2020-2021學(xué)年甘肅省金昌市永昌第一高級(jí)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

2020-2021學(xué)年甘肅省金昌市永昌第一高級(jí)中學(xué)高二（上）期末

數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A為“所取的3個(gè)球中至

多有1個(gè)白球”，則與事件4互斥的事件是（）

A.所取的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球

B.所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球

C.所取的3個(gè)球都是黑球

D.所取的3個(gè)球中恰有1個(gè)白球2個(gè)黑球

2.（5分）已知直線/過圓/+（y-3/=4的圓心，且與直線x+y+l=0垂直，則/的方程

是（）

A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0

3.（5分）已知空間向量（1,3,x）,n=（f，-1，2）,則“x=l"是"mln"的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）以原點(diǎn)為圓心，且截直線3x+4y+15=0所得弦長為8的圓的方程是（）

A./+）/=5B./+丁=16C.x2+y2=4D.x2+>,2=25

5.（5分）以下說法中正確的是（）

①VxWR,x2-x+1>0；

②若pVq為真命題，則?八夕為真命題；

③VxCR,/>0的否定是axoWR,使x（）2W0；

@“若x>y,則產(chǎn)’的逆否命題為真命題.

A.①②B.①③C.②③D.③④

6.（5分）如果執(zhí)行右面的程序框圖，輸入〃=6,皿=4,那么輸出的p等于（)

A.720B.360C.240D.120

2

7.（5分）若命題“Vx€[l,4]時(shí)，x-4JC-是假命題，則機(jī)的取值范圍（）

A.[-4,-3]B.（-8,-4）C.[-4,+8）D.[-4,0]

8.（5分）為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中

14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論：

①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；

②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；

③甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.

④甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；

其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的標(biāo)號(hào)為（）

甲乙

986289

113012

A.①③B.①④C.②③D.②④

9.（5分）在區(qū)間5三，工]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則cosx的值介于返到1的概率為（）

442

A.AB.Ac.2D.3

3234

10.（5分）如圖，在三棱柱ABC-AIB1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4,

AAi=6,若E,F分別是棱CC1上的點(diǎn)，且BE=BiE,CiF=lcCi,則異面直線

3

A1E與A尸所成角的余弦值為（)

7B4D?嚕

11.（5分）某校為了解高二年級(jí)學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績的分布情況，從該年級(jí)的1120名學(xué)

生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，發(fā)現(xiàn)都在[80,150]內(nèi)現(xiàn)將這100名學(xué)生的成績

按照[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140）

150]分組后，得到的頻率分布直方圖如圖所示則下列說法正確的是（）

頻率

B.樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為0.3

C.總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計(jì)為123.3分

D.總體分布在[90,100）的頻數(shù)一定與總體分布在[100,110）的頻數(shù)相等

12.（5分）直線y=k（x-2）+4與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的k的取

值范圍是（）

A.（-L,3]B.（旦，4w）c.（?1,3】D.（o,互）

'124」'124’12,

二.填空題（每小題5分，共20分）

x+y-4〉0

13.（5分）若x,y滿足約束條件，x-2y-440，則z=2x+y的最小值為

x-y》0

14.（5分）總體由編號(hào)為01,02,03,…，49,50的50個(gè)個(gè)體組成，利用隨機(jī)數(shù)表（以

下摘取了隨機(jī)數(shù)表中第31行和第32行）選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第31行

的第9列和第10列數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)為.

66674067146405719586110565096876832037

90571600116614908445II7573880590522741

148622981222080752749580

15.（5分）用秦九韶算法求多項(xiàng)式/（x）—X6+2X5+3%4+4X3+5X2+6X,當(dāng)x=2時(shí)多項(xiàng)式的值

為.

16.（5分）若如圖程序中輸入的“值為2017,則輸出的S值為.

IXPVTn

WHILEk=n

S=S+V（r（l+l））

1=1+1

WTXD

PR15TS

END

三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知圓C：7+y2-8y+12=0,直線/：ax+y+2a=0,

（1）當(dāng)。為何值時(shí)，直線/與圓C相切.

（2）當(dāng)直線/與圓C相交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=2加時(shí)，求直線/的方程.

