動點(diǎn)的軌跡問題

初高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的銜接-------動點(diǎn)的軌跡問題馬啟軍在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個條件運(yùn)動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長度為的線段的一個端點(diǎn)固定，另一個端點(diǎn)繞這個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時，到定點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在這個圓上.這個圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡（或點(diǎn)的集合）.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.【要點(diǎn)知識解讀】討論一些常見的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.從上面對圓的討論，可以得出：(1)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓(2)和已知線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：(3)到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個角的平分線（4）到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線(5)到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線【經(jīng)典例題解析】例1:⊙O過兩個已知點(diǎn)、，圓心的軌跡是什么？解析：如圖1，如果以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)、，那么；反過來，如果一個點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離相等，即，那么以為圓心，OA為半徑的圓一定經(jīng)過、兩點(diǎn).這就是說，過、點(diǎn)的圓的圓心的軌跡，就是到、兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，即和線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡.圖1答：經(jīng)過、兩點(diǎn)的圓的圓心O的軌跡是線段的垂直平分線.圖1例2：如圖2內(nèi)接于⊙O，D為的中點(diǎn)，于E.求證：AD平分。圖2圖2圖3例3：如圖3，已知在中，以C為圓心，CA為半徑的圓交斜邊于D，求AD圖3【規(guī)律方法小結(jié)】初中階段求點(diǎn)的軌跡問題，多數(shù)用定義法。就是符合某一個條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡。點(diǎn)的軌跡是圖形，它必須同時滿足下列兩個條件：圖形A上的點(diǎn)都符合條件B，叫做軌跡的純粹性。符合條件B的點(diǎn)都在圖形A上，叫做軌跡的完備性。在求軌跡時，要注意數(shù)形結(jié)合，作好對圖形變化可能性的分析充分利用題設(shè)中的幾何條件，尋求變量之間的關(guān)系，會使得問題順利有效的解決。【梯級訓(xùn)練提升】1．畫圖說明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：到定點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡；到直線的距離等于的點(diǎn)的軌跡；已知直線，到、的距離相等的點(diǎn)的軌跡.圖12.如圖1，在⊙O中，E是弦AB延長線上的一點(diǎn)，已知OB=10cm,OE=12cm，求AB。圖13.如圖2，，C、D是的三等分點(diǎn)，AB分別交OC、OD于點(diǎn)E、F，求證：AE=BF=CD。圖2ODBAPQ.4.（拓展）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)（）是x軸上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作線段AB的垂線交y軸于點(diǎn)D，在直線AD上取點(diǎn)P，使AP＝DA.求動點(diǎn)PODBAPQ.【梯級訓(xùn)練解答】1.(1)到定點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的軌跡；AA 答案：以A為圓心，以3cm為半徑的圓．(2).到直線的距離等于的點(diǎn)的軌跡；a2cm b答案：平行于的兩條平行直線a和b.(3).已知直線，到、的距離相等的點(diǎn)的軌跡.ABABdCDCD答案：平行于AB與CD的一條平行直線.2.圖1圖13