2020-2021學年人教A版（2019）高一數(shù)學下學期期末考試仿真模擬試卷六（人教A版（2019））解析版

2020-2021學年高一數(shù)學下學期期末考試仿真模擬試卷六

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.為了解某高中學生的身高情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個年級中抽取一個容量為100的樣本，其中

高一年級抽取24人，高二年級抽取26人.若高三年級共有學生600人，則該校學生總人數(shù)為（）

A.900B.1200C.1500D.1800

【答案】B

【解析】由題意知，高三年級抽取了：100—26—24=50人，

高三年級抽取的人數(shù)占總抽取人數(shù)的比例數(shù)為：包=0.5

所以該校學生總人數(shù)為：上二=1200人,故選：B.

0.5

2.若復數(shù)Z滿足z（i-l）=2i（?,是虛數(shù)部位）,則下列說法正確的是（

A.z的虛部是一，B.Z是實數(shù)c.|z|=V2D.z+z=2i

【答案】C

對選項A,z的虛部是一1，故A錯誤.

對選項B,z=l-i為虛數(shù)，故B錯誤.

對選項C,同=J12+（_］）2=叵，故c正確

對選項D,z+5=l—i+l+i=2,故D錯誤.故選：C

3.在平行四邊形力及力中，點后為切的中點，龍與〃1的交點為￡設麗=G,AD^b）則向量麗=

B.—ci-----b

3333

——a+—b

33

【答案】C

【解析】如圖:

DEC

所以麗=2而=2（就+屈）=2]日_]_7]=_]_汗+25

故選：C.

33312）33

4.某5個數(shù)據(jù)的均值為10,方差為2,若去掉其中一個數(shù)據(jù)10后，剩下4個數(shù)據(jù)的均值為輸，方差為

則()

A.x=10，/<2B.%=10，s2>2

C.x>10?s2<2D.%>10，s2>2

【答案】B

【解析】設原數(shù)據(jù)的均值和方差分別為工,設10是第5個數(shù)據(jù)，

所以玉=演+電+；+%+10=10,..，入]+W+X3+X4=40.

由題得x=-——-——--=—=10.

44

22222

由題得sj=([(為_10)+(x2-10)+(x3-10)+(x4-IO)+(10-10)]=2,

所以s：=([(玉-10)2+(%-IO/+(X3—IO)?+(%-10)2]=2，

所以=][(X]—10)-+(工2—1°)~+(￡—1°)-+(犬4—1。)-]>2,故選：B.

5.已知一個圓錐的母線長為4,且其側面積是其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為()

71

n3萬62九z

AA.71B.—C.—D.—

232

【答案】A

【解析】不妨設圓錐的底面半徑為人母線長為/，高為〃，

?hjr

根據(jù)題意，則4x-x2〃?=;r/7,所以一=一,

2I4

解得力=乃.故選：A.

6.在平面直角坐標系xOy中，點將向量而繞點。按逆時針方向旋轉]后得到向量而，則點

。的坐標是（）

A.^2,ljB.（-C.（―\/3,ljD.卜1,6)

【答案】D

【解析】由P（6,l）,得「（2cos^,2si吟），

___7T----

???將向量OP繞點。按逆時針方向旋轉彳后得到向量。。，

Q（2cos任+A，2sin任+工]],

I162）[62））

￡.'n7TKA/3

sin--1■=cos—=——>

21(6262

2（-l,V3）,故選：D.

7.已知平面。與￡所成銳二面角的平面角為80°,P為明￡外一定點，過點一的一條直線與。和￡所成的

角都是30。，則這樣的直線有且僅有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【解析】如圖，過尸作a，尸的垂線PCP。，其確定的平面與棱/交于Q,若：血角為80"，A3與平面

a,月成30。角，則NCP0=1（X），AB與尸CP。成60角，因此問題轉化為過2點與直線PC,尸。所

成角為60,的直線有幾條.

?.?幽<60,亞<60,所以這樣的直線有4條.故選：D

22

8.在AABC中，角4,5,。所對的邊分別為.,反。滿足，加+。2-。2=從，ABBC>0,a=—>則h+c

2

的取值范圍是（)

_]_3

A.C.D.

