三角形中位線定理的運(yùn)用例談版-含解析點(diǎn)評(píng)和練習(xí)設(shè)計(jì)

2017-2018下學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 二：三角形中位線定理的運(yùn)用例談趙化中學(xué) 鄭宗平三角形的中位線定理在平面幾何中比較特殊，它既反映三角形的中位線與三角形邊的位置關(guān)系，又有與三角形邊的數(shù)量關(guān)系的規(guī)律性結(jié)論；在一些所謂的幾何難題中常見它的身影，而三角形的中位線往往能起牽線搭橋甚至是關(guān)鍵性的作用；下面我精選一部分 “含”三角形的中位線的幾何解答題，讓我們共同來探究、解析、訓(xùn)練知識(shí)要點(diǎn)：三角形的中位線平行于三角形第三邊，并且等于第三邊的一半順次連結(jié)四邊形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形，我們把它簡稱為 中點(diǎn)四邊形.中點(diǎn)四邊形是有規(guī)律可循的.中點(diǎn)四邊形的特殊性主要是看C圖（1）原四邊形的對(duì)角線的特征，分為下面幾種情況:C⑴.原四邊形的對(duì)角線既不相等也不垂直，其中點(diǎn)四邊形是個(gè)一般的 平行四邊形.如圖⑴，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的四邊的中點(diǎn)，試探究中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.略析：由點(diǎn)E、F、GH分別是ABCD的四邊的中點(diǎn)易知：EHPBD,GFPBDEHPGF1.三角形三條中位線圍成的三角形與原三角形在某些數(shù)量上的關(guān)系⑴.周長關(guān)系同理：HGPEF;故中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形.（還有其它方法證明）如圖點(diǎn)D、E、F分別是"ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，"ABC的周長的關(guān)系？分析：點(diǎn)D、E、F分別是"ABC的三邊BC、CA、1 1AB,DFAC,2 21EF丄BC,DE2請(qǐng)?zhí)骄?DEF的周長⑵.原四邊形的對(duì)角線相等但不垂直，其中點(diǎn)四邊形是個(gè) 菱形.如圖⑵，點(diǎn)E、F、GH分別是四邊形ABCD的四邊的中點(diǎn)，且ACBD,試探究中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.略析：由點(diǎn)E、F、G、H分別是ABCD的四邊的中點(diǎn)易知：易證點(diǎn)四邊形 EFGH的形狀是平行1 1四邊形，由EH-BD,EF-ACEHEF;故中點(diǎn)四邊形EFGH是個(gè)菱形.2 2二EFDEDF（BCACAB）2所以三角形的三條中位線圍成的三角形的周長是原三角形的周長的一半追蹤練習(xí)：以上面的圖為例，若"DEF的周長為23cm，則"ABC的周長為⑵.面積關(guān)系如圖點(diǎn)D、E、F分別是"ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄?DEF的面積與"AB（的面積關(guān)系？略析：根據(jù)三角形中位線定理可以得出AEB1EFPBC,DFPAC,DEPAB;EFBC,DF2定義、平行線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等可以進(jìn)一步推出|aC,DE丄AB,再利用線段中點(diǎn)的Vdef、Vafe、Vfbd、Vdec是全等的，故它們的面積是相等的，貝yS"ABC=4S"DEF.所以三角形的三條中位線圍成的三角形的面積是原三角形的面積的4說明：今后我們學(xué)習(xí)了相似三角形的性質(zhì)后，這個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)就簡單多了追蹤練習(xí)：以上面的圖為例，若"AB（的面積為42cm2，則"DEF的面積為—.⑶.原四邊形對(duì)的角線垂直但不相等，其中點(diǎn)四邊形是個(gè) 矩形.如圖⑶，點(diǎn)E、F、GH分別是四邊形ABCD的四邊的中點(diǎn)，且ACBD試探究中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.略析：由點(diǎn)E、F、G、H分別是ABCD的四邊的中點(diǎn)易知：易證點(diǎn)四邊形 EFGH的形狀是平行四邊形，由EHPBD,EFPAC可以進(jìn)一步推得HEF90°,故中點(diǎn)四邊形EFGH是個(gè)矩形.⑷.原四邊形對(duì)的角線既垂直又相等，其中點(diǎn)四邊形是個(gè) 正方形.如圖⑷，點(diǎn)E、F、GH分別是四邊形ABCD的四邊的中點(diǎn)，且ACBD,ACBD，試探究中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.略析：由⑵和⑶的方法推理易得點(diǎn)四邊形 EFGH既是菱形又是矩形，故中點(diǎn)四邊形EFGH是個(gè)正方形. （還有其它方法證明）追蹤練習(xí)：順次連結(jié)平行四邊形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的中點(diǎn)四邊形的形狀是 ;順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的中點(diǎn)四邊形的形狀是 ;順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的中點(diǎn)四邊形的形狀是 ;順次連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的中點(diǎn)四邊形的形狀是 ;順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直等腰梯形的四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的中點(diǎn)四邊形的形狀是 .中點(diǎn)四邊形.