18.（12分）新冠肺炎疫情期間，為確保“停課不停學(xué)“，各校精心組織了線上教學(xué)活動(dòng)開

學(xué)后，某校采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)

于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查.已知該校高一年級(jí)共有學(xué)生660人，抽取的樣本中高

二年級(jí)有50人，高三年級(jí)有45人.如表是根據(jù)抽樣調(diào)查情況得到的高二學(xué)生日睡眠時(shí)

[8.5,9]z

合計(jì)501

（1）求該校學(xué)生總數(shù)；

（2）求頻率分布表中實(shí)數(shù)x,y,z的值；

（3）已知日睡眠時(shí)間在區(qū)間[6,6.5）的5名高二學(xué)生中，有2名女生，3名男生，若從

中任選2人進(jìn)行面談，則選中的2人恰好為一男一女的概率.

19.（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。為平行四邊形，ZACB=90°,EA_L平

?ABCD,EF//AB,FG//BC,EG//AC,AB=2EF.

（1）若M是線段4。的中點(diǎn)，求證：GM〃平面AB尸￡；

（2）若AC=BC=2AE=2,求二面角A-BF-C的余弦值.

20.（12分）據(jù)了解，溫帶大陸性氣候，干燥，日照時(shí)間長，晝夜溫差大，有利于植物糖分

積累.某課題研究組欲研究晝夜溫差大?。▁『C）與某植物糖積累指數(shù)Cy/GI）之間的關(guān)

系，得到如下數(shù)據(jù)：

組數(shù)第一組第二組第三組第四組第五組第六組

晝夜溫差1011131286

x/℃

某植物糖積202430281815

累指數(shù)y/G/

該課題研究組確定的研究方案是先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用

剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，假設(shè)這剩下的2組數(shù)據(jù)恰好是第一組與第六組數(shù)據(jù).

（1）求y關(guān)于的線性回歸方程丫=及+2；

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的差的絕對(duì)值均不超過

2.58,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問（1）中所得線性回歸方程是否理想？

(參考公式：回歸直線方程y=b》+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)b=

n__

Z(Xi-x)(y--y)

工=11

n?'a-bx)

21.(12分)已知命題p：在尤日1,2］內(nèi)，不等式/+依-2>0恒成立；命題夕：函數(shù)/(X)

=logl(x2-2ax+3a)是區(qū)間［1，+~)上的減函數(shù)，若命題“pYq”是真命題，求實(shí)

~2

數(shù)4的取值范圍.

22.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCQ中，B4_L平面A8CD,B4=AB=4D=2,四邊形ABC。

滿足BC//AD,BC=4,點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，點(diǎn)E為8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，且巫=人.

EC

(I)求證：DW〃平面PAB-,

(I!)求證：平面AQM_L平面PBC；

(III)是否存在實(shí)數(shù)入，使得二面角P-DE-B的余弦值為2?若存在，試求出實(shí)數(shù)人

3

的值；若不存在，說明理由.

2020-2021學(xué)年甘肅省金昌市永昌第一高級(jí)中學(xué)高二（上）期末

數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A為“所取的3個(gè)球中至

多有1個(gè)白球”，則與事件A互斥的事件是（）

A.所取的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球

B.所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球

C.所取的3個(gè)球都是黑球

D.所取的3個(gè)球中恰有1個(gè)白球2個(gè)黑球

【分析】事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1個(gè)白球”即所取的3個(gè)球是3黑或2黑1

白，由此能求出與事件4互斥的事件.

【解答】解：從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，

事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1個(gè)白球”即所取的3個(gè)球是3黑或2黑1白，

與事件A互斥的事件是所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查樣本中最大的編號(hào)的求法，考查系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）己知直線/過圓/+（y-3）2=4的圓心，且與直線x+y+l=0垂直，則/的方程

是（）

A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0

【分析】由題意可得所求直線/經(jīng)過點(diǎn)（0,3）,斜率為1,再利用點(diǎn)斜式求直線/的方

程.