252

【答案】B

+C?—CTT7,2?2i

【解析】由余弦定理有:cosA=---------------，又tr+c-a=bc

2bc

故c°sA="*be_1

2bc2^c~2

7T

又4為三角形的內(nèi)角，故A=一

3

V3.2_b

又

ar''"sinB-sinC-sin(1200-B)

V

又而灰=|麗H阮|cos(%-8)>0

故cosB<O:.B為鈍角

:.b+c=smB+sin(l200-B)=-sinB+—cosB=>/3sin(B+30")

22

???3w（9（r/2（r）,可得

B+30〃e(120°,150°)sin(B+30")e

.-./?+c=V3sin(B+30°)e，故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.2020年1月18日，國家統(tǒng)計局公布了2020年度居民人均消費支出的情況，并繪制了餅圖，已知2020年

度和2019年度居民在“其他用品及服務”中人均消費支出大約分別為462元和524元，現(xiàn)結合2019年度

居民人均消費支出情況，下列結論中正確的是（

（2020年全國居民人均消費支出及構成）（2019年全國居民人均消費支出及構成）

A.2020年度居民在“食品煙酒”項目的人均消費支出所占總額的百分率比2019年度的高

B.2019年度居民人均消費支出約為21833元

C.2019年度和2020年度居民在“生活用品及服務”項目上的人均消費支出相等

D.2020年度居民人均消費支出比2019年度居民人均消費支出有所降低

【答案】ABD

【解析】2020年度居民在“食品煙酒”項目的人均消費支出所占總額的百分率為30.2%,2019年度居民在

“食品煙酒”項目的人均消費支出所占總額的百分率為28.2%<30.2%,即A選項正確；

524

2019年度居民人均消費支出約為-----a21833元，即B選項正確；

2.4%

524

2019年度居民在“生活用品及服務”項目上的消費約為——x5.9%al288元，2020年度居民在“生活

2.4%

用品及服務”項目上的消費約為f—x5.9%=1239聲1288元，即C選項錯誤；

2.2%

462524

2020年度居民人均消費支出為——=21000元，2019年度居民人均消費支出為——=21833元，

2.2%2.4%

21000<21833,即D選項正確；

故選：ABD.

10.在比△4比中，切是斜邊46上的高，如圖，則下列等式成立的是（）

A.|AC|2=AC-ABB.|BC|2=

（ACAB）x（BABC）

C.|AB|2=AC-CDD.

【答案】ABD

【解析1由衣月=|恁，麗卜os4=|AO|gW，由射影定理可得AC2=ACAB,

即選項A正確，

由麗?反|麗||反*OSB=|B4||BM由射影定理可得BC2=BABC，

即選項B正確，

由衣.麗=|才6，而卜os（;r-NAC0）＜O,又|而（＞0,即選項C錯誤，

由圖可知Rt/^ACD三Rt/^ABC,所以|AC|怛C|=|AB||CD|,

_2（記碼x?；遥?/p>

由選項A,B可得CD-------凸-------即選項D正確，故選ABD.

AB

11.以下對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（）

A.連續(xù)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有3個基本事件，出現(xiàn)一正一反的概率為,

3

B.每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如12=5+7,在不超過15的素數(shù)中隨機選取兩個不

同的數(shù)，其和等于14的概率為、

C.將一個質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記下兩次向上的點數(shù)，則點數(shù)之和為6的概率是▲

36

D.從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出產(chǎn)品全是正品的概率是!

2

【答案】BCD

【解析】A.連續(xù)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有4個基本事件，包含兩正，兩反，先反再正，先正再反，出現(xiàn)

一正一反的概率P=—=',故A不正確；

42

B.不超過15的素數(shù)包含2,3,5,7,11,13,共6個數(shù)字，隨機選取兩個不同的數(shù)字，和等于14的包含（3,11）,

11

則概率為尸D=方=?,故B正確：

C.將一個質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，共36種情況，點數(shù)之和為6包含（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,

共5種，所以點數(shù)之和為6的概率尸=之，故C正確；

C21

D.由題意可知取出的產(chǎn)品全是正品的概率故D正確.故選：BCD

C：2

12.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-\B,CXD,中，點P是棱CR上一動點（與C.C,不重合），點后為點

C在平面ABC。上的正投影，點尸在平面ABC。上的正投影為點0,點0在直線切上的正投影為點凡

下列結論中正確的是（）

A.BCJ_平面氣產(chǎn)B.您與劭所成角為30。

1勾

C.線段逐,長度的取值范圍是5句D.存在點〃使得尸產(chǎn)//平面A4G。

【答案】ACD

【解析】如圖所示:

對于A,由題意，點￡■為G。的中點，過點〃作直線垂直/G。，則垂足為0，過0作直線垂直于切，則

垂足為E故平面PQE即平面CGA。，又BC，平面CG2。，即平面尸牝故正確.

