2018-2019學(xué)年上海市交大附中高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

2018-2019學(xué)年上海市交大附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題

〔._________________________________________________________________________（3分）如果一條

直線與兩條直線都相交，這三條直線共可確定一個平面.

2.（3分）已知球的體積為

36n,則該球主視圖的面積等于.

3.（3分）若正三棱柱的所有棱長均為_a,且其體積為

16：■:，則a二

4.（3分）如圖，以長方體ABCD-A1B1CD1的頂點D為坐標(biāo)原點，過D的三條棱所在的

直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若〕■的坐標(biāo)為S,3,2）,則一■的坐標(biāo)是

5.（3分）若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其

母線與底面角的大小為（結(jié)果用

反三角函數(shù)值表示）.

6.（3分）已知圓柱Q的母線長為I，底面半徑為r,。是上底面圓心，A.B是下底面圓周

上兩個不同的點，BC是母線，如圖，若直線OA與BC所成角的大小為一一，貝一二

&T

B0

7.（3分）已知△ABC三個頂點到平面a的距離分別是3,3,6，則其重心到平面a的距離為

（寫出所有可能值）

&《3分）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,若動點P在線段BD1上運動，貝U「』的取值范

圍是.

9.（3分）如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O,剪去△AOB,將剩

第1頁（共29頁）

余部分沿oc、0D折疊，使OA、0B重合，則以A'(B)、C、D、0為頂點的四面體的體積

為________________

第2頁(共29頁)

10.（3分）某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則3x+4y的最大

11.（3分）已知A、B、C、P）R的球面上的四點，其中AB、AC、BC間的球面距

離分別為口若?一一’〔I門「，其中。為球心’則x+y+z的最

大值是

12.（3分）如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB,CD的中點，過EF任作一個平面

a分別與直線BC,AD相交于點G,H，則下列結(jié)論正確的是

①對于任意的平面a,引有直線GF,EH,BD相交于同一點；

②存在一個平面aO,使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上；

③對于任意的平面a,都有SAEFG=S\EFH；

④對于任意的平面，當(dāng)G,H在線段BC,AD上時，幾何體AC-EGFH的體積是一個

定值.

第3頁（共29頁）

C

13.（3分）已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)

、選擇題

A.②修兀,C.2.InD.V2

3

周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

14.（3分）如圖，在大小為45的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE與CDEF都是邊長

D0

為1的正方形，則B與D兩點間的距離是（）

A.二B園C.1D,一；.J

15.（3分）《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最

之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn),計算其體積V的近似

公式V~L2h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率n近似取為3,那么，近似公式

36

2

ALh相當(dāng)于將圓錐體積公式中的n近似取為（

A二25157355

350113

16.（3分）在正方體ABCD-A'B'C）中，若點（異于點B）是棱上一點，則滿足

早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘

BP與AC，所成的角為45'的點P的個數(shù)為（

D.6

、解答題

17.現(xiàn)在四個正四棱柱形容器，1號容器的底面邊長是a，高是b;2號容器的底面邊長是b,

第4頁（共29頁）

高是a；3號容器的底面邊長是a,高是a：4號容器的底面邊長是b,高是b.假設(shè)b,

問是否存在一種必勝的4選2的方案(與a、b的大小無關(guān))，使選中的兩個容器的容積

之和大于余下的兩個容器的容積之和？無論是否存在必勝的方案，都要說明理由

18.如圖，已知圓錐底面半徑r=20cm,。為底面圓圓心，點Q為半

圓弧”的中點，點P

為母線SA的中點，PQ與SO所成的角為arctan2,求：

(1)圓錐的側(cè)面積：

(2)P,Q兩點在圓錐側(cè)面上的最短距離

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJJS面ABCD，/DAB為直角，AB//CD,AD=CD

二2AB=2PA=2,E、F分別為PC、CD的中點.

(1)試證：CD_L平面BEF;

(2)求BC與平面BEF所成角的大小;

(3)求三棱錐P?DBE的體積.