【解答】解：由題意可得所求直線/經(jīng)過點(diǎn)（0,3）,斜率為1,

故I的方程是y-3=x-0,即x-y+3=0,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）已知空間向量7=（1.3,x）,n=（/，-1.2）,則“x=l”是唳1；”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】若a，b為空間向量，且@=（m，2i）,b=（必Z2）,若a-Lb，則a，

b=0,即xi%2+yiy2+ziz2=0

本題中當(dāng)時(shí)，由向量垂直的充要條件求得1X/+3X（-1）+2x=0,

解得x=-3或尤=1,

即的充要條件為：-=-3或》=1"，

又“x=l”是。=-3或》=1”的充分不必要條件，

所以“x=l”是“、?。ァ某浞植槐匾獥l件，

【解答】解：空間向量ir=（1>3,x）,n=（/，-1-2）,

當(dāng)?shù)菚r(shí)，有l(wèi)Xx2+3X（-l）+2x=0,

解得x=-3或x=1,

又。=1"是。=-3或》=1”的充分不必要條件，

所以~=1”是的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分條件、必要條件、充要條件及向量垂直的充要條件，屬簡單題

4.（5分）以原點(diǎn)為圓心，且截直線3x+4y+15=0所得弦長為8的圓的方程是（）

A./+尸=5B./+/=16C.x2+y2=4D.7+丁=25

【分析】先求弦心距，再求半徑，可得圓的方程.

【解答】解：弦心距是：-JL=3,弦長為8,所以半徑是5

V253

所求圓的方程是：/+）2=25

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）以下說法中正確的是（）

①Vx€R,x2-x+1>0；

②若pVq為真命題，則p/\q為真命題；

③VxeR,/>0的否定是axoWR,使x（）2W0；

?“若x>y,則/>）?”的逆否命題為真命題.

A.①②B.①③C.②③D.③④

【分析】利用二次函數(shù)的圖象判斷選項(xiàng)①，利用復(fù)合命題的真假法判斷選項(xiàng)②，利用含

有量詞的命題的否定判斷選項(xiàng)③，利用原命題的真假可判斷選項(xiàng)④.

【解答】解：函數(shù)y=/-x+l的圖象開口向上，且4=（-1）2-4<0,

所以Vx6R,x2-x+1>0,故選項(xiàng)①正確；

因?yàn)閜\/q為真命題，則其中一個(gè)為假命題或者都是真命題，

因此pAq不一定為真命題，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

含有量詞的命題的否定是：先改變對(duì)應(yīng)的量詞，再否定結(jié)論，

所以VxCR,f>0的否定是mxoWR,使x（）2wo,故選項(xiàng)③正確；

取x=-l,y--3,則x>y,但

所以原命題為假命題，則它的逆否命題為假命題，故選項(xiàng)④錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全稱命題的判斷、''且"和“或”的理解、復(fù)合命題真假的判斷、原

命題與逆命題之間的關(guān)系.若想判斷一個(gè)命題的真假，從它的逆否命題入手是常見的思

路，原理是：互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假.

6.（5分）如果執(zhí)行右面的程序框圖，輸入〃=6,根=4,那么輸出的0等于（）

A.720B.360C.240D.120

【分析】討論％從1開始取，分別求出p的值，直到不滿足％<4,退出循環(huán)，從而求出

p的值，解題的關(guān)鍵是弄清循環(huán)次數(shù).

【解答】解：第一次：k=l,p=lX3=3；

第>_?次：k=2,p=3X4=12；

第三次：k=3,p=12X5=60；

第四次：k=4,p=60X6=360

此時(shí)不滿足k<4.

所以p=360.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直到形循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到

型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后循環(huán)，直到型循環(huán)是先循環(huán)后判斷，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）若命題“Vx€[l,4]時(shí)，/-41-加￥0”是假命題，則機(jī)的取值范圍（）

A.[-4,-3]B.（…，-4）C.[-4,+8）D.[-4,0]

【分析】根據(jù)全稱命題是假命題，得到命題的否定是真命題，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解

即可.

【解答】解：若命題“Vx曰1,4]時(shí)，/-4x-zn#0”是假命題，

則命題“3隹[1,4]時(shí),/-4x-"?=0"是真命題

貝ijin—jr-4x,

設(shè)/1（x）—x1-4x—（x-2）2-4,

當(dāng)1WXW4時(shí)，-4W/（x）WO

則-4W/?W0,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題真假的應(yīng)用，利用全稱命題的否定是特稱命題轉(zhuǎn)化為特稱命

題是解決本題的關(guān)鍵.難度中等.

