2020-2021學(xué)年高二年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末仿真模擬必刷卷05（人教A版2019解析版）

2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末仿真必刷模擬卷【人教A版2019】

期未檢瀟卷05

注意事項(xiàng):

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共23題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=PD=娓，平面ABCD_L平面PAD,M是

PC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，則平面POC與平面ABM所成二面角的正弦值是（）

B2泥「4健

L----------------

565。?嚕

【解答】解：取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)OE,貝l」OA_LOE,

又PA=PD,O是AD的中點(diǎn)，APOIAD,

1*平面ABCDJ_平面PAD,

平面ABCD,APOIOA,PO1OE,

以。為原點(diǎn)，OA,OE,OP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則O(0,0,0),P(0,0,2),C(-1,2,0),B(1,2,0),

AM(-余1,1),BM=(-辛-1，1)，AB=(0,2,0),

設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量為ir=(x,y,z),

.3

m，BM=FX-y+z=O,一

則＜2,取x=2,得1r=(2,0,3),

m*AB=2y=0

設(shè)平面POC的一個(gè)法向量：=(x,y,z),

0P=(0，0,2),0C=(-1,2,0),

n?OP=2z=0—?

則，nurzzu,取丫制，得好⑵],0),

npOC=-x+2y=0

設(shè)平面POC與平面ABM所成二面角為0,

則cost)-L111"刈-="『，

ImI,InIv65

平面POC與平面ABM所成二面角的正弦值是可直.

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法

2.在△ABC中，ZCAB=90°,AC=l,AB=F，將△ABC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A轉(zhuǎn)到點(diǎn)P,如圖，若。

為BC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，AE=1,則A8與平面AOE所成角的正弦值是（）

2

A.返B.近C.逅D.返

8643

【解答】解：如圖，由題意可知，CE=Lpc」AC工，

222

又AE=?,AC=l,：.CE2+AE2=AC2,

2

即AEA.PC,

?：D,E分別為8C,尸C的中點(diǎn)，.'.DE〃尸8,

'：BPLPC,：.PC±DE,而AEC0E=E,

.?.尸CJ_平面ADE,

延長(zhǎng)EO至F,使EO=OF,連接BF,

則△CEO絲△8F￡>,可得BF_L平面4EC,

NBAF為AB與平面ADE所成角，

在RtZ\AF8中，由B/=CE=*,AB=M，

可得sinZBAF=BF=工血

AB~V3-6

：.AB與平面AOE所成角的正弦值是返.

6

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角

3.如圖，三棱柱4SG-A8C中，側(cè)棱A4,底面ASG，底面三角形A8G是正三角形，E是8c中點(diǎn),

則下列敘述正確的是（）

小

A.CG與SE是異面直線

B.直線AC_L平面ABBA

C.直線4G與平面ABE不相交

D.NBEB是二面角S-AE-2的平面角

【解答】解：A不正確，因?yàn)镃G與SE在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線；

8不正確，由題意知，上底面A8C是一個(gè)正三角形，故不可能存在ACJ_平面

C不正確，因?yàn)?G所在的平面與平面ABiE相交，且4G與交線有公共點(diǎn)，故不正確;

。正確，因?yàn)锳E_L側(cè)面BiGCB,故/8EB是二面角協(xié)-AE-B的平面角正確.

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】向量方法證明線、面的位置關(guān)系定理、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

4.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，點(diǎn)P在圓C：(x-8)2+丁=16上運(yùn)動(dòng)，A(6,0),B(6,1),則尸8+2%的

最小值為()

A.V37B.6C.4+75D.11產(chǎn)

【解答】解：由圓C：(%-8)2+/=16,得r+V-]6X+48=0,

得x2+9=4/+4.V2-48x+144,得九2+丫2=2h-6產(chǎn)+了2，

：.\PO\=2\PA\,即圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離是動(dòng)點(diǎn)P到A的距離的2倍，

：.\PB\+2\PA\^\PB\+\PO\，|2。|二正+產(chǎn)歷

當(dāng)且僅當(dāng)P在線段08上取等號(hào).

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式

5.已知直線y=2x+〃?與圓C相切于點(diǎn)（-2,-1）,且圓C的圓心在y軸上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.（X-2）2+y2=i7B.f+（y-2）2=13

C./+（y+2）2=5D.（x+2）2+/=1

【解答】解：將切點(diǎn)（-2,-1）代入切線方程可得：-1=2X（-2）+m,解得m=3,

設(shè)圓心為（0,b）,所以坦=-L，解得〃=-2,

0+22

所以圓C的半徑r=Q（-2-0）2+（-1+2）2=^5-

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為『+（y+2）2=5.