20.如圖，P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點，截面DEF

〃底面ABC,且棱臺DEF?ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等(棱長和是指多面體中所有棱的長

度之和).

(1)證明：P-ABC為正四面體：

⑵若求二面角

第5頁(共29頁)

D-BC-A的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（3）設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面

第4頁（共29頁）

體，使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個直平

行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由（注：用平行于底的截面截棱錐，該截

面與底面之間的部分稱為棱臺，本題中棱臺的體積等于棱錐P-ABC的體積減去棱錐P

-DEF的體積）.

21.火電廠核電站的循環(huán)

水自然通風(fēng)冷卻塔是一種大型薄殼型建筑物.建在水源不十分充

分的地區(qū)的電廠，為了節(jié)約用水，需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng)，以使得冷卻器中排出的熱水在其中

冷卻后可重復(fù)使用，大型電廠采用的冷卻構(gòu)筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內(nèi)陸缺水

電站，其高度一般為75?150米*底邊直徑65?120米.雙曲線

型冷卻塔比水池式冷卻構(gòu)筑物占地面積〃C布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風(fēng)力影響：它

比機(jī)力通風(fēng)冷卻塔維護(hù)簡便，節(jié)約電能；但體形高大，施工復(fù)雜，造價較高

（以上知識來自百度，下面題設(shè)條件只是為了適合高中知識水平，其中不符合實際處請

忽略.圖1）

（1）圖2為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑

大于上底直徑.

已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100m,俯視圖為三個同心圓，

其半徑分別

A-m

為40m.30m.試根據(jù)上述尺寸計算主視圖中該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（m為長

度單位米）

（2）試?yán)谜n本中推導(dǎo)球體積的方法，利用圓柱和一個倒放的圓錐，計算封閉曲線：

第7頁（共29頁）

22

y=0,y=h,繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（用a,b,h表示）

曠

第4頁（共29頁）

（用積分計算不得分，圖3、圖4）

現(xiàn)已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結(jié)構(gòu)，為計算方便設(shè)其內(nèi)壁所在曲線也為雙曲線，其壁

最厚為0.4m（底

部），最薄處厚度為0.3m（喉部，即左右頂點處）.試計算該冷卻塔內(nèi)殼所在的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是

并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內(nèi)外殼之間）大約是n?（計算時n

取3.14159,

保留到個位即可）

（3）冷卻塔體型巨大，造價相應(yīng)高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費用（建筑人工

和輔助機(jī)械）的計

算，鋼筋土石等建筑材料費用和和其它設(shè)備等施工費用不在本題計算范圍內(nèi).

超高建筑的施工（含人工輔助機(jī)械等）費用隨著高度的增加而增加.現(xiàn)已知：距離地面

高度30米（含

30米）內(nèi)的建筑，每立方米的施工費用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）

每立方米

的施工費用為800元/立方米：40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費用增

加100元.

試計算建造本題中冷卻塔的施工費用（精確到萬元）

@4

第9頁（共29頁）

2018-2019學(xué)年上海市交大附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

3.（3分）若正三棱柱的所有棱長均為a,且其體積為16「：，則a=4

一、填空題

1.（3分）如果一條直線與兩條直線都相交，這三條直線共可確定1或2或3個平面.

【分析】討論這兩條直線的位置情況，從而得出三條直線所確定的平面數(shù).

【解答】解：如果三條直線都交于一點，且三線不共面，則每兩條直線都確定一個平面，

共確定3個平面；

如果三條直線兩兩相交，交于不同的三點，則只確定1個平面；

如果兩條直線異面，另一條與其均相交，則只確定2個平面；

如果兩條直線平行，另一條與其均相交，則只確定1個平面.

綜上，這三條直線共可確定1或2或3個平面.

【點評】本題考查了由直線確定平面的應(yīng)用問題，是平面的基本性質(zhì)與推論的應(yīng)用問題,

故答案為：1或2或3.