對于B,CE//A.B,乙4,80為所求，又AA^BD為等邊三角形,故四與切所成角為60°,故錯誤.

對于c,當尸ELCG時，線段也最短為：co=!；當點。與屐G重合時，PE為旦，又點。與CC不

222

F1⑺

重合，故線段加長度的取值范圍是5，寧，故正確.

.27

對于D,若PF//平面ABC。，又平面AgGOn平面CG2D=G。，PEu平面CG2。，則

PF〃C、D,設0,PQ//CE,。在線段G。上.，簿二差=”?饋=器與

DQ_C1D-￡Q_l_xxx2

CQC,D2,乂。DCCQCC1----=—,x=一，；.點"為棱CC、

t213

上靠近C的三等分點，故正確.故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖所示,一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是瓦月,且瓦月

與水平夾角均為45°,園=|q=108N,則物體的重力大小為—

【答案】20

【解析】由題意知I@=IE+EI.用E的夾角為］

所以|存包耳+&2=|及『+2國|引cos|^+|月T

所以后『=200+0+200=400.

所以|G|=20.故答案為:20.

14.歐拉公式e'z=cose+isine（e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的.它

將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系.若表示的復數(shù)對應的點在第二象

限，則口可以為—

【答案】y

TT27r37r11TT

【解析】根據(jù)歐拉公式J°=cose+isine，把。=二?、丁、二、丁-代入，求出8°，即可得到正確答案.

根據(jù)歐拉公式可得e"=cosa+isina，

當a=￡時，e'3=cos2+isinH=L+"j，復數(shù)對應的點在第一象限;

33322

當a=g（H，e^=cos—+zsin—=--+^z，復數(shù)對應的點在第二象限;

33322

當時，e'2=cos—+zsin—=0-z,復數(shù)對應的點在y軸負半軸上；

222

當a="工時，e'V=cos—+zsin—=---/，復數(shù)對應的點在第四象限.

66622

故答案為：事27r

15.在AABC中，角口出（所對的邊分別為卜也c,若a=3,c=1,sin2A=sinC,則福.前

【答案】工

2

【解析】

:.^±^=L/=3

sin2A=sinC/.2sinAcosA=sinC2acosA=ccosA=一

62bc6

―?―?111

ABAC=》ccosA=3xlx—=—,故答案為：一

622

16.已知三棱錐P—ABC的四個頂點都在球。的表面上，~4_L平面A8C,24=6,AB=2?,AC=2,

BC=4,則球。的半徑為：若。是3C的中點，過點。作球。的截面，則截面面積的最小值是

【答案】(1).V13(2).4萬

如圖所示：由題意知底面二角形為直角三角形，所以底面外接圓的半徑r=——=2,

2

pA

過底面外接圓的圓心。'作垂直于底面的直線，則球心。在該直線上，可得OO'=」=3,

2

連接。4,設外接球的半徑為R,所以R2=，+oo,2=22+32=i3,解得R=J行.

若。是8c的中點，D,0,重合，過點。作球。的截面，

則截面面積最小時是與OO'垂直的面，即是二角形ABC的外接圓,

而三角形ABC的外接圓半徑是斜邊的一半，即2,所以截面面積為萬.22=4萬.

故答案為：V1314萬

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解

答如下問題：

568

62335689

71223456789

8

958

（D求分數(shù)在［50,60）的頻率及全班人數(shù)；

（2）求分數(shù)在［80,90）之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中［80,90）間的矩形的高.

【答案】（1）25；（2）0.016.

【解析】（1）分數(shù)在［50,60）的頻率為0.00810=0.08,由莖葉圖知：分數(shù)在［50,60）之間的頻數(shù)為2,

所以全班人數(shù)為二一=25.