8.（5分）為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中

14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：。C）制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論：

①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；

②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；

③甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.

④甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；

其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的標(biāo)號(hào)為（）

甲乙

986289

113012

A.①③B.①④C.②③D.②④

【分析】利用莖葉圖分別求出甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，由此能求

出結(jié)果.

【解答】解：由莖葉圖，得:

甲地該月14時(shí)的平均氣溫二=2（26+28+29+31+31）=29,

X甲5

甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差S=^l［（_3）2+（_1）2+02+22+22pVT6-

乙地該月14時(shí)的平均氣溫二=1（28+29+30+31+32）=30,

乙5________________________

22222

乙地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差S-Jl［（_2）+（_1）+0+1+2］=42>

...甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫，

甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.

???根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的標(biāo)號(hào)為①③.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均值、標(biāo)準(zhǔn)差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意莖葉圖、

平均值、標(biāo)準(zhǔn)差的合理運(yùn)用.

9.（5分）在區(qū)間［--,2口上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則cosx的值介于返到1的概率為（）

442

A.AB.Ac.2D.3

3234

【分析】根據(jù)題意，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出COSX的值介于返到1的龍的取值

2

范圍，由幾何概型公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，區(qū)間［-三，若返VcosxVl,則有-工<xV匹，

44266

兀（冗）

則cosx的值介于返到1的概率P=-^-----2

2J工）3

4、4/

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型的計(jì)算，涉及余弦函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.(5分)如圖，在三棱柱ABC-481cl中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4,

A4i=6,若E,尸分別是棱CO上的點(diǎn)，且BE=BiE,CiF^lcCi,則異面直線

3

A1E與A尸所成角的余弦值為()

A.返B.返C.返D.返

661010

【分析】以C為原點(diǎn)，C4為x軸，在平面ABC中過作AC的垂線為y軸，CC1為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A1E與AF所成角的余弦值.

【解答】解以C為原點(diǎn)，C4為x軸，在平面ABC中過作AC的垂線為y軸，CG為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

?.?在三棱柱ABC-AIBICI中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4,AAi=6,

E,尸分別是棱8Bi,CC1上的點(diǎn)，且BE=8iE,C\F=l.CCi,

3

AAi(4,0,6),E(2,2M,3),F(0,0,4),A(4,0,0),

(-2,2M,-3),AF=(-4,0,4),

設(shè)異面直線AiE與AF所成角所成角為6,

IATE-AFA而

則cos0=-^A一=I一=—

lAjEl-lAFl2啦10

異面直線4E與AF所成角的余弦值為返.

10

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意向量法的合理運(yùn)用.

11.（5分）某校為了解高二年級(jí)學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績的分布情況，從該年級(jí)的1120名學(xué)

生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，發(fā)現(xiàn)都在［80,150］內(nèi)現(xiàn)將這100名學(xué)生的成績

按照［80,90）,［90,100）,［100,110）,［110,120）,［120,130）,［130,140）,［140,

150］分組后，得到的頻率分布直方圖如圖所示則下列說法正確的是（）

頻率

B.樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為0.3

C.總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計(jì)為123.3分

D.總體分布在［90,100）的頻數(shù)一定與總體分布在［100,110）的頻數(shù)相等

【分析】由頻率分布直方圖得的性質(zhì)求出。=0.030；樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為：1-

（0.025+0.005）X10=0.7；［80,120）的頻率為0.4,［120,130）的頻率為0.3.由此求

出總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計(jì)為：120+°.5-0?4義3^123.3分；樣本分布在［90,

0.3

100）的頻數(shù)一定與樣本分布在［100,110）的頻數(shù)相等，總體分布在［90,100）的頻數(shù)不

一定與總體分布在［100,110）的頻數(shù)相等.

【解答】解：由頻率分布直方圖得：

(0.005+0.010+0.010+0.015+^+0.025+0.005)X10=1,

解得“=0.030,故A錯(cuò)誤；

樣本數(shù)據(jù)低于130分的頻率為：1-（0.025+0.005）X10=0.7,故B錯(cuò)誤；

[80,120）的頻率為：（0.005+0.010+0.010+0.015）X10=0.4,

[120,130）的頻率為：0.030X10=0.3.