是基礎(chǔ)題目.

2.（3分）已知球的體積為36n.則該球主視圖的面積等于9n.

【分析】由球的體積公式，可得半徑R二3，再由主視圖為圓，可得面積.

【解答】解：球的體積為36n.

設(shè)球的半徑為R,可得_￡冗區(qū)3二36n.

可得R=3,

該球主視圖為半徑為3的圓，可得面積為nR2二9n.

【點評】本題考查球的體積公式，以及主視圖的形狀和面積求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

第8頁（共29頁）

【分析】由題意可得(*?a?a?sin6(T)?a=［距'由此求得a的值.

【解答】解：由題意可得，正棱柱的底面是變長等于a的等邊三角形，面積為一？a?a?

2

sin60,正棱柱的高為a,

-L?a?a?sin60°)?a=16：；,r.a=4,

故答案為：4.

【點評】本題主要考查正棱柱的定義以及體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.(3分)如圖，以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點D為坐標(biāo)原點，過D的三條棱所在的直線為坐

4,3,2).

【分析】由DB［的坐標(biāo)為(4,3A和C1的坐標(biāo)，由此能求出結(jié)果.

標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若DB；的坐標(biāo)為(4,3,2),則兩的坐標(biāo)是G

【解答】解：如圖，以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點D為坐標(biāo)原點，

過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

2),分別求出

??麗〕的坐標(biāo)為(4,3,2),?A(4.0,0),C1(O,3,2),-ACT4,3,2).

【點評】本題考查空間向量的坐標(biāo)的求法，考查空間直角坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識，考查運算

第11頁(共29頁)

3.（3分）若正三棱柱的所有棱長均為a,且其體積為16「：，則a=4

求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

第8頁（共29頁）

5.（3分）若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為arCC0^（結(jié)

果用反三角函數(shù)值表示）

【分析】由已知中圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，可得圓錐的母線是圓錐底面半徑的

倍，在軸截面中，求出母線與底面所成角的余弦值，進(jìn)而可得母線與軸所成角.

【解答】解：設(shè)圓錐母線與軸所成角為0.

--?圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，

-------

2

7Trr

即圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍，

故圓錐的軸截面如下圖所示：

【點評】本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，其中根據(jù)已知得到圓錐的母線是圓錐底面半徑的

倍，是解答的關(guān)鍵.

6.（3分）已知圓柱Q的母線長為I，底面半徑為r,。是上底面圓心，A,B是下底面圓周

C

￡

眩甯案不冏的笠，BC是母線，如圖，若直線OA與BC所成角的大小為

第13頁（共29頁）

3-（階建再屬觸電砂隼棒葩想奧AD＞由異布直蝴幽晶射蹙得第1產(chǎn)=-OAD為f--在

直角三角形ODA中，直接由…〒二得到答案.

［解答］解：如圖，過A作與BC平行的母線AD，連接0D，則/OAD為直線0A與BC

第8頁（共29頁）

所成的角，大小為7V

在直角三角形ODA中，因為/QAD=2L，所以

則一「?

A

故答案為

【，法平】本題考查了異面直線所成的角，考查了直角三角形的解法，是基礎(chǔ)題.

7.（3分）已知△ABC三個頂點到平面a的距離分別是3,3,6，則其重心到平面a的距離為幺2

4（寫出所有可能值）

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)A、B、C在平面a上的射影分別為A，、B，、0,AABC的重心為

G,連接CG交AB于中點E,又設(shè)E、G在平面a上的射影分別為E'、G'，利用平面圖形：直角

梯形EE1CC中數(shù)據(jù)可求得△ABC的重心到平面a的距離GG’即可.

