【高考數學試卷解析】2022全國乙卷文科數學解析版

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

文科數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案

標號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框，回答非選擇

題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.集合M={2,4,6,8,10},N={X]-1<X<6},則()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.

(2,4,6,8,10}

【答案速遞】A

【思路引導】根據集合的交集運算即可解出.

【參考解析】

因為M={2,4,6,8,10},N={x\-l<x<6],所以MDN={2,4}.

故選A.

2.設(l+2i)a+b=2i,其中。力為實數，則()

A.a-l,b=-\B.a=l,b=lC.a=-\,b-1D,a--\,b--1

【答案速遞】A

【思路引導】根據復數代數形式的運算法則以及復數相等的概念即可解出.

【參考解析】

因為〃力為實數，題目條件化簡得(〃+0)+2ai=2i,所以。+人=0,2。=2,解得：

。=1,〃二-1.故選A.

1

C選項結論錯誤.

13

對于D選項，乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值一=0.8125>0.6,

16

D選項結論正確.

故選C

x+y>2

5.若x,y滿足約束條件<x+2y<4,則z=2x-y的最大值是（）

”0

A.-2B.4C.8D.12

【答案速遞】C

【思路引導1】線套1

【思路引導2】作出可行域，數形結合即可得解.

【參考解析2】

由題意作出可行域，如圖陰影部分所示,

轉化目標函數z=2x—y為y=2x-z,

上下平移直線y=2x-z,可得當直線過點（4,0）時，直線截距最小，z最大,

所以Zmax=2X4-0=8-

故選C.

3

6.設廠為拋物線C：V=4x的焦點，點A在C上，點8（3,0）,若同月=忸月，則

A.2B.2V2C.3D.3V2

【答案速遞】B

【思路引導】本題考查拋物線的定義、方程和性質，屬基礎題.

【參考解析】

易知拋物線C:Y2=4X的焦點為F（l,0），于是有月=忸臼=2

注意到拋物線通徑2〃=4（重點，挖掘隱含條件），

通徑為拋物線最短的焦點弦，分析知AR必為半焦點弦，于是有AE_Lx軸,

于是有|Aq=122+2?=2后.（等腰直角三角形）

7.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的〃=

4

A.3B.4C.5D.6

【答案速遞】B

【思路引導】本題考查程序框圖，屬于基礎題.

【參考解析】

方2o211

第一次循環(huán)：b=l+lx2=3,。=3—1=2,〃=1+1=2,——2=—r--2=—>-----

a2224100

b27211

第二次循環(huán)：匕=3+2x2=7,a=7-2=5,〃=2+1=3,^-2=—-2=—>—

a25225100

第三次循環(huán)：Z?=7+2x5=17，。=17-5=12〃=3+1=4

b217?111

/-2=諼-2卜樂〈而故輸出n=4.

8.如圖是下列四個函數中的某個函數在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數是()

一丁+2>x—X2xcosx2sinx

A.)=B.y=c.y=D.y=

x2+1x2+1x2+1x2+1

【答案速遞】A

【思路引導】由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可得解.

【參考解析1】

設〃%)=￡三，則"1)=0,故排除B;

2xcosx當卜寸,

設/z(x)=0<cosx<l,

x2+1

所以〃(力=岑?<-^41,故排除C;

X+1X+1

5

設g（x）=2誓，則g（3）=Z警>0,故排除D.

x_+l10

故選A.

【參考解析2】

【解析】由圖像可知函數是奇函數，艮2=1，y>0,排除B.由z=3,y<0,排除D.由工

=—3,9>2,排除C.故選4

9.在正方體ABC。-%與中，及廠分別為AB,BC的中點，則（）

A.平面與￡下J_平面BOQB.平面片印J_平面AR。

C.平面gEF〃平面4ACD.平面/〃平面AG。

【答案速遞】A

【思路引導1】本題考查了面面垂直的判斷，面面垂直的性質，屬于中檔題.

【參考解析1】

對于A選項：在正方體A6C。—44GA中，因為E77分別為A3，的中點,

易知￡F_L3。，EF±BB.,所以平面耳即，平面8。。

所以A選項正確；

對于B選項：因為平面ABOn平面瓦比>。=80,

由上述過程易知平面始EF1.平面A8。不成立；

對于C選項：直線A4與直線片后必相交，

故平面B.EF與平面AtAC有公共點，從而C的錯誤；

6

對于D選項：連接AC,AB,,BC，易知平面AB?！ㄆ矫鍭G。，

又因為平面AaC與平面與所有公共點用，

故平面AB。與平面片不平行，所以D選項錯誤.

