江蘇省宿遷市光明實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

江蘇省宿遷市光明實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)的和為A

3690

B

3660

C

1845

D

1830

參考答案：D2.已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.雙曲線：的漸近線方程和離心率分別是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D4.設(shè)集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：C6.若且則函數(shù)的圖象大致是（）參考答案：B7.

集合，則（）

A

B

C

D參考答案：答案：C8.若集合，，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D試題分析：由題意，．故選D．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．9.下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱的函數(shù)是(

)

A．y=2sin(2x+)

B．y=2sin(2x-)

C．y=2sin()

D．y=2sin(2x-)參考答案：B略10.實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組(x,y)的值分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,4)，則y與x間的線性回歸方程是（）A．y＝－1＋xB．y＝1＋x

C．y＝1.5＋0.7xD．y＝1＋2x參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△中，分別是角的對(duì)邊，若成等差數(shù)列，則的最小值為

.參考答案：12.已知拋物線，焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為

．參考答案：F（，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣），（k≠0）．聯(lián)立，化為k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．x1x2=．∴|AF|+2|BF|=x1++2（x2+）=x1+2x2+≥2+=，當(dāng)且僅當(dāng)x1=2x2=時(shí)取等號(hào)．當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，|AF|+2|BF|=3p=3．綜上可得：|AF|+2|BF|的最小值為：．故答案為：．

13.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則______.參考答案：略14.已知集合，，則___

__．參考答案：15.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0，若直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是．參考答案：[0，]【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心C的坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，得到以C為圓心，2為半徑的圓與直線y=kx﹣2有公共點(diǎn)，即圓心到直線y=kx﹣2的距離小于等于2，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范圍．【解答】解：將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣4）2+y2=1，∴圓心C（4，0），半徑r=1，∵直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，∴只需圓C′：（x﹣4）2+y2=4與y=kx﹣2有公共點(diǎn)，∵圓心（4，0）到直線y=kx﹣2的距離d=≤2，解得：0≤k≤．故答案為：[0，]．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，其中當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．16.成書于公元前1世紀(jì)左右的中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》曾記載有“勾股各自乘,并而開(kāi)方除之”,用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)表示就是,可見(jiàn)當(dāng)時(shí)就已經(jīng)知道勾股定理.如果正整數(shù)滿足,我們就把正整數(shù)叫做勾股數(shù),下面依次給出前4組勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41.則按照此規(guī)律，第6組勾股數(shù)為

．參考答案：方法一：由前4組勾股數(shù)可知，第一個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，且成等差數(shù)列，后兩個(gè)數(shù)是相鄰的兩正整數(shù)，有勾股數(shù)滿足的關(guān)系得第6組勾股數(shù)為．方法二：若設(shè)第一個(gè)數(shù)為，則第二，三個(gè)數(shù)分別為，第6組的一個(gè)數(shù)為13，可得第6組勾股數(shù)為．17.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D為斜邊BC的中點(diǎn)，則向量在上的投影為

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）之間的直角距離為L(zhǎng)（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，點(diǎn)A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】（1）根據(jù)定義寫出L（A，B），L（A，C）的表達(dá)式，最后通過(guò)解不等式求出x的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，運(yùn)用分離變量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用去絕對(duì)值的方法或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得右邊的最大值為4，令t不小于4即可．【解答】解：（1）由定義得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，兩邊平方得8x＞24，解得x＞3，（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，法一：令函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故tmin=4．法二：運(yùn)用絕對(duì)值不等式性質(zhì)．因?yàn)閨x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，tmin=4．故t的最小值為：4．19.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=．（1）當(dāng)k=e時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）把k=e代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求得函數(shù)的極值；（2）求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)k≤0時(shí)，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，當(dāng)k＞0時(shí)，由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．【解答】解：（1）注意到函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴h（x）=lnx﹣，當(dāng)k=e時(shí)，∴h（x）=lnx﹣，∴h′（x）=﹣=，若0＜x＜e，則h′（x）＜0；若x＞e，則h′（x）＞0．∴h（x）是（0，e）上的減函數(shù)，是（e，+∞）上的增函數(shù)，故h（x）min=h（e）=2﹣e，故函數(shù)h（x）的減區(qū)間為（0，e），增區(qū)間為（e，+∞），極小值為2﹣e，無(wú)極大值．（2）由（1）知，h′（x）=﹣=，當(dāng)k≤0時(shí)，h′（x）＞0對(duì)x＞0恒成立，∴h（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，注意到h（1）=0，∴0＜x＜1時(shí)，h（x）＜0不合題意．當(dāng)k＞0時(shí)，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．∴h（x）是（0，k）上的減函數(shù)，是（k，+∞）上的增函數(shù)，故只需h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≥0．令u（x）=lnx﹣x+1（x＞0），∴u′（x）=﹣1=當(dāng)0＜x＜1時(shí)，u′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，u′（x）＜0．∴u（x）是（0，1）上的增函數(shù)，是（1，+∞）上的減函數(shù)．故u（x）≤u（1）=0當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立．∴當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，h（x）≥0成立，即k=1為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和函數(shù)構(gòu)造法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是有一定難度題目20.（1）已知a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正數(shù)，求證：≥abc．參考答案：考點(diǎn)：不等式的證明．專題：證明題；不等式．分析：（1）由條件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通過(guò)變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論；（2）利用基本不等式，再相加，即可證明結(jié)論．解答： 證明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab．而a，b均為正數(shù)，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）∴a3+b3＞a2b+ab2成立；（2）∵a，b，c都是正數(shù)，∴a2b2+b2c2≥2acb2，a2b2+c2a2≥2bca2，c2a2+b2c2≥2abc2，三式相加可得2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c），∴a2b2+b2c2+c2a2）≥abc（a+b+c），∴≥abc．點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查綜合法，屬于中檔題．21.（12分）（2013?泗縣模擬）已知在x=1與處都取得極值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=x2﹣2mx+m，若對(duì)任意的，總存在，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．

【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由f（x）在x=1與處都取得極值，得f'（1）=0，，得關(guān)于a，b的方程組，解出a，b，然后檢驗(yàn)；（Ⅱ）對(duì)任意的，總存在，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，等價(jià)于g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min，利用函數(shù)單調(diào)性易求[f（x）﹣lnx]min，按照對(duì)稱軸在區(qū)間[，2]的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論可求得g（x）min，然后解不等式g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min可得答案；【解答】解：（Ⅰ）∵，∵在x=1與處都取得極值，∴f'（1）=0，，∴，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)f（x）在x=1與處都取得極值．∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數(shù)在上遞減，∴[f（x）﹣