【解答】解：如圖，設(shè)A、B、C在平面a上的射影分別為A-B，、CABC的重心為G,

連接CG交AB于中點E,又設(shè)E、G在平面a上的射影分別為E

貝UE'€A'B：G'€C'E:設(shè)AALBB=3,CC=6,EE'=3,

由CG二2GE,

在直角梯形EE'C'C中可求得GG'=4；

當(dāng)AB和C在平面a的兩側(cè)，由于EE'：CC'=1:2,可得GG'=0;

當(dāng)AB垂直于平面a,由中位線定理可得GG=2.

故答案為：0,2,4.

【點評】本題考作梭錐的結(jié)構(gòu)特征、三角形的重心，考杏計算能力，空間想象能力，是

基礎(chǔ)題，三角形重心是三角形三邊中線的交點.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的

第11頁（共29頁）

距離之比為2：1.

&(3分)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若動點P在線段BD1上運動，貝U的取值范圍是區(qū)

U.

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出有關(guān)點的坐標(biāo)可得二、八；的坐標(biāo)，再

由一~1-人[0,1]，可得〔「「的取值范圍.

【解答】解：以Ir所在的直線為X軸，以忙弓所在的直線為y軸，以.；所在的直線為Z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系.

則D。0,0)'C(0,1,0)'A(1,0,0)'B(1,1,O)、D1。0t1).

?DC=(0,1,0)'BD](-1>-1,1),

-?,點P在線段BD〔上運動，-BF'=X?BD[=(.人-人人)，且0W人w1.

,AP=AB+BP=DC+EP=(-A，1-入,A)，

故答案為[0,1].

【點評】本題主要考查兩個向量坐標(biāo)形式的運算，兩個向量的數(shù)量積公式,，屬于中檔題.

9.(3分)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于0,剪去△AOB.將剩余部

分沿0C、0D折疊，使0A、0B重合，則以A、(B)、C、D、。為頂點的四面體的體積為I.

—3—

第16頁(共29頁)

【分析】根據(jù)題意，求出翻折后的幾何體為底面邊長，側(cè)棱長，高，即可求出棱錐的體

積.

【解答】解：翻折后的幾何體為底面邊長為4,側(cè)棱長為2的正三棱錐，

高為所以該四面體的體積為

故答案為：二￡1

【點評】本題考查棱錐的體積，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.

10.（3分）某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則3x+4y的最大

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步利用幾何體的邊長關(guān)系式和不等式的應(yīng)用

求出結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)幾何體得三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:

所以：利用三視圖的關(guān)系，構(gòu)造成四棱錐體,

第11頁（共29頁）

所以：x2=1+4-y2,

第18頁（共29頁）

整理得：X2+y2=5,

故：(3x+4y)2<(32+42)(x2+y2),

整理得：I

故答案為：5.口

【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，不等式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運

算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型.

11.(3分)已知A、B、C、P為半徑為R的球面上的四點，其中AB、AC、BC間的球面距離分別

R_L1P、_L7若，，其中0為球心，貝Ux+y+z的最

大值是二二

【分析】以O(shè)A,0C所在直線分別為x軸，y軸建立空間坐標(biāo)系，求出L，「，「的坐標(biāo)，根

據(jù)P在球0上，得到廠日的長度為R,再結(jié)合柯西不等式即可得到結(jié)論.

【解答】解：依題意，0ALOC.OB.LOC,又OAQOB二

所以O(shè)CX平面OAB,

以O(shè)A,0C所在直線分別為x軸，y軸，。為坐標(biāo)原點立空間坐標(biāo)系，

則0A=(R,0,0),0C=(0,R,0)

因為OA與OB夾角為衛(wèi).，所以不妨設(shè)壓R,W!R,0),如圖，

((x啜)R,■:R)>

322

R,

*+潺/

即(x4)2+y2+(^-z)2=1,

所以由柯西不等式［12+12++&引哼專

匝

因為P在球。上，所以I「1=R,

所以［」喔力9頁(共29支)

2,“2,z)J]>1x

【點評】本題考查了球面距離，空間向量的坐標(biāo)運算，向量的模，柯西不等式等知識，屬于中檔

題.