.??總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計(jì)為：120+0?5-0-4x102123.3分,故C正確；

0a3

樣本分布在[90,100）的頻數(shù)一定與樣本分布在[100,110）的頻數(shù)相等，

總體分布在[90,100）的頻數(shù)不一定與總體分布在[100,110）的頻數(shù)相等，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

12.（5分）直線y=k（x-2）+4與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的人的取

值范圍是（）

A.（-L,3]B.（-L,4W）C.（?1,3]D.（0,互）

'124」<12<24’12,

【分析】要求的實(shí)數(shù)&的取值范圍即為直線/斜率的取值范圍，由于曲線），=1+八不表

示以（0,1）為圓心，2為半徑的半圓，在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的圖形，直線/與半圓有不

同的交點(diǎn)；當(dāng)直線/與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的

距離公式列出關(guān)于左的方程，求出方程的解得到左的值；當(dāng)直線/過8點(diǎn)時(shí)，由A和B

的坐標(biāo)求出此時(shí)直線/的斜率，根據(jù)兩種情況求出的斜率得出k的取值范圍.

【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

由題意可得：直線/過A（2,4）,8（-2,1）,

又曲線y=l+T^圖象為以（0,1）為圓心，2為半徑的半圓，

當(dāng)直線/與半圓相切，C為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線/的距離d=r,即?產(chǎn)k|=2,

解得：/:=—；

12

當(dāng)直線/過B點(diǎn)時(shí)，直線/的斜率為4T=3,

2-（-2）4

則直線/與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的范圍為（巨，1].

124

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：恒過定點(diǎn)的直線方程，點(diǎn)到

直線的距離公式，以及直線斜率的求法，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，其中抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

是解本題的關(guān)鍵.

二.填空題（每小題5分，共20分）

x+y-4》0

13.（5分）若x,y滿足約束條件x-2y-440，則z=2x+y的最小值為6.

,x-y）0

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)

解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

'x+y-4>0

【解答】解：由約束條件x-2y-440作出可行域，

x-y》0

\x+y-4=0

化目標(biāo)函數(shù)z—2x+y為y=-2x+z,

由圖可知，當(dāng)直線y=-2r+z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

14.（5分）總體由編號(hào)為01,02,03,…，49,50的50個(gè)個(gè)體組成，利用隨機(jī)數(shù)表（以

下摘取了隨機(jī)數(shù)表中第31行和第32行)選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第31行

的第9列和第10列數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)為09.

66674067146405719586110565096876832037

90571600116614908445II7573880590522741

148622981222080752749580

【分析】直接利用隨機(jī)數(shù)表的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第31行的第9列和第10列數(shù)字開始由左向右讀取,

依次是：14,05,11,09,

則第四個(gè)數(shù)字為09.

故答案為：09.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：隨機(jī)數(shù)表的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，屬

于基礎(chǔ)題.

15.(5分)用秦九韶算法求多項(xiàng)式/(x)=/+2?+3%4+4?+5?+6^,當(dāng)x=2時(shí)多項(xiàng)式的值

為240.

【分析】由于函數(shù)/(x)=X6+2X5+3X4+4X3+5X2+6X=(((((X+2)X+3)X+4)X+5)X+6)

x,當(dāng)冗=2時(shí)，帶入計(jì)算即可得出.

【解答】解:由于函數(shù)/(x)=X6+2X5+3X4+4X3+5X2+6X=(((((X+2)X+3)X+4)X+5)

x+6)x,

當(dāng)x=2時(shí)，可得f(2)=(((((2+2)2+3)2+4)2+5)2+6)2=240,

故答案為：240

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了秦九韶算法計(jì)算函數(shù)值，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.(5分)若如圖程序中輸入的"值為2017,則輸出的S值為2017_.

—2018—

IXPVTD

S=0

1=1

WHILEk=n

S=S+V(i*(i+l))

1=1+1

0TXD

PRINTS

END

【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的

值，模擬程序的運(yùn)行過程可得答案.