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

22

6.已知雙曲線C：號(hào)-號(hào)（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q，B過(guò)B作C的一條漸近線/的垂線，垂足

為M,若三角形例尸正2的面積為2a2,則C的離心率為（）

|bc|

【解答】解：由題得B（c，0）,不妨設(shè)/：bx-ay=0,則|MF2|=,=b（也可記住結(jié)論）,

2

lOMl^lOFj^lOFj^',?SAMOF；=SAMOF24lOM||MF2|=^ab

2

SAMF.F,=SAM)F.+SAM)F,=2SAM3F,=ab=2a，

12122

:?b=2a,?\。2=/+廬=5〃2,；?c=^/"^a,?**6=^5?

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)

22PF

7.已知橢圓號(hào)+XflQ>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為Q，B，離心率為e,若橢圓上存在點(diǎn)P,使得一1=

a2b2PF2

e,則該離心率e的取值范圍是（）

A.[加-1，1)B.蹲，1)

C.(0,V2-1]D.(0,

PFQ

【解答】解：依題意，得使得一1+1=烏一=6+1,

PF

PF22

e+1

又。-cWPFzWa+c,

:?a-

e+1

不等號(hào)兩端同除以。得，1-eW-Z—Wl+e,

e+1

解得1,

又0<e<I,

e<l.

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)

8.已知等比數(shù)列｛aj滿足a2=3,a2+a4+a6=21,則a4+a6+a8=()

A.21B.42C.63D.84

【解答】解:設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,,?飛2=3,a2+34+a6=21,

.*.3(l+q2+q4)=21,q4+q2-6=0>

解得q2=2.

則a4+a6+a8=q?(@2+聞+@6)=2X21=42.

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)

9.已知數(shù)列｛aj的任意連續(xù)三項(xiàng)的和是18,并且a5=5,a13=9,那么a2o】9=()

A.10B.9C.5D.4

【解答】解：?；數(shù)列｛aj的任意連續(xù)三項(xiàng)的和是18,

an+ani+an+2=18

Va§=5,a13=9,

a8+a9+aio=18

V5+3=8,2019=670X3+9,

^5+39+32019=18

32019=4>

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

10.在等差數(shù)列■"｝中,S“表示｛斯｝的前〃項(xiàng)和，若。3+。6=3,則S8的值為()

A.3B.8C.12D.24

【解答】解：由等差數(shù)列｛%｝的性質(zhì)可得：0+制=的+。6=3,

8(a(+a<!)

則58=--------——2—=4X3=12.

2

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

11.若函數(shù)f(x)=2x-1sin2x+asinx在區(qū)間(一8,+-)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,0]B.[0,1)C.(-1,1)D,[-1,1]

【解答】解：(x)=2-cos2x+t7cosx,依題意，2-cos2x+acosx20對(duì)任意xGR恒成立,

/.2COS2X-dcosx-3<0對(duì)任意xGR都成立，

令，=cosx,re[-1,1],則2戶-“-3W0對(duì)向-1,1]恒成立，

...12+a-340,解得一々awl.

]2-a-340

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

12.函數(shù)f(x)=(x2-3x+l)F的極大值是()

A.-3eB.-e2C.2/D.9

【解答】解：f(x)=(1-3%+1)",xGR.

f'(x)=(2x-3)e'+(x2-3x+l)"=(x2-x-2)e'—(%-2)(x+1)ex.

令，(x)=0,解得x=-1,2.

令f(x)>0,解得x>2,或x<-l.

令，(x)<0,解得-l<x<2.

，函數(shù)/(x)在(-8,-i),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,2)上單調(diào)遞減.

；.x=-1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，/(-1)=皂.

e

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上)

13.在三棱錐B4BC中，G為△ABC的重心，設(shè)而=〃，屈=〃，PC=c,則同=(用

a,b,c表示).

【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)力，

為△A8C的重心，

則在△ABC中，AG=-|-AD=|-Xy(AB+AC)=y<AB+AC).

/?PG-PA=4(PB-PA+PC-PA)

?1.1.11?

???PG/PA+矛B+合PC

ooo

1—f-

=-（a+b+c）-

3

故答案為：（a+b+c）.

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算

14.在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，己知圓G：%2+（j-r）2=4圓C2：（x-2）2+J2=14.若圓Ci上存在點(diǎn)P,

過(guò)點(diǎn)P作圓Ci的切線，切點(diǎn)為Q,且P0=J，P。,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為-.

【解答】解：設(shè)P（，〃，〃），由，由？。=正20,

可得PO1=2PQi,即m2+n2=2[（/n-2）2+n2-14],

化為m2+n2-8m~20=0,

可得P在圓G：？+（y-t）2=4上，也在圓（x-4）2+9=36上，

即有6-2W1]6+t2W6+2,解得-

故答案為：[-4?,4Tl.