12.（3分）如圖，在四面體ABCD中，E,F分別為AB、CD的中點，過EF任作一個平面a分

別與直線BC,AD相交于點G,H，則下列結(jié)論正確的是③，④.

①對于任意的平面a,都有直線GF,EH,BD相交于同一點；

②存在一個平面ao,使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上；

③對于任意的平面a.都有SAEFG二S\EFH：

④對于任意的平面a,當(dāng)G.H在線段BC,AD上時，幾何體AC-EGFH的體積是一個定值.

【分析】①取AD的中點H,BC的中點G,則EGFH在一個平面內(nèi)，此時直線GF〃EH//BD；

②不存在一個平面aO,使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上；

③分別取AC、BD的中點M、N，貝UBC//平面MENF,AD〃平面MENF，且AD與BC到

平面MENF的距離相等，可得對于任意的平面a,都有SAEFG=SAEFH.

第20頁（共29頁）

④對于任意的平面a,當(dāng)G,H在線段BC,AD上時，可以證明幾何體AC-EGFH的體積是四面

體ABCD體積的一半.

【解答】解：①取AD的中點H.BC的中點G,貝UEGFH在一個平面內(nèi)，此時直線GF//EH//

BD，因此不正確：

②不存在一個平面aO,使得點G在線段BC匕，點H在線段AD的延長線上；

③分別取AC、BD的中點M、N，貝UBC//平面MENF,AD〃平面MENF，且AD與BC到

平面MENF的距離相等，因此對于任意的平面a,都有SAEFG:SAEFH.

④對于任意的平面a,當(dāng)G,H在線段BC,AD上時，可以證明幾何體AC-EGFH的體積是四

面體ABCD體積的一半，因此是一個定值.

綜上可知：只有③④正確.

故答案為：③④.

【點評】本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理，考查了推理能力和計算

能力，屬于難題.

、選擇題

13.（3分）已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)

近兀

A2D.4/2K

I3

周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（

【分析】畫出圖形，根據(jù)圓錐的體積公式直接計算即可.

【解答】解：如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體.

V=2x-^~S?h=2x五R^?h

33

=2XLX（5/2）2義也=^^冗.

33

故選：B.

【點評】本題考查圓錐的體積公式，考查空間想象能力以及計算能力.是基礎(chǔ)題.

14.（3分）如圖，在大小為45的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE與CDEF都是邊長

第15頁（共29頁）

D（

為1的正方形，貝UB與D兩點間的距離是（

A.B.]C,1D..：,

【分析】由「=_'?」；LL,利用數(shù)量積運算性質(zhì)展開即可得出.

【解答】解：?-?四邊形ABFE與CDEF都是邊長為1的正方形，

又大小為455的二面角A-EF-D中，.I■二？■.二1x1xcos（180-45

??,Li—_LK

,—=■P,y.■I■1=3-^；：H?

???I；=：飛：丁

故選：D.

【點評】本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、向量的多邊形法則、空間角，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

1的正方形，貝yB與C兩點間的距離是（）

改為則B與D兩點間的距離是（？？？？

15.（3分）《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存

最

早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘

之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn),計算其體積V的近似

公式V~L2h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率n近似取為3,那么，近似公式

?=L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的n近似取為（

7b

A仝

R25355

850113

V、*2l_2h

r5

【解答】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h,喀L=2n-,

【分析】根據(jù)近似公式，建立方程，即可求得結(jié)論.

第22頁（共29頁）

-±-J上=—（2冗「）2h,

第23頁（共29頁）

25

故選：B.

【點評】本題考查圓錐體積公式，考查學(xué)生的閱讀理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.(3分)在正方體ABCD-A'B'C＞中，若點P(異于點B)是棱上一點，則滿足

BP與AC，所成的角為45的點P的個數(shù)為()

A.0B,3C,4D,6

【分析】通過建立空間直角坐標(biāo)系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角即可找出

所有滿足條件的點P的個數(shù).

