《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》(教學(xué)設(shè)計)高一數(shù)學(xué)(人教A版2023年必修第一冊)

《5.4.22教材內(nèi)容：像和性質(zhì)奠定了根底。本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)安排上有著承前啟后的作用。教學(xué)目標(biāo)：y＝sinx，y＝cosx的最大值與最小值，并會求簡潔三角函數(shù)的值域和最值,培育數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；y＝sinx，y＝cosx的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小，提升規(guī)律推理的核心素養(yǎng)；y＝Asin(ωx＋φ)y＝Acos(ωx＋φ)的核心素養(yǎng)；y＝Asin(ωx＋φ)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸、對稱中心，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、通過正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)；2、應(yīng)用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)來求含有cosx,sinx的函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域及對稱性。教學(xué)過程設(shè)計:〔一〕知導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境，生成問題的運(yùn)動包含了很多物理學(xué)原理，人們在設(shè)計過山車時奇異地運(yùn)用了這些倒轉(zhuǎn)(兒童過山車沒有倒轉(zhuǎn))，幾個循環(huán)路徑.探究溝通，解決問題探究y＝sinxy＝cosxy＝sinx，y＝cosx的哪些性質(zhì)？y＝sinx，y＝cosx的哪些性質(zhì)？y＝sinx，y＝cosx在什么位置取得最大(小)值？提示(1)單調(diào)性.(2)最值，波峰，波谷.【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義，用聯(lián)系的觀點(diǎn)引入本節(jié)課，建立學(xué)問間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括推理的力氣?！捕痴?、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值 π 3π1】正弦函數(shù)在－22上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)？余弦函數(shù)在[0,2π]上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)？【提示】y

x π上，曲線漸漸上升，是增函數(shù)，函數(shù)值y1增大＝sin

在22π3上，曲線漸漸下降，是減函數(shù)，函數(shù)值y由1；1；在2，2y＝cosx在[0，π11；在[π，2π]上，曲線漸漸上升，是增函數(shù)，函數(shù)值由－11.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值正弦函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖象定義域RR值域[－1,1][－1,1]在2kπ－，2kπ＋(k∈Z)上單ππ22調(diào)遞增，在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，單調(diào)性在2kππ＋2，2kπ 3π(k∈Z)上單＋2在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調(diào)遞減調(diào)遞減x＝2＋2kπ(k∈Z)時，yπx＝2kπ(k∈Z)時，y ＝1；max＝1；max最值x＝－2＋2kπ(k∈Z)時，yπx＝k＋k∈)y1min＝－＝－1min【思考】正弦函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，而余弦函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，這種說法對嗎？【提示】不正確．正弦函數(shù)在每個閉區(qū)間2kπ－π，2kπ＋π(k∈Z)上是增函數(shù)，并不是 2 2上是減函數(shù)，并不是在整個定義域上是減函數(shù)．【設(shè)計意圖】通過探究讓學(xué)生理解正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，提高學(xué)生分析問題的力氣?！踩车湫屠}正、余弦函數(shù)的單調(diào)性1.y=sin(3x+??)，x∈????]的單調(diào)減區(qū)間.6 3 3【變式探究】：求函數(shù)y＝2sinπ－x的單調(diào)遞減區(qū)間．4 【解】y＝2sinπ－x＝－2sinx－π，4 4－π＋2kπ，π＋2kπ(k∈Z)．4 2 2 ∴原函數(shù)遞減時，得－π＋2kπ≤x－π π＋2kπ(k∈Z)，2 4≤2得－π＋2kπ≤x≤3π＋2kπ(k∈Z)．4 4∴原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是－π＋2kπ，3π＋2kπ(k∈Z)． 4 4 【類題通法】求單調(diào)區(qū)間的步驟用“根本函數(shù)法”求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間的步驟：y＝sinx(y＝cosx)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；(用不等式表示)中的“x”；x的不等式．y＝Asin(ωx＋φ)ω＜0時，可先用誘導(dǎo)y＝－Asin(－ωx－φ)y＝Asin(－ωx－φ)的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單的單k∈Z這一條件不能省略．1】求以下函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：π π (1)y＝cos2x；(2)y＝sin6－x，x∈2，2π.π【解】(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，所以kπ－2≤x≤kπ(k∈Z)，π 2 (2)y＝sinπ－x＝－sinx－π，6 6所以函數(shù)y＝sinπ－x的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)y＝sinx－π的單調(diào)遞減區(qū)間，6 6≤x－≤2kπ＋ ≤x≤2kπ＋由2kπ＋π π 3π，k∈Z，得≤x－≤2kπ＋ ≤x≤2kπ＋2 6 2 3 32π，5π.2 3 3正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例2. 比較以下各組中函數(shù)值的大?。?23π 17π〔1〕cos5cos4；(2)sin194°cos160°. 23π