【知識(shí)點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用

15.已知等比數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為a”公比為q,其前〃項(xiàng)和為S”下列命題中正確的是（寫

出全部正確命題的序號(hào)）

（1）等比數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增的充要條件是卬>0且g>l；

（2）數(shù)列：Sin-Sn>S3"-$2",S%-S3,”...，也是等比數(shù)列；

(3)Sn=qSn-i+ai(〃WN*,及22)；

(4)點(diǎn)、(〃，S?)在函數(shù)f(x)=c-d'(c,d為常數(shù)，且">0,dRl)的圖象上.

【解答】解：對(duì)于(1),等比數(shù)列滿足0<0,0<qVl時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故(1)錯(cuò)誤；

對(duì)于(2),等比數(shù)列的首項(xiàng)為m，等比為q,

n21nnn

(l-q)ajd-q")ai(l-q)_ajq(l-q)

則%---------------，32〃3〃-----------------------------------，

l-q1-q1-q1-q

2n(l-q”)3n(l-q”)

同理5?-5?=------------，S4n-Sj=------------.

321-qnl-q

2

(S3〃-S2〃)=(S2n7”)(S4〃-S3〃)，得到此數(shù)列為等比數(shù)列,故(2)正確；

n11n

aj(l-q)ajqd-q^)at(l-q)

對(duì)于⑶，S,,=---------qS-\+a\=-------------+.--------，

l-qnl-qa1l-q

=

'.SnqSni+ai(nGN*,n>2)>故(3)正確;

ai(1-Q)a1ai

對(duì)于(4),S—.---------=-------.qn,若點(diǎn)(〃，S?)在函數(shù)/(x)—c-d'(c,d為

nl-ql-ql-q

常數(shù)，且”>0,d#l)的圖象上，

則Sn二c-d”，當(dāng)公比9<°時(shí)不成立，故(4)錯(cuò)誤?

.?.正確命題的序號(hào)是(2),(3).

故答案為：(2),(3).

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)

16.y=x3在點(diǎn)P處切線的斜率為3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為--

【解答】解：由題意可知，y=V

則y'=3f

曲線、=/在點(diǎn)P(x,y)處的切線斜率々=y'(x)=3,

，3『=3,x—+\,

二P點(diǎn)坐標(biāo)為(I,1)或(-I,-I)

故答案為：(-1,-1),(1,1)

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

三、解答題(本大題共7小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟)

17.如圖，ABC。是菱形，對(duì)角線AC與8。的交點(diǎn)為O,四邊形OCEF為梯形，EF//DC,FD=FB.

(1)若DC=2EF,求證：OE〃平面AOF；

(2)求證：平面AFC_L平面A8CD；

(3)若AB=FB=2,A尸=3,NBCD=60°,求直線AF與平面ABC￡>所成角的余弦值.

FE

【解答】(1)證明：取AQ的中點(diǎn)G,連接OG,FG.

因?yàn)椤Ｊ橇庑蜛BCO的對(duì)角線AC,8。的交點(diǎn),

所以O(shè)G〃￡)C,且OG=L>C.

2

又因?yàn)镋F〃OC,且OC=2EF,所以O(shè)G〃EF,且。G=￡F,

從而OGEF為平行四邊形,

所以?！辍ㄊ珿.

XFGc^ffiADF,OEC平面4。尸，

OE〃平面ADF.

(2)因?yàn)樗倪呅蜛8CO為菱形，所以O(shè)CLBO,

因?yàn)槭?gt;=尸8,。是。8的中點(diǎn)，所以。尸_1_8。，

又OFCWC=O,所以B￡>_L平面AFC.

又。8u平面A8CO,所以平面4FC_L平面A8CD.

(3)作F4_LAC于”，因?yàn)槠矫鍭FC_L平面A8CD,

所以FH_L平面ABCZX

則/碼H為AF與平面ABCD所成角.

由NBC￡>=60°及四邊形ABC。為菱形，得△BCD為正三角形,

則QA=?BD=AB=2,FD=FB=2,

所以△FBD為正三角形,從而OF=?,

在△AOF中，由余弦定理，

2229+3-3-V3

得cosZFAH=cosFA0=OA+AF-OF

20A-AF2X3X77~2

所以AF與平面ABCD所成角的余弦值為返.

2

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角、平面與平面垂直、直線與平面平行

18.在直角坐標(biāo)系X。)，中，已知以點(diǎn)M為圓心的圓M：(x-5)2+(y-7)2=25及其上一點(diǎn)4(1,4).

(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=5上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)平行于0A的直線/與圓M相交于B,C兩點(diǎn)，且由C|=4近，求直線/的方程.