【解答】解：S=0,i=l,若程序中輸入的〃值為2017,

第1次執(zhí)行循環(huán)體后，S=二一，i=2,不滿足退出循環(huán)的條件；

1X2

第2次執(zhí)行循環(huán)體后，i=3,不滿足退出循環(huán)的條件；

1X22X3

第3次執(zhí)行循環(huán)體后，S=_J_,i=4,不滿足退出循環(huán)的條件;

1X22X33X4

第2017次執(zhí)行循環(huán)體后，S=-J—+」—+」—+……+-----1-----+-----1-----,

1X22X33X42016X20172017X2018

i=2018,滿足退出循環(huán)的條件；

即s=―1—+—1—+―1—+..+______1_____=1-A+A-A+A-A++-1--

1X22X33X42016X2017223342016

11.1=1.1=2017.

20172017201820182018,

故輸出S值為幽工，

2018

故答案為：2017_.

2018

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得

出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知圓C：，+9-8y+12=0,直線/：ax+y+2a=O,

（1）當(dāng)“為何值時(shí)，直線/與圓C相切.

（2）當(dāng)直線/與圓C相交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=2正時(shí)，求直線/的方程.

【分析】（1）圓C的圓心C（0,4）半徑r=2,由直線/：ax+y+2〃=0與圓相切，利用

點(diǎn)到直線距離公式列出方程，能求出〃的值.

（2）直線/與圓C相交于A、8兩點(diǎn)，且|4用=2&時(shí)，2=&，再

由圓心到直線的距離4=其空亙L列出方程，求出“，由此能求出直線方程.

存

【解答】（12分）解：（1）設(shè)圓心到直線的距離為d,

圓C：7+/-8y+12=0的圓心C（0,4）半徑，=氣64-48=2,----------1分

;直線/：ax+y+2a=0與圓相切,

d=I"2a|=2,解得“=一2.----5分

⑶4

(2)?.?圓心到直線的距離d=」：+2a|

直線/與圓C相交于4、8兩點(diǎn)，且|A8|=2A/5時(shí)，2=圾,-------

-7分

1產(chǎn)1=&,解得。=-7或。=-1.

，所求直線為7x-y+14=0或x-y+2=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓相切時(shí)實(shí)數(shù)值的求法，考查直線方程的求法，考查直線

與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求

解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.

18.(12分)新冠肺炎疫情期間，為確保“停課不停學(xué)“，各校精心組織了線上教學(xué)活動(dòng)開

學(xué)后，某校采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)

于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查.已知該校高一年級(jí)共有學(xué)生660人，抽取的樣本中高

二年級(jí)有50人，高三年級(jí)有45人.如表是根據(jù)抽樣調(diào)查情況得到的高二學(xué)生日睡眠時(shí)

間(單位：人)的頻率分布表.

分組頻數(shù)頻率

[6,6.5)50.10

[6.5,7)80.16

[7,7.5)X0.14

[7.5,8)12y

[8,8.5)100.20

[8.5,9]Z

合計(jì)501

(1)求該校學(xué)生總數(shù)；

(2)求頻率分布表中實(shí)數(shù)x,y,z的值；

(3)已知日睡眠時(shí)間在區(qū)間［6,6.5)的5名高二學(xué)生中，有2名女生，3名男生，若從

中任選2人進(jìn)行面談，則選中的2人恰好為一男一女的概率.

【分析】(1)由頻率分布表能求出該校學(xué)生總數(shù).

(2)由題意工=0.14,y=12=0.24,z=50-(5+8+x+12+10),由此能求出結(jié)果.

5050

(3)記”選中的2人恰好為一男一女“為事件A,記5名高二學(xué)生中女生為尸2,男

生為Ml,M2,M3,從中任選2人，利用列舉法能求出選中的2人恰好為一男一女的概

率.

【解答】解：(1)設(shè)該校學(xué)生總數(shù)為小

由題意15°=150-50-45,

n660

解得“=1800,

,該校學(xué)生總數(shù)為1800人.

(2)由題意工=0.14,解得x=7,

50

y=-l^.=0.24,

-50

z=50-(5+8+7+12+10)=8.

(3)記”選中的2人恰好為一男一女“為事件4

記5名高二學(xué)生中女生為白，尸2,男生為Mi,M2,M3,

從中任選2人包含的基本事件有10種情況，它們是等可能的，這10種情況分別為：

(F1,尸2),(Fi,Mi),(Fi,M2),(Fl,M3),(F2,MI),(F2,M2),(F2,M3),(Mi,

M2),(MI,M3),(.M2,M3),

事件A包含的基本事件有6個(gè)，

，選中的2人恰好為一男一女的概率P(4)=」l=3.

