數(shù)學(xué)人教A版必修4導(dǎo)學(xué)案1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)（第1課時）

第1課時周期函數(shù)1．了解周期函數(shù)的定義，知道周期函數(shù)的周期和最小正周期的含義．2．知道正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)．3．會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)與y＝Acos(ωx＋φ)的周期．1．周期函數(shù)(1)定義：一般地，對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個____常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝__，那么函數(shù)y＝f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的____．(2)規(guī)定：對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在著一個____的正數(shù)，就稱它為最小正周期．在沒有特殊說明的情況下，三角函數(shù)的周期均是指它的__________．若函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，T是一個周期，則有：①定義域中含有無限個實(shí)數(shù)；②對定義域內(nèi)任意x，均有f(x＋kT)＝f(x)，其中k∈Z；③f(x)的圖象每隔一個周期T重復(fù)出現(xiàn)一次．【做一做1】函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，10是f(x)的一個周期，且f(2)＝eq\r(2)，則f(22)＝__________.2．兩種特殊的周期函數(shù)(1)正弦函數(shù)y＝sinx是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是____．(2)余弦函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是____．(3)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性，實(shí)質(zhì)是由終邊相同的角所具有的周期性所決定的．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω＞0)的周期T＝eq\f(2π,ω).【做一做2】函數(shù)y＝sinx，y＝cosx的周期分別是T1，T2，則taneq\f(T1＋T2,16)＝__________.答案：1．(1)非零f(x)周期(2)最小最小正周期【做一做1】eq\r(2)f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝eq\r(2).2．(1)2π(2)2π【做一做2】1T1＝T2＝2π，則taneq\f(T1＋T2,16)＝taneq\f(4π,16)＝taneq\f(π,4)＝1.對周期函數(shù)的概念的理解剖析：可以從以下幾點(diǎn)來理解周期函數(shù)：(1)周期函數(shù)定義中的“f(x＋T)＝f(x)”是對定義域中的每一個x值來說的，只有個別的x值滿足f(x＋T)＝f(x)不能說T是y＝f(x)的周期．例如：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\f(π,4)，但是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,2)))≠sineq\f(π,3)，這就是說，對定義域內(nèi)的每一個值x，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝sinx不恒成立，因此eq\f(π,2)不是y＝sinx的周期．(2)并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期，例如，常數(shù)函數(shù)f(x)＝C(C為常數(shù))，x∈R，當(dāng)x為定義域內(nèi)的任何值時，函數(shù)值都是C，即對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的每一個值x都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者，所以f(x)沒有最小正周期．(3)“f(x＋T)＝f(x)”是定義域內(nèi)的恒等式，即對定義域內(nèi)的每一個值都成立，T是非零常數(shù)，周期T是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值，周期函數(shù)的圖象每隔一個周期重復(fù)出現(xiàn)一次．題型一證明周期函數(shù)【例1】已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x－2)，求證：函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)．分析：只需找到一個非零實(shí)數(shù)T，滿足f(x＋T)＝f(x)即可．反思：通常用周期函數(shù)的定義討論非三角函數(shù)的周期問題，即只需找到一個非零實(shí)數(shù)T，對定義域內(nèi)任意x總有f(x＋T)＝f(x)成立．題型二求三角函數(shù)的周期【例2】求下列函數(shù)的周期：(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)))(x∈R)；(2)y＝|sinx|(x∈R)．分析：解答本題(1)可結(jié)合周期函數(shù)的定義求解；(2)可通過畫函數(shù)圖象求周期．反思：求三角函數(shù)的周期，通常有三種方法．(1)定義法．根據(jù)函數(shù)周期的定義求函數(shù)的周期．如本例(1)．(2)公式法．一般地，對于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)且A≠0，ω≠0)形式的函數(shù)，其周期為T，則T＝eq\f(2π,|ω|).本例(1)可用公式求解如下：T＝eq\f(2π,\f(1,4))＝8π.(3)圖象法，即大致畫出函數(shù)的圖象觀察．如本例(2)．其中公式法是最常用而且簡單的方法．題型三函數(shù)的周期的應(yīng)用【例3】設(shè)f(x)是以1為一個周期的函數(shù)，且當(dāng)x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))的值．分析：可利用feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－1×4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))求解．反思：(1)解答此類題目的關(guān)鍵是利用化歸的思想，借助于周期函數(shù)的定義把待求問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入求解便可．(2)如果一個函數(shù)是周期函數(shù)，倘若要研究該函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合周期函數(shù)的定義域可知，完全可以只研究該函數(shù)一個周期上的特征，再加以推廣便可以得到函數(shù)在定義域內(nèi)的有關(guān)性質(zhì)．題型四易錯辨析易錯點(diǎn)不清楚f(x＋T)表達(dá)的意義【例4】利用定義求f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小正周期．錯解：∵f(x＋2π)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2(x＋2π)－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)＋4π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝f(x)，∴T＝2π是f(x)的最小正周期．錯因分析：錯解中求的不是最小正周期．對于y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，其周期為eq\f(2π,ω).答案：【例1】證明：令x－2＝t，則x＝t＋2，于是由f(x＋2)＝f(x－2)，得f(t)＝f[(t＋2)＋2]＝f(t＋4)．∴f(t)＝f(t＋4)．∴f(x＋4)＝f(x)．∴函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，4是一個周期．【例2】解：(1)∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)))，∴f(x＋8π)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋8π＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)＋2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)))＝f(x)．∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)))的周期為8π.(2)函數(shù)y＝|sinx|的圖象如圖所示．由圖象知T＝π.【例3】解：∵f(x)是以1為一個周期的函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－4))，從而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).又當(dāng)x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0.【例4】正解：令z＝2x－eq\f(π,6)，∵x∈R，∴z∈R.又∵y＝sinz的周期是2π，z＋2π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2π＝2(x＋π)－eq\f(π,6)，∴f(x＋π)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)＋2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝f(x)．∴T＝π.1．函數(shù)y＝|cosx|的最小正周期是()A. B. C．π D．2π2．函數(shù)y＝的最小正周期為()A. B. C．2π D．5π3．若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)的周期為π，則ω＝__________.4．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為6的奇函數(shù)，且f(1)＝1，則f(5)＝_______