方向可確定一條直線Q2：過一點(diǎn)可作多少條直線？它們組成一個直線束，這些直線的區(qū)別是什么？直線方向不同

直線的傾斜程度不同直線的傾斜角不同表示“形”Q3：怎樣描述這種“傾斜程度”的不同?1.直線的傾斜角（1）定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.規(guī)定：當(dāng)直線l和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0°（2）范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為[0°，180°).xyoαlQ4：任何一條直線都有唯一確定的傾斜角與它對應(yīng)嗎？Oyxl1α1l2l3α2α3每一個傾斜角都對應(yīng)于唯一的一條直線嗎?直線l唯一傾斜角α方向相同的直線(平行或重合)傾斜角α結(jié)論：（3）方向相同的直線，傾斜角相同2.直線的斜率OyxαOyxαα??探究

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，P1(x1,y1),P2(x2,y2),（其中

x1≠x2）是直線l上兩點(diǎn),α與P1,P2的坐標(biāo)有關(guān)系嗎？(1)

已知直線l經(jīng)過O(0,0),P(,1),α與O,P的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)如果直線l經(jīng)過P1(-1,1),P2(,0),α與P1,P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?（3）在平面直角坐標(biāo)系中，如果直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α與P1,P2的坐標(biāo)有關(guān)系嗎？追問

當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時，上述式子還成立嗎?為什么?定義：把一條直線的傾斜角α的正切值tanα叫做這條直線的斜率，常用k表示.α的范圍k的范圍k=0k>0k不存在k<0與x軸垂直與x軸平行或重合直線的傾斜角越大，斜率越大(

)α為銳角時，α越大，斜率越大，k由0變化到+∞；α為鈍角時，α越大，斜率越大，k由-∞變化到0；所有的直線都有傾斜角；但不是所有直線都有斜率.2.2直線的斜率——兩點(diǎn)坐標(biāo)基礎(chǔ)練習(xí)——傾斜角與斜率的關(guān)系3.典型例題例1如圖示,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2

O2.1.2兩條直線平行和垂直的判定復(fù)習(xí)回顧4.斜率與方向向量1.傾斜角直線的確定：一個點(diǎn)和一個方向確定一條直線.xoαl2.斜率：方向向量直線的方向3.斜率公式：傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系k=tanα(α≠90°).（x1≠x2）方向向量的坐標(biāo)（x，y)數(shù)直線相對于x軸的傾斜程度轉(zhuǎn)化幾何問題代數(shù)問題直線的位置關(guān)系？Oyx1.當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,則有若沒有特別說明，說“兩條直線l1,l2”時，指兩條不重合的直線.3.若直線l1,l2重合，此時仍然有k1=k2.用斜率證明三點(diǎn)共線時，常常用到這個結(jié)論.2.當(dāng)斜率不存在時,它們的傾斜角都為90°,顯然有l(wèi)1//l2.1.兩條直線平行的判定l1∥l2tanα1=tanα2α1=α2k1=k2???條件：兩條直線不重合且都有斜率題型點(diǎn)撥——用斜率關(guān)系判斷直線的位置關(guān)系或形狀先畫圖預(yù)判再用斜率驗證例2.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.例3.已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.練習(xí)1.若三點(diǎn)A(2,1)，B(﹣2，m)，C(6,8)在同一條直線上，則m的值為______．1.兩條直線垂直的判定問題

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當(dāng)兩條直線相交時,它們的斜率有何關(guān)系？不相等相交追問

在相交關(guān)系中,垂直是最特殊的情形,當(dāng)直線l1,

l2垂直時,它們的斜率是否還有特殊的數(shù)量關(guān)系?Oyx└設(shè)兩條直線l1,

l2的斜率分別為k1,

k2,則直線l1,

l2的方向向量分別是,于是也就是說如果兩條直線都有斜率,注：(1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的條件是兩條直線的斜率都存在.(2)當(dāng)直線l1或l2的傾斜角為90°時,若l1⊥l2,則另一條直線的傾斜角為0°;反之亦然.(3)當(dāng)兩條直線的斜率都存在時，若有兩條直線的垂直關(guān)系，則可以用一條直線的斜率表示另一條直線的斜率.如果兩條直線都有斜率,題型點(diǎn)撥——用斜率關(guān)系判斷直線的位置關(guān)系或形狀先畫圖預(yù)判再用斜率驗證例4.已知A(一6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,—6),試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系.例5.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀.練習(xí)2.已知定點(diǎn)A(-1,3)，B(4,2)，以AB為直徑作圓，與x軸有交點(diǎn)P，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)是

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題型點(diǎn)撥——用斜率關(guān)系判斷直線的位置關(guān)系或形狀先畫圖預(yù)判再用斜率驗證練習(xí)3.已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，則第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．Oyx1.當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線l1,l2