【思路引導2】證明所，平面8。。，即可判斷A；如圖，以點。為原點，建立空間直角

坐標系，設A3=2,分別求出平面片Eb,ABD,AG。的法向量，根據法向量的位置

關系，即可判斷BCD.

【參考解析2】

在正方體中，

AC，3。且DD.±平面ABCD,

又所u平面ABCO,所以

因為E,尸分別為A8,8C的中點，

所以￡尸||AC,所以EFLBD，

又Bon。，=。，

所以EF_L平面6。，，

又EFu平面片￡口，

所以平面瓦EF工平面BDD,,故A正確；

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標系，設A6=2，

7

則4（222）,E（2,1,0）,尸。2,0）,6（220）,A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

C,（O,2,2）,

貝歷=（-1,1,0）,函=（0,1,2）,麗=（2,2,0）,西=（2,0,2）,

麗=（0,0,2）,前=（_2,2,0）,隔=（-2,2,0）,

設平面B[EF的法向量為m-（X,x,Z]）,

..in-EF=-x,+y,=0-,八

則有《一11可取〃z=（2,2,-1）,

/?后笈=y+24=0''

同理可得平面AB。的法向量為）=（1,-1,一1），

平面AAC的法向量為Z=（1,1,0）,

平面ACQ的法向量為a=（1,1,一1）,

則“4=2—2+1=1。0,

所以平面BgF與平面48。不垂直，故B錯誤；

因為而與萬2不平行，

所以平面用EF與平面4AC不平行，故C錯誤；

因為質與由不平行，

所以平面用EF與平面ACQ不平行，故D錯誤，

8

故選A.

10.已知等比數列｛%｝的前3項和為168,。2一%=42,則4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案速遞】D

【考點考法】本題主要考查等比數列前〃項和中的基本量計算，屬于基礎題.

【參考解析1】

4(l+q+/)=1684(1+〃+/)=168

4+2+3

由題意＜。

a2~a5=424m-0=42%qQ一夕X1+4+/)=42

解得g=g,4=96,所以4=3.

【參考解析2］(思路卡住時的方法或者檢驗計算正確與否的方法)

4+%+為=168

由題意＜

a2-a5-42

配合BCD選項易猜出q=5,代入上面的式子驗證后滿足,

所以＜7=5，4=96,所以4=3.

11.函數/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值分別為()

71713兀兀兀兀-3兀71-

A.一一B.---，—C.一一+2D.----+2

22222222

【答案速遞】D

TTTT

【參考解析1】觀察選項有一+2,故利用結構立刻想到x=—,

此時/】=!+2＞￡,故利用選項知最大值為弓+2,排除AB；

22

3T

同理，選項有-才，故此時對于的力--，故排除C,選D.

2

【思路引導2】利用導數求得了(x)的單調區(qū)間，從而判斷出/(x)在區(qū)間［(),2K］上的最小

9

值和最大值.

【參考解析2】

sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

（叫和仔S'］上廣（X）＞（），即“X）單調遞增;

所以/（x）在區(qū)間

fjr3兀

在區(qū)間5，5上/'（x）＜0,即/（X）單調遞減,

7

7TA，包+1+1=一3兀

又〃())=/(2兀)=2,f2}T

所以/（x）在區(qū)間［0,2可上的最小值為-弓，最大值為^+2.

故選D

12.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球面上，則當該

四棱錐的體積最大時,其高為（)

11cBV2

A.-B.一D.

32,3V

【答案速遞】C

【思路引導1】本題考查圓錐體積，最值計算.

【參考解析1］

根據經驗易知當底面為正方形時，取得最值（其實不太嚴謹，但是考慮到是選擇題，所

以這種相當于根據經驗來蒙題）

10

/y

假設底面是邊長為。的正方形，底面所在圓面的半徑為，則r二

2

所以該四棱錐的高=—所以體積丫=；力/1—設。2=《()</<2),

1IR,3q產

則,令v(f)=產—萬，則v，(7)=2f—y,

根據經驗(大題就要補全細節(jié)」'哦)，選填題基本可以直接令V'(f)=Onr=§,

所以〃==故選c.