【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)棱長AB=1,B(1,0,1),C(1,

1,1).

①在RtAAA'C中，tan/AA'C=一二.「，因此/AA1C工45.

同理A，B',A'D與A，C所成的角都為arctan「一門，。.

故當(dāng)點P位于(分別與上述棱平行、棱BB1.BA.BC上時，與A'C所成的角都為

arcta〃巷弄45。,不滿足條件；

②當(dāng)點P位于棱AD上時，設(shè)P(0,y,1),(0wy＜1、，則B?|=(-1,y,0),A'C|=

(1,1,1).

若滿足BP與AC所成的角為45°，則，：*

屈Iid

,，化為y2+4y+1=0,無正數(shù)解，舍去；

Vlnr2V3

同理，當(dāng)點P位于棱B'C上時，也不符合條件；

③當(dāng)點P位于棱A'＞上時，設(shè)P(0,y,0),(0wyw1),

第24頁(共29頁)

則屈二（-ty,-D，c=（1,1,1）.

若滿足BP與AC所成的角為45,則>匚

2|BP||AvC|

，化為y2+8y-2=0,

Wi

…Owyw1，解得y=3「-4,滿足條件，此時點p「一二二.

④同理可求得棱A'B'上一點P「「；L■■宣，棱A，A上一點P-?

而其它棱上沒有滿足條件的點P.

綜上可知：滿足條件的點P有且只有3個.

故選：B.

【點評】熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所

成的夾角得到異面直線所成的角是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

17.現(xiàn)在四個正四棱柱形容器，1號容器的底面邊長是a，高是b：2號容器的底面邊長是b,高是a：3

號容器的底面邊長是a,高是a；4號容器的底面邊長是b,高是b.假設(shè)b.問是否存在一種必勝的4

選2的方案（與a、b的大小無關(guān)），使選中的兩個容器的容積之和大于余下的兩個容器的容積之

和？無論是否存在必勝的方案，都要說明理由

【分析】存在一種必勝的4選2的方案（與a、b的大小無關(guān)），使選中的兩個容器的容積之和大

于余下的兩個容器的容積之和.理由如下：若選中3號容器與4號容器，則V3+V4

>V1+V2,即a，b3〉a2b+ab2（a至b,a.b>0）.通過作差即可證明結(jié)論.

【解答】解：存在一種必勝的4選2的方案（與a、b的大小無關(guān)），使選中的兩個容器的容積

之和大于余下的兩個容器的容積之和.

第25頁（共29頁）

理由如下：若選中3號容器與4號容器>則V3+V4>V1+V2,即a3+b3>a2b+ab2(a^b,a,

b>0).

3322222

證明如下：a+b-(ab+ab)=(a+b)(a-ab+b)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)

2

■/a豐b、a,b>0,「.(a+b)(a-b)>0.

3322

二a+b>ab+ab(aAb,a,b>0),即V3+V4>V1+V2.

因此存在必勝方案是：選中3號容器與4號容器.

【點評】本題考查了乘法公式、不等式的性質(zhì)、作差法，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

18.如圖，已知圓錐底面半徑r=20cm,。為底面圓圓心，點Q為半

圓弧”的中點，點P

為母線SA的中點，PQ與SO所成的角為arctan2,求：

(1、圓錐的側(cè)面積；

(2)P,Q兩點在圓錐側(cè)面上的最短距離.

【分析】C、過點P作PHJJS面圓O,交AC于H,連接HQ，求出HQ的值，找出PQ與SO所

成的角，求得SO、SA的值，再計算圓錐的側(cè)面積；

(2、作圓錐的側(cè)面展開圖，找出所求的最短距離，利用余弦定理求出即可.

【解答】解：C)過點P作PH，底面圓O,交AC于H，連接HQ.

