高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)人教A版基礎(chǔ)知識(shí)梳理

高中數(shù)學(xué)（人教A版）必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章集合與簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)集合知識(shí)回顧1、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運(yùn)算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式知識(shí)回顧1、不等式的概念我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式.自然語(yǔ)言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號(hào)語(yǔ)言2、實(shí)數(shù)大小的比較1、作差法比大小：①；②；③2、作商法比大?。ㄟm用于兩個(gè)正數(shù)的大小比較）3、不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意c的符號(hào)（涉及分類討論的思想）同向可加性同向正值可乘性正值可乘方性a，b同為正數(shù)正值可開(kāi)方性知識(shí)回顧1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個(gè)重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．5、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式知識(shí)回顧1、二次函數(shù)（1）形式：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).（2）特點(diǎn)：函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程的實(shí)根；的零點(diǎn)；2、一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實(shí)數(shù)根，()有兩相等實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)知識(shí)回顧1、函數(shù)的概念設(shè)、是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作，.其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域。與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2、同一（相等）函數(shù)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．同一（相等）函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．3、函數(shù)的表示函數(shù)的三種表示法解析法（最常用）圖象法（解題助手）列表法就是把變量，之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式來(lái)表示，通過(guò)關(guān)系式可以由的值求出的值.就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量，的值.就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.知識(shí)回顧1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)性的定義（從數(shù)的角度）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，；當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)②當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。（2）單調(diào)性簡(jiǎn)圖：（從形的角度：從左向右看）（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（☆單調(diào)區(qū)間要寫(xiě)滿）.2、函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：①對(duì)于任意的，都有(或者)；存在，使得則稱為函數(shù)最大值（最值是區(qū)域上的整體性質(zhì)。）3、函數(shù)的奇偶性請(qǐng)分別畫(huà)出函數(shù)的函數(shù)圖像奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱4、函數(shù)對(duì)稱性常用結(jié)論（一、軸對(duì)稱）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則；②；③（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則①②③（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則①②③知識(shí)回顧1、冪函數(shù)定義一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．2、五種常見(jiàn)冪函數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）知識(shí)回顧常見(jiàn)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型(，為常數(shù)，)二次函數(shù)模型(，，為常數(shù)，)分段函數(shù)模型冪函數(shù)模型(，，為常數(shù)，)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)回顧1、根式的概念及性質(zhì)（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù)．（2）性質(zhì)：①(且)；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．3、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①；②；③.4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)底數(shù)圖象性質(zhì)定義域?yàn)?，值域?yàn)閳D象過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有在定義域上為增函數(shù)在定義域上為減函數(shù)注意指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質(zhì)與的取值有關(guān)，應(yīng)分與來(lái)研究知識(shí)回顧1、對(duì)數(shù)的概念（1）對(duì)數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).（2）牢記兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)，以10為底的對(duì)數(shù)；自然對(duì)數(shù)，以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對(duì)數(shù).（3）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)具有以下性質(zhì)：①負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)，即；②1的對(duì)數(shù)等于0，即；③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即；④對(duì)數(shù)恒等式.（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么：①；②；③.（3）對(duì)數(shù)的換底公式對(duì)數(shù)的換底公式：.換底公式將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟換成什么為底，由已知條件來(lái)確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以為底的自然對(duì)數(shù).換底公式的變形及推廣：①；②；3、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義形如(，且)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過(guò)點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)4.3函數(shù)的應(yīng)用（二）知識(shí)回顧1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于一般函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．注意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、常見(jiàn)函數(shù)模型（1）指數(shù)函數(shù)模型（且，）（2）對(duì)數(shù)函數(shù)模型（且，）5、指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長(zhǎng)平緩介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間,相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有第五章三角函數(shù)知識(shí)回顧1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形2、角的分類①正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.②負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角.3、象限角（1）定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.（2）象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或4、終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為5、弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě)).6、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，7、常用的角度與弧度對(duì)應(yīng)表角度制弧制度8、扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.知識(shí)回顧1、任意角的三角函數(shù)定義（1）單位圓定義法：如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,,它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)①正弦函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù),記作,即②余弦函數(shù)：把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù),記作,即

③正切函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)（2）終邊上任意一點(diǎn)定義法：在角終邊上任取一點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到點(diǎn)的距離為①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù)：

③正切函數(shù)：()

2、三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),,在各象限的符號(hào)如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系:（，）知識(shí)回顧誘導(dǎo)公式一①②③其中.

公式二公式三公式四第一組：公式一、二、三、四，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)；公式五公式六第二組：公式五、六，實(shí)現(xiàn)正弦、余弦之間的轉(zhuǎn)化；圖象與性質(zhì)知識(shí)回顧正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱中心對(duì)稱軸方程無(wú)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無(wú)三角恒等變換知識(shí)回顧1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2、二倍角公式①②；；③3、降冪公式4、輔助角公式：(其中)；知識(shí)回顧1、五點(diǎn)法作圖必備方法：五點(diǎn)法步驟③①②對(duì)于復(fù)合函數(shù)，第一步：將看做一個(gè)整體，用五點(diǎn)法作圖列表時(shí)，分別令等于，，，，，對(duì)應(yīng)的則取，，，，。，（如上表中，先列出序