【思路引導2】先證明當四棱錐頂點0到底面ABC。所在小圓距離一定時一，底面4BCZ)

面積最大值為2rj進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值,

從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.

【參考解析2】

設該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所在小圓半徑為r,

設四邊形4BCO對角線夾角為a,

ABLD222

(當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立)

即當四棱錐的頂點。到底面ABC。所在小圓距離一定時，底面A8C。面積最大值為2r2

又產+=1

則bsT?2尸〃=(介?尸2%((八］+2嚀=挈

當且僅當產=2h2即〃邛時等號成立，

故選C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.記S.為等差數列｛a,,｝的前〃項和.若2s3=3SZ+6,則公差d=

【答案速遞】2

11

【思路引導】轉化條件為2（q+2Z）=%+d+6,即可得解.

【參考解析1】

由2s3=3$2+6可得2(q+&+4)=3(。1+&)+6,化簡得2a3=q+4+6,

即2(q+24)=2q+d+6,解得4=2.

故答案為：2.

3x2xd)=3x(26H———xd)+6d—2.

【參考解析2】依題有2x36+

14.從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為

3

【答案速遞】4

10

【思路引導】本題考查了古典概型及其計算，屬于基礎題.

［參考解析1】文科還是適合枚舉法

（甲,乙,A）,（甲,乙，8）,（甲，乙，C）,（甲,A,6）,（甲，4,C），（甲,B,C）,

(乙，A,B),(乙，A,C),(乙，B,C),(A,B,C),

3

共10種，其中3種滿足，所以尸=二.

10

a

【參考解析2】設“甲、乙都入選”為事件A，則蛇）=m=而

1u

15.過四點（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點的一個圓的方程為

【答案速遞】

(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-l)2=5

或2丫(7?竺或g169

+y—

I3；V3；9I5；^25

【思路引導1】本題主要考查求圓的標準方程，屬于基礎題.

圓過其中三點共有四種情況，解題關鍵是三點中的兩條中垂線的交點為圓心，圓心到任一點

的距離為半徑，每種情況逐一求解即可.

12

【參考解析1】

設點A（0,0）,B（4,0）,C（-l,l）,0（4,2）.

（1）若圓過A,8,C,由AB中垂線易知圓心在直線x=2上，故可設圓心坐標為“（2,。,

則由=|C”「=’得4+/=9+?—I）2=/=f=3,/=13,

所以圓的方程為（X-2）2+（＞—3）2=13.；

（2）若圓過A,區(qū)。三點，同（1）的解法（自行補充過程哦），

易得圓的方程為（x-2）2+（＞-1）2=5；

（3）若圓過氏C,。三點，同（1）的解法（自行補充過程哦），

易得圓的方程為+（y—iy=果；

（4）若圓過A,C,。三點，則線段AC的中垂線方程為y=x+l,

線段AO的中垂線方程為y=—2x+5,

f-i

y-x+1（47、

聯(lián)立r=＞"Rv故圓心為三,：

y=-2x+5_Z（33；

V■7升?吟

、1y3

所以圓的方程為（x-g）+（）'一1）=y-

【思路引導2】設圓的方程為/+丫？+以+4+尸=c）,根據所選點的坐標，得到方程組,

解得即可；

【參考解析2】

依題意設圓的方程為V+y2+6+互y+F=o,

F=0‘尸=0

若過（o,o）,（4,0）,（-U）,則（16+4。+尸

=0,解得，D=-4,

+尸=0,=—6

1+1-D+E

所以圓的方程為V+y2—4x-6y=0,即（x-2)2+(y-3)2=13；

13

F=0F=Q

若過（0,0）,（4,0）,（4,2）,則J6+4D+F=0,解得。=一4,

16+4+4O+2E+/=0E=-2

所以圓的方程為1+一4x-2y=0,即（x—2）〉+（y—=5；

rF=0

F=0

Q

若過（0,0），（4,2）,（-1,1）,則J1+1-O+E+/=0,解得《。=一§,

16+4+4￡>+2E+F=0..