【解答】解：(1)I?圓M：(x-5)2+(廠7)』25,

.?.圓心M的坐標(biāo)為(5,7),半徑r=5,

根據(jù)題意，設(shè)圓N的方程為(x-5)2+(y-b)2=〃(°>0),

又圓N與圓M外切，.川(5-5產(chǎn)+缶-了)沁+5,解得匕=L

.?.圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(廠1尸=1；

(2)由題意可知，h?=4,...可設(shè)直線/的方程為y=4x+，〃，

又18cl=4/^,...圓心A/(5,7)到直線/的距離d={52-(24^)之二417,

即,X5-7+m|炒不解得m=4或m=-30.

V42+(-l)2

二直線I的方程為y=4x+4或y=4x-30.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系

19.在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.

最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì)：

(1)線段AB的最小覆蓋圓就是以A8為直徑的圓；

(2)銳角△ABC的最小覆蓋圓就是其外接圓.

已知曲線W：^+)，4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)為曲線W上不同的四點(diǎn).

(I)求實(shí)數(shù)r的值及aABC的最小覆蓋圓的方程;

(II)求四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程；

(III)求曲線W的最小覆蓋圓的方程.

【解答】解：(/)由題意，f=-2,

由于△ABC為銳角三角形，外接圓就是△ABC的最小覆蓋圓.

設(shè)8c外接圓方程為jr+y^+Dx+Ey+F=0,

r4-2E+F=0[D=-3

則，16+4D+F=0-解得，E=0.

4+2E+F=0IF=-4

??.△ABC的最小覆蓋圓的方程為.r+/-3x-4=0；

(in?..os的最小覆蓋圓就是以08為直徑的圓，

...￡)8的最小覆蓋圓的方程為*+)，2=16.

又：|0*=|0。=2<4,.?.點(diǎn)A,C都在圓內(nèi).

.??四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程為f+9=16；

(///)由題意，曲線W為中心對(duì)稱圖形.

l24

設(shè)P(X0,￥)，RJXo+yo=16-

222>

：?|0P|=x0+y0且-2WyoW2.

+hIr,n122.24.2(21,2,65

故|0P|=x0+y0=16-y0+y0=-(y0-y)+彳，

.?.當(dāng)了。2=工時(shí)，|0PI

y02I”〔max2

...曲線W的最小覆蓋圓的方程為x2+y2=中.

【知識(shí)點(diǎn)】圓的一般方程

22

20.已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓—+匚=1的右焦點(diǎn)重合.

62

(1)求拋物線C的方程及焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

(2)若直線產(chǎn)5+1與C交于A(xi，y),B(如力)兩點(diǎn)，求巾”的值.

22

【解答】解：(1)橢圓工+二二1的右焦點(diǎn)為(2,0),

62

則E=2,得p=4.

拋物線C的方程為V=8x，

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；

'1

-x+1

(2)聯(lián)立I2，得y2-16v+16=o.

,.?△=162-4XI6>0,

二%以=16.

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

21.已知橢圓C3+2f=2廬(Z?>0).

(1)求橢圓C的離心率e；

(2)若6=1,斜率為1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=2叵，求△AOB的面積.

22

【解答】解：（1）由橢圓C：/+2產(chǎn)=2從（Q0）,得士二■二1（/?>0）.

2b2fc21

222222

a=2b,貝ijc=a-b=bf

■■■>號(hào)層坐

2外

（2）由b=1,可得橢圓方程為3—+y二].

設(shè)直線方程為y=x+m.

y=x+in

聯(lián)立<2,得3/+4松+2加2-2=0.

^-+y=l

△=16，"2-12（2m2-2）=-8m2+24>0,即-{3</77<V3-

設(shè)A（xi，y\）,B（如”），

2

mil,4m21rl-2

<Jxl+x2-~xlx2=3,?

28m2-82VTT

由忸8|&，J（X[+X2）-4x^2V2§=

33

解得:m-+-A-e[-V3>V31.

貝1]0至ijAB的距離d

加-4

1、,2歷、，近V22

：.△AOB的面積S=2X3X4-12-

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)

22.將正整數(shù)排成如圖的三角形數(shù)陣，記第n行的〃個(gè)數(shù)之和為a,,.

(1)設(shè)S〃="l+〃3+〃5+…+。2〃-1(〃WN*),計(jì)算S2，S3，$4的值,并猜想S的表達(dá)式;

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想.

1

23

456

78910

1112131415

161718192021

【解答】解：(1)=$2=〃1+的=1+4+5+6=16,

53=52+05=16+11+12+13+14+15=81，

S4=S3+S=81+22+23+?-+28=256,

猜想5“=/,

證明(2)：①當(dāng)〃=1時(shí)，猜想成立，

②假設(shè)當(dāng)〃=攵時(shí)，(髭N*)時(shí)成立，即&=二，

由題意可得③=［曲2+1］+=［跡2D+2］+…+［西也+川=〃?次二支+加也=

22222

n(n2+l)

--------------,

2

2

???〃2"i=(2k+LQ2k