7π

7π

17π

7π 7π【解】〔1〕cos－5

＝cos－6π＋5＝cos5，cos－4

＝cos－6π＋4＝cos4，7π 7π 7π

23π＜5＜4＜2cosx[2πcos5＜cos4cos－5 17π＜cos－4.(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.y＝sinx0°＜x＜90°時單調(diào)遞增，∴sin14°＜sin70°.從而－sin14°＞－sin70°sin194°＞cos160°.【類題通法】比較三角函數(shù)值大小的步驟(1)異名函數(shù)化為同名函數(shù)；(2)利用誘導(dǎo)公式把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?7π

7π 7 52】比較大?。?1)cos8cos

6；(2)sin4cos3.【解】(1)cos－7π＝cos

7π＝cosπ－π＝－cos

7π＝－cosπ， 8 8 8 8 6 6∵πππ，∴cos

π π π π，∴cos－7π 7π0<8<6<2

8>cos6.∴－cos8<－cos6 8<cos 6.5＝sinπ＋5，π7π＋53(2)∵cos

3 2 3 2<4<2 3<2π，y＝sinx在π，3π上是減函數(shù)，∴sin7

π＋5＝cos

5，即sin7 52 2

4>sin2 3 3

4>cos3.3.求以下函數(shù)的值域:(1)y=cos(x+π),x∈[0,π];(2)y=cos2x-4cosx+5.6 2【解】(1)由x∈[0,π]x+π∈π2π],2 6 6 3函數(shù)y=cosx在區(qū)間[π,2π]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1, 3].6 3 2 2(2)y=cos2x-4cosx+5,令t=cosx,則-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1,t=-1時,10;t=1時,2,所以函數(shù)的值域?yàn)閇2,10].【類題通法】求三角函數(shù)值域的常用方法求解形如y＝asinx＋by＝acosx＋b)的函數(shù)的最值或值域問題時，利用正、余1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函數(shù)取最值時相應(yīng)自變x的集合時，要留意考慮三角函數(shù)的周期性．求解形如sin2sin＋(或＝cos2＋cos＋)，∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sinxcosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要留意t＝sinx(或cosx)的有界性．【穩(wěn)固練習(xí)3】1.函數(shù)y=2cos2x+5sinx-4的值域?yàn)?.【答案】[-9,1]【解析】y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx-5)29.4 8sinx=1時,ymax=1;sinx=-1時,ymin=-9,y=2cos2x+5sinx-4的值域?yàn)閇-9,1].2.設(shè)f(x)=acosx+b的最大值是1,最小值是-3,則g(x)=bsin(ax+π)的最大值為 .3【答案】1.a≠0,a>0時ab1,

所以a2,bab3, bg(x)=-sin(2x+π),1.a<0時ab3,所以a2,3 ab1, 1.g(x)=-sin(-2x+π),1.綜上知,g(x)1.34.正弦、余弦函數(shù)的對稱性2 π例4.y＝sinx＋3的圖象的對稱軸方程是

對稱中心的坐標(biāo)是 ．【答案】x＝kπ＋π(k∈Z) kπ－π，0(k∈Z)2 12

2 6 【解析】依據(jù)正弦函數(shù)的周期性知，過函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且與x軸垂直的直線x軸的交點(diǎn)均為對稱中心．要使sin2x＋π＝±1，必有2x＋π＝kπ＋π kπ＋π 3

3 2(k∈Z)x＝2

12(k∈Z)，x＝kππ(k∈Z)，2 12y＝sin2x＋πx軸的交點(diǎn)即為對稱中心， 3y＝0，即sin2x＋π＝0， 32x＋π＝kπ(k∈Z)x＝kπ－π3 2 6(k∈Z)，y＝sin2x＋π的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為kπ－π，0(k∈Z)． 3 2 6 【類題通法】正弦曲線、余弦曲線的對稱軸確定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲線、余弦曲線的對稱中心x0.πy＝sinx的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)x＝kπ＋2(k∈Z)．y＝cosx的對稱中心為kπ＋π，0(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)． 2 【穩(wěn)固練習(xí)4】函數(shù)fx4cosx圖象的一條對稱軸可能是直線x〔 〕A．53【答案】A

3 3B．1 C． 43 3 3【解析】令x

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k(kZxk1kZ.3當(dāng)k2時，x .3應(yīng)選：A.〔四〕操作演練素養(yǎng)提升 π π函數(shù)y＝－cosx在區(qū)間－2，2上是( )增函數(shù)C．先減后增函數(shù)

減函數(shù)D．先增后減函數(shù)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象的一條對稱軸是( )A．y軸C．直線x π

B．x軸Dx＝π πy＝cosx－4在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為( )π 3π πA.4，