E-

3

所以圓的方程為—xy=0,即x—3）+fy——-V=—?；

33I3；L3）9

■16

r---------

l+l-Z）+E+F=05

八16

若過（Tl）,（4,0）,（4,2）,貝上16+4。+b=0解得，D=——

5

16+4+4￡>+2E+F=0

E=-2

所以圓的方程為d+y2—￡x—2y—￡=0,即（x—1）+（＞—1）2=罵

16.若/（x）=lna+^-----H匕是奇函數，則。=b=

【答案速遞】①.—；②.In2.

2

【思路引導】根據奇函數的定義即可求出.

【參考解析1】

"（0）=0pn|a+l|+8=0

由奇函數性質知，?,,1,

/（2）+/（-2）=0ln|a-l|+0+lnQ+§+0=n0

nln|q-l|+lna+§-21n|tz+l|=0=>

（4+1）2

14

解得a=—工，所以力=ln2.

2

【參考解析2】

因為函數/(x)=lna+--+人為奇函數，所以其定義域關于原點對稱.

1-X

由a+」一wO可得，(l-x)(a+l-ar)^O,所以》=空1=-1,解得：a=--,即函

1-xa2

數的定義域為(f,—1)U(—再由/(o)=o可得，b=ln2.即

/(jc)=ln-1+-^+ln2=ln^,在定義域內滿足〃一x)=—/(力，符合題意.

乙1X1X

故答案為：一1；ln2.

2

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

17.記AABC的內角4,B,C的對邊分別為小b,c,已知

sinCsin(A-3)=sinBsin(C—A).

(1)若A=2B，求C；

(2)證明：2a2=b2+c2

【答案速遞】(1)m5jr；(2)證明見解析.

o

【思路引導】

(1)根據題意可得，sinC=sin(C-A),再結合三角形內角和定理即可解出；

(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得

sinC(sinAcosB-cosAsin=sin5(sinCcosA-cosCsinA),再根據正弦定理，余

弦定理化簡即可證出.

【參考解析】

(1)由A=2B，sinCsin(A_8)=sinBsin(C-A)可得，

sinCsin8=sinBsin(C-A),

而0<JB<],所以sinBe(0,l),即有sinC=sin(C-A)>0,

15

而0<C<7t,0<C—A<71,顯然CWC—A,

所以C+C-A=TI,而A=23,4+8+。=兀，

5兀

所以C=——.

8

(2)證明1：因為sinCsin(A-B)=sin￡?sin(C—A),

所以sinCsinAcos3—sinCsin3cosA=sinBsinCcosA—sin3sinAcosC,

再由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC

所以根據余弦定理可知ac-"+°-”-2bc-"+cy=-ab-一。，

lac2bclab

cr+C1-b2/22\a2+b2-c2

0即II------------\b2-a-)=-----------，

所以2a2=/+/；

證明2：

因為sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以sin(A+8)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),

所以

(sinAcos8+cosAsinAcosB-cosAsinB)=(sinCcosA+cosCsinZlXsinCcosA-cosCsinA)

即sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2Ceos2A-cos2Csin2A,

即sir?A(l-sin2B)-(l-sin2A)sin2B=sin2C(l-sin2A)-(l-sin2C)sin2A,

即sin2A—sin25=sin?C—sin2A,

故Zsin?A=sin2C+sin2B,

由正弦定理得2a2=〃+,2.

(延伸公式：三角平方差公式：sin(A+B)sin(/l-B)=sin2A-sin2B,真題追溯到2009

海南、寧夏理5文5)

18.如圖，四面體ABC。中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點.

16

(1)證明：平面平面AC￡>；

(2)設A8=8D=2,NACB=60。，點尸在80上，當△AFC的面積最小時，求三棱錐

廠一ABC的體積.

【答案速遞】(1)證明詳見解析；(2)正

4

【思路引導】

(1)通過證明AC_L平面BED來證得平面BED，平面ACD.

(2)首先判斷出三角形AFC的面積最小時/點的位置，然后求得/到平面ABC的距離,

從而求得三棱錐尸-ABC的體積.

【參考解析】

(1)因為4)=8,￡為4。的中點，所以AC_LDE：

在△ABZ)和△CBO中，因為AD=CD,NADB=NCDB,DB=DB,

所以△A3。絲△CBD,所以A3=CB,又因為E為AC的中點，所以AC_L5E；

又因為。E,BEu平面BE。，DECBE=E，所以ACL平面BE。，

因為ACu平面AC。，所以平面平面ACO.