?--圓錐底面半徑r二20cm,。為底面圓圓心，點Q為半圓弧”的中點，點P為母線SA

的中點，

…PH=-L「！，OQ_LAC,OH=10,可得：HQ=八-I；=10□,

?/PH//SO,

-/HPQ是PQ與SO所成的角，

第26頁(共29頁)

…PQ與SO所成的角為arctan2.

第27頁（共29頁）

?tan/HPQ=—=2,

??HQ=2PH=SO,解得SO=10A，，A,l=SA=A2?=30,

.?.圓錐的側(cè)面積:S=nl=nX20x30=600n(cm2).

(2)作圓錐的側(cè)面展開圖，線段PQ即為所求最短距離.

由已知OQ_LSO,OQ±SA,

故Q是弧AB的中點，即Q是扇形弧的二點

因為扇形弧長即為圓錐底面周長4n,

由(1)知SO=10_■，母線SA=30,

從而扇形的中心角為3王，

???/QSA=J_?

3

在4、QSA中，SP=15,由余弦定理得：pQ=ASp2+SQ2.2xSPXSQXCOSY

?OQ±OA,

第28頁(共29頁)

5.，「.

P,Q兩點在圓錐側(cè)向上的坡短距圈5713cm.

第29頁（共29頁）

【點評】本題考查了求圓錐的體積、多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，主要根據(jù)幾何體的

結(jié)構(gòu)特征、直角三角形、題中的條件，求出錐體的母線長和高，進(jìn)而求出對應(yīng)的值，考查了分析和

解決問題的能力.本題需注意最短距離的問題最后都要轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJJE面ABCD，/DAB為直角，AB〃CD,AD=CD

=2AB=2PA=2,E、F分別為PC、CD的中點.

(1)試證：CD_L平面BEF;

(2)求BC與平面BEF所成角的大??；

【分析】C)先證四邊形ABFD為平行四邊形，又/DAB為直角，可得DC_LBF，再由已知證

明DCPD，可得DC_LEF，由線面垂直的判定可得DC_L平面BEF；

(2)由(1)知，DC_L平面BEF,則/CBF為BC與平面BEF所成角，求解三角形即可；

(3)由(1)知CD平面PAD，則平面PDC_L平面PAD，在RtAPAD

中，設(shè)A到PD

2匹，即B到平面PDC

的距離為h,利用等面積法求得h，得A到平面PDC的距離為5

的距離為AL,再利用等體積法求三棱錐P-DBE的體積.

【解答】⑴證明：TAB//CD,CD=2AB,F為CD的中點，

?-?四邊形ABFD為平行四邊形，又/DAB為直角，

?DC±BF,

又PAJJg面ABCD，?平面PAD_L平面ABCD,

?/DC_LAD，故DC_L平面PAD,?DC±PD,

在ZAPCD內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點，EF//PD,?DC±EF.

由此得DC_L平面BEF；

(2)解：由(1)知，DC_L平面BEF，則/CBF為BC與平面BEF所成角，

第30頁(共29頁)

在RtABFC中，BF=AD=2,CF=「一、

.tan_.zt_，貝uBC與平面BEF所成角的大小為

（3）解：由（1）知，CD，平面PAD，則平面PDC_L平面FAD,

在RtAFAD中，設(shè)A到FD的距離為h,貝UFA?AD=FD?h,

得h二PMD2?A到平面PDC的距離為11

PD55

即B到平面FDC的距離為一1,

5

【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，考查線面角的求法，訓(xùn)練了利用等積法求多

面體的體積，是中檔題.

20.如圖T-ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱長PA、PB、FC上的點，截面DEF//

底面ABC、且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相聲（棱長和是指多面體中所有棱的長度

之和）.

（1）證明：P-ABC為正四面體；

（2）若PD=-?h求二面角D-BC-A的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）;

（3）設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體，使

得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體，并給

出證明；若不存在，請說明理由（注：用平行于底的截面截棱錐，該截

面與底面之間的部分稱為棱臺，本題中棱臺的體積等于棱錐P-ABC的體積減去棱錐P

-DEF的體積）.