0.08

（2）分數(shù)在［80,90）之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4,

4

頻率分布直方圖中［80,90）間的矩形的高為一+10=0.016..

25

18.在AABO中，|。川=6,|。q=3,且說與0月的夾角為60",~BP=2PA-

（1）求麗?福的值;

（2）若麗=38，PQ=xOA+yVB,求乂丁的值.

【答案】（1）—9；（2）x=y=—.

4

【解析】選取向量幅，麗為基底.

（1）由已知得而=礪+麗=麗+:麗=礪+:（西一而）=.礪礪,

AB=OB-OA^

.?.而.麗=（；麗+；礪）（而一可

2

=AOA+LOB+LOA.OB

442

=-12+1+2

=—9.

（2）由（1）得尸0=。。一。戶=」。印一3。4一,。方=一,畫一』。月，

24444

又PQ=xOA+y?OB，

1

.?x=y=—.

4

19.①百cos6=2-2sincost,②#）bsinC=ccos8，③（6+。）（。一4）=。2一布＞ac三個條件中任

選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.

問題：已知AA8c的三邊。，b,c所對的角分別為A，B,C,若。=4,c=y/3h，求AAbC

的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】答案見解析.

BB

【解析】選①：由Gcos6=2—2sin5cos萬得sinB+J5cosB=2，

即sin（3+?）=l,因Bw（O,4）,所以B=

選②：山正弦定理得得Gsin8sinC=sinCeosB，因為sinCwO,

所以sin8=cosB.

因為8SBHO,所以tanB=且.因為3e（0,乃），所以8=工.

36

選③：由題意得。2+〃—〃=島0,得cosB=m-=蟲竺=苴

lac2ac2

因為340,萬），所以6=g.

6

又因為孚g=5=所以sinC=J^sinB=6x」=YI.

sinb22

由C?0,〃），所以。=（或。=與.

當C=巳H寸，A=~,又因為a=4,所以力=2,c=2百.

32

則面積S='x2x28=26.

2

當c=2工時，A=工，所以A=3.又因為〃=4,所以匕=4.

36

則面積S=！x4x4x也=4百.

22

綜上所述，AABC的面積為2石或46.

20.如圖，在四棱錐P—ABC。中，AO,平面PDC，AD\\BC,PD±PB，AD=l，BC=3,8=4,

PD=2.

(I)求異面直線AP與8c所成角的余弦值；

(II)求證：平面P8C；

(III)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(I)好.(II)見解析；(III)史.

55

【解析】(I)如圖，由日知4"/比；故NZMP或其補角即為異面直線與比1所成的角.

因為初J_平面PDC,所以ADA.PD.

在RtZX/YM中，由已知，得4尸=JAC?+尸￡)2=也,

故cosZDAP=-

AP5

所以，異面直線45與比1所成角的余弦值為逝.

5

(H)證明：因為4〃_L平面PDC,直線PDU平面PDC,所以ADVPD.

又因為留”〃，所以PD上BC,

又PD1PB,BCcPB=B

所以加_L平面必C.

（III）過點〃作48的平行線交比■了點尸，連結朋

則加與平面陽C所成的角等于AB與平面小所成的角.

因為加，平面PBC,故PF為〃尸在平面夕比上的射影，

所以NDFP為直線〃尸和平面W所成的角.

由于4Y/6GDF//AB,故掰4介1,

由己知，得上BC-B產(chǎn)2.

ADVDC,椒BCLDC,

在RtA/F中，可得DF=/C?+CF?=26，

在Rl△〃件中，可得sinNDFP=￡2=@.

DF5

所以，直線兒?與平面臉所成角的正弦值為好.

5

21.某網(wǎng)上電子商城銷售甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤，甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤保修期均為3年，現(xiàn)從該商

城己售出的甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤中各隨機抽取50個，統(tǒng)計這些固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期

內(nèi)的數(shù)據(jù)如下:

型號甲乙

首次出現(xiàn)故障

0〈不，11v兀，22V不，30v不，11<片,22<工,3

的時間x（年）

硬盤數(shù)（個）212123

假設甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障相互獨立.

（1）從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，試估計首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;

（2）某人在該商城同時購買了甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各