(2)依題意AB=8D=BC=2,ZACB=60°,三角形A8C是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=G,

由于AO=C￡>,AO_LC。，所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以。6=1.

DE1+BE1=BD1-所以￡>E_LB￡：，

由于ACcBE=E,AC,BEu平面ABC,所以?！阓L平面ABC.

由于△AZMMZ^CDB,所以NF84=NE8C,

17

BF=BF

由于,NFBA=ZFBC,所以ARBA.FBC,

AB=CB

所以A/=CF,所以EVLAC,

由于久.C=；.AC-EF，所以當所最短時，三角形ARC的面積最小值.

過E作石尸_LBD,垂足為F,

在中，-BEDE^-BDEF,解得后尸=走，

222

所以0尸=卜_（且］=L,BF=2-DF=3,所以黑=:

〃?J22BD4

過產作垂足為H,則FH//DE,所以EH_L平面A8C,

dFHBF33

且---=----=一，所以Ef/=3,

DEBD44

19.某地經過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材

積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：??）和材積量（單

3

位：m）,得到如下數據：

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

18

材積量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

并計算得=0.038,?：=16158，W>J=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數（精確到0.01）；

（3）現測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積

總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數據給出該林

區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

￡（尤一力（乂一刃

附：相關系數，=“，JL896*1.377.

店（不一亍茂⑶一刃2

Vi=]i=l

【考點考法】本題考查了用樣本估計總體，樣本的相關系數，屬于中檔題.

【答案速遞】（1）0.06m2；0.39m3；（2）0.97；（3）1209m3

【思路引導】

（1）計算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種

樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）代入題給相關系數公式去計算即可求得樣本的相關系數值；

（3）依據樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的

總材積量的估計值.

【參考解析】

（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值亍="=0。6

10

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值尸=m3Q=0.39

據此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39m3

19

ioio

￡(王一可(乂一9)?/-10回

i=l_i=l

(2)

目—吟J邑2一間區(qū)寸一附

________0.2474-10x0.06x0.39________0.01340.0134

?0.97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)Vo.00018960.01377

則30.97

3

(3)設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為ym,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,

可得039，解之得丫=1209m.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3

20.已知函數/(x)=ox-L—(a+l)lnx.

x

(1)當。=0時，求/*)的最大值；

(2)若/")恰有一個零點，求。的取值范圍.

【答案速遞】(1)-1:(2)(0,+oo)

【思路引導】

(1)由導數確定函數的單調性，即可得解；

(2)求導得了'(X)」"‘一￥"T),按照aWO、0<。<1及結合導數討論函數的單

調性，求得函數的極值，即可得解.

【參考解析】

(1)當a=0時，/(%)=---Inx,x>0,則/'(1)=4一,=^^,

XxX

當尤e(O,l)時，/'(x)〉0,〃x)單調遞增；

當xe(l,+8)時，/,(x)<0,“X)單調遞減；

所以/(X)E=/(1)=-1；

(2)

20

解法1：/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,則/'(x)=a+1一^^?=^~~—>

xx~xx

當“40時，ox-l<0,所以當xe(0,l)時，/'(x)>0,/(x)單調遞增；

當xe(l,+。。)時，/'(x)<0,“X)單調遞減；

所以/(%)，皿=/(1)=。-1<0,此時函數無零點，不合題意；

當0<"1時，->1,在(0,1),仕,+81上，/'(x)>0,“x)單調遞增；

a\a)

在卜。)上，/'(x)<0,/(x)單調遞減；

X/(l)=?-l<0,當x趨近正無窮大時，/(x)趨近于正無窮大，

所以“X)僅在+8)有唯一零點，符合題意；

當a=l時，/'3=(可20,所以/(%)單調遞增，又/(1)=。-1=0,

所以“X)有唯一零點，符合題意；

當4>1時，在(o,：),(l,+8)上，/'(x)>0,.“X)單調遞增；

在(/』)匕/'(x)<0,“X)單調遞減；此時/<1)=。一1>0,

又優(yōu)+〃(a+l)lna,當〃趨近正無窮大時，趨近負無窮，

所以/(x)在［(),()有一個零點，在(5,+8)無零點，

所以/(x)有唯一零點，符合題意；

綜上，a的取值范圍為(0,+8).