105

【點(diǎn)評(píng)】本題考查總數(shù)、頻率、頻數(shù)、概率的求法，考查頻數(shù)分布表、列舉法等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

19.(12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ZACB=90Q,E4L平

ffiABCD,EF//AB,FG//BC,EG//AC,AB^2EF.

(1)若M是線段4。的中點(diǎn)，求證：GM〃平面48FE；

(2)若4C=BC=24E=2,求二面角A-BF-C的余弦值.

【分析】(1)由已知條件推導(dǎo)出NEGF=90°,XABCSXEFG,連結(jié)AF,推導(dǎo)出四邊

形AFGM為平行四邊形，由此能證明GM〃平面ABFE.

(2)分別以AC,AD,AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值.

【解答】(1)證明：'：EF//AB,FG//BC,EG//AC,ZACB=90Q,

:.NEGF=90°,XABCs/XEFG.….(2分)

"：AB=2EF,：.BC=2FG,

連結(jié)AF,FG//BC,FG=/B(?(3分)

在平行四邊形ABC。中，M是線段4。的中點(diǎn)，

J.AM//BC,且AM=』BC,—.(4分)

2

J.FG//AM,且FG=AM,

工四邊形4FGM為平行四邊形，〃胡，

又Mu平面4BFE,GM不包含于平面A8FE,

...GM〃平面A8FE.…(6分)

(2)解：VZACB=90°,/.ZACD=W,

又EA_L平面ABC。，.,.AC,AD,AE兩兩垂直.

分別以AC,AD,4E所在直線為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.….(7分)

則由題意知A(0,0,0),B(2,-2,0),

C(2,0,0),D(0,0,1)(8分)

/.AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0),

又EF=/杷，：.F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).

設(shè)平面BFC的法向量ir=(x,y,z),

KJyBC=2y=0

mpBF=-x+y+z=O

取元=1,得口=（1，0,1）….（10分）

設(shè)平面AB尸的法向量2=(xi,yi,zi),

n*AB=2xi-2y.=0

則_____，

n.BF=_X[+y[+z[=0

取xi=l,得益=(1,1,0).(12分)

故二面角A-BF-C的余弦值為.（14分）

E

C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真

審題，注意向量法的合理運(yùn)用.

20.（12分）據(jù)了解，溫帶大陸性氣候，干燥，日照時(shí)間長，晝夜溫差大，有利于植物糖分

積累.某課題研究組欲研究晝夜溫差大?。▁/℃）與某植物糖積累指數(shù)（y/G/）之間的關(guān)

系，得到如下數(shù)據(jù)：

組數(shù)第一組第二組第三組第四組第五組第六組

晝夜溫差1011131286

x/℃

某植物糖積202430281815

累指數(shù)y/G/

該課題研究組確定的研究方案是先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用

剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，假設(shè)這剩下的2組數(shù)據(jù)恰好是第一組與第六組數(shù)據(jù).

（1）求y關(guān)于的線性回歸方程丫=bx+a；

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的差的絕對(duì)值均不超過

2.58,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問（1）中所得線性回歸方程是否理想？

（參考公式：回歸直線方程丫=b》+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)b=

n__

Z（xs-x）（y--y）

i=l_________________—

n，a=y_bX）

2

Z（Xi-x）

i=l

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)求出b與a的值，即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）分別計(jì)算出1月份和6月份對(duì)應(yīng)的預(yù)測值，與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)作差取絕對(duì)值，再與2.58

進(jìn)行比較即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)由表中2月至5月份的數(shù)據(jù)，

得彳=1(11+13+12+8)=11,三」(24+30+28+18)=25,

4丫4

5__

故有￡(X,-X)(yi-y)=0X(-1)+2X5+1X3+(-3)X(-7)=34,

i=2

5_

2222

￡(xi-x)=0+2+l+(-3)2=14,

i=2

?3417-__1712

?,ub=y^—1a-y-bx-2255—Xll--

即y關(guān)于x的線性回歸方程為

y77

(2)由上，當(dāng)x=10時(shí),17