解法2：

21

(2)/3)=ax——(a+l)lnx(x>0)

1Q+1QX2—(Q+1)X+1_(G,X—1)(6一1)

f'(i)=a+

x2xx2x2

當a&0時，由/'?>0得0VcVl；|l"'3）VO得6>1

所以/（⑼在（0,1）單調遞增，在（1,+oo）單調遞減

所以/3）max=AD=a-K-iVO,f3）無零點，舍去；

當0VaV1時，由/3）>0得0VIEV1或rr>];

由#3）vo得1

所以,㈤在（0,1）,（《，+8）單調遞增;在（1,'）單調遞減

又f（l）=a-lV0,取0Va〈L,

2

則/(令)=~---—a—1+2(a+l)lna>e2-12-3>0

e3

所以Hi)存在唯一零點；

當Q=1時，f'（c）>0恒成立，所以/Q）在（0,+8）單調遞增

又f（i）=a—1=0,所以/3）存在唯一零點;

當Q>1時，由f'（①）>0得0<￡<2或1>1；

Q

由f'（x）V0得看VrcVl

所以人2）在（0,?。↙+8）電調遞增；在（；，1）單調遞減

又/⑴=a-1>0

取a>2又/（專）=言-0。+02+。v￡-ea+a2+av看-e2+6V0

所以汽⑼存在唯一零點.

綜上可知，若/（乃恰有一個零點，則實數a的取值范圍是（0,+8）.

【點睛點評】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數研究函數的極值與單調性，把函數零

點問題轉化為函數的單調性與極值的問題.

21.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（O,—2）,8（|,—1）兩點.

（1）求E的方程；

（2）設過點P。,—2）的直線交E于M,N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段A8交于

22

點7，點H滿足MT=TH.證明：直線A/N過定點.

【考點考法】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，屬于較難題.

（1）根據點在橢圓上，坐標滿足橢圓方程，求出橢圓的標準方程；

（2）分類討論過點尸的直線斜率是否存在，再根據題干依次表示出T,N坐標，表示出直

線"N方程，判斷直線過定點即可.

92

【答案速遞】（1）-^+―=1；（2）（0,-2）

43

【思路引導】

（1）將給定點代入設出的方程求解即可；

（2）設出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.

【參考解析】

（1）設橢圓E的方程為如2+〃y2=],過A（0,-2）,唱1）,

9，解得，w=Ln,

y，川干1寸ni—,fl———

-m-vn=134

4

所以橢圓E的方程為：匕+土=1.

43

3?

(2)4(0,-2),5(-,-1),所以AB:y+2=§x,

①若過點尸。,-2）的直線斜率不存在，直線％=1.代入土+二=1,

34

T（逐+3,*化），由而=而得到H（2娓+5,少~）.求得HN方程:

②若過點尸（L-2）的直線斜率存在，設履一y-（左+2）=0,”（內,y）,N（w，%）.

23

kx-y-(k+2)=0

聯(lián)立《x2y2，得(3/?+4)^2-6后(2+女)x+32(/:+4)=0,

—+—=1

I34

6人（2+%）—8(2+6

可得＜

32（4+攵）4(4+4%-2公)'

中2二年屋

3左2+4

-24k,*、

且％%+%3另KI4J)

y=*3

聯(lián)立《27可得T(T+3，x),H(3x+6—x，y).

y=-x-22

可求得此時HN:y-y2=-~——（x-x2）,

3yl+6-xl-x2

將（0,-2）,代入整理得2（拓+々）-6（乂+%）+/先+/乂-3yly2-12=0,

將（*）代入,得24人+12k?+96+48%-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線HN過定點（0,-2）.

【點睛點評】求定點、定值問題常見的方法有兩種：

①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；

②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆

在答題卡上將所選題目對應的題號方框涂黑.按所涂題號進行評分，不涂、多

涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.

22.［選修4-4：坐標系與參數方程］（10分）

在直角坐標系X0V中，曲線C的參數方程為［"=6cos2/'。為參數）.以坐標原點為極

y-2sinf

點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為psin［e+1］+機=0.