連結(jié)AF延長交BC的延長線CGAD在VABG中，由HEPGF,HEGF.⑵..連結(jié)AF延長交BC的延長線CGAD在VABG中，由HEPGF,HEGF.⑵.再取中點(diǎn)，連成中位線例1.如圖，D為"ABC的邊AB的中點(diǎn),B826.CE-AC,OE2,求OE3，點(diǎn)O為ACDBD的三角形的中位線與梯形⑴.連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段（梯形的中位線）與兩底的關(guān)系如圖，梯形ABCD中，ADPBC,E、F分別是兩腰ABDC的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縀F與AD、BC的關(guān)系?分析：本題關(guān)鍵是把梯形的中位線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線來解決于G點(diǎn)?根據(jù)題中條件易證VADF也VGCF,得：AFGF,1AEBE,AFGF可以推出EFPBG,EFBG.2可以進(jìn)一步得出： EFPBC,EFPAD,EF-ADBC2結(jié)論：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一⑵.連結(jié)梯形兩對(duì)角線中點(diǎn)的線段與兩底的關(guān)系如圖，梯形ABCD中，ADPBC,BCAD,E、F分別是兩對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縏OC\o"1-5"\h\zEF與AD、BC的關(guān)系. A D分析： 廣、O”\本題關(guān)鍵是把梯形的中位線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線來解決 .連結(jié)ie「 、DF延長交B（于M點(diǎn).根據(jù)題中條件易證Vadf也VCMF得::/ “DFMF,CMAD.在VDbM中，由DEBE,DFMF可以B MC推出EFPBM,EFBM.可以進(jìn)一步得出： EFPBC,EFPAD,EF BCAD.22結(jié)論：連結(jié)梯形兩對(duì)角線中點(diǎn)的線段平行于兩底，并且等于兩底差的一半點(diǎn)評(píng)：本例通過連接、延長使"ECF也"ADE可以看作是是把"ADE進(jìn)行切割填補(bǔ)到"ECF處，相當(dāng)于通過“割補(bǔ)”辦法構(gòu)成三角形，從而使問題 解決！追蹤練習(xí)：若一梯形的高為h，其中位線長為m，則此梯形的面積為以上面的⑵題為例的條件的基礎(chǔ)上，若增添梯形 ABCD的中位線長為14cmEF8cm，求梯形ABCD的兩底AD、BC的長分別是多少？巧添三角形的中位線來破題添三角形中位線是幾何圖形輔助線比較常見的輔助線 .已知三角形邊上的中點(diǎn)，直接連結(jié)構(gòu)成中位線是最常見的添中位線的方式，也是同學(xué)們?nèi)菀紫氲降模簧厦娴?3點(diǎn)可以可以看作是害際卜構(gòu)成中位線這里不舉例；下面這些例子添三角形中位線的途徑有些有一定的技巧性，希望能給同學(xué)們從中得到一些啟發(fā).⑴.補(bǔ)全三角形，得到三角形的中位線 .例.如圖E、F、G、H分別是AB、BD、CD、CA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.分析：本題求證的是四邊形EFGH是平行四邊形，需要有平行或相等的條件；由本題中點(diǎn)條件自然聯(lián)想到由三角形的中位線來提供這樣的條件，但有中點(diǎn)卻沒有現(xiàn)成的三角形的中位線；細(xì)心同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)之所在的線段并非是某完整三角形的邊，如果我們連結(jié)AD或BC問題便解決了.如圖，當(dāng)連結(jié)BC后，在VAbC和VdBC，由于E、F、G、H分別是ABBD、CD、CA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得：1 1HEPBC,GFPBC;HE-BC,GF-BC.2 2故四邊形EFGH是平行四邊形.分析：在三角形的一邊上有一中點(diǎn)，根據(jù)條件很容易再取一中點(diǎn)來連結(jié)而成三角形的中位線來解決問題.在VaBE中，又由于D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得：BE2DF,DFPBE;因?yàn)橐训贸鯡為線段CF的中點(diǎn)，根據(jù)平行線等分線段（屬于選學(xué)內(nèi)容）可以得出 O為線段CD的中點(diǎn)，即OE為VCDF的中位線，所以DF2OE,BE2DF4OE8；所以O(shè)BBEOE例2.四邊形ABCD中，對(duì)角線ACBD,E、F分別為AB、DC的中點(diǎn)交點(diǎn)，M、N為EF分別與DB、AC的交點(diǎn)，求證：OMON分析：本題的E、F分別為ABDC的中點(diǎn)，但并非為某三角形和梯形（四邊形ABCD沒有告訴是梯形）的中位線，本題的 E、F分別為AB、DC的中點(diǎn)，若化在VABC和VABC來看，它們有一公共邊，若在公共邊BC取一中點(diǎn)G,連結(jié)GE、GF（見圖示），此時(shí)GE、GF就分別是Vabc和Vabc的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可得：且GE AC,GF BD:又ACBDGEGFGFEGEF;?/GEPAC,GFPBD22ONEGEF,OMF GFE;ONEOMFOMON.例3.M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，且ABCD;求證:12.分析：本題要證明的是兩個(gè)角相等，而兩個(gè)角相等的直接條件沒有，再加上在圖形上兩個(gè)角的位置上有比較分散，所以我們應(yīng)思考把分散位置上的 1、2轉(zhuǎn)化在一起，很容易聯(lián)想到由平行線來幫忙.由本題有線段中點(diǎn)的條件，所以可以嘗試 再取一中點(diǎn)連成三角形的中位線來提供平行線略證：如圖，連結(jié)AC,取出線段AC的中點(diǎn)E.A又GENE//21HNECMNA往往有可能是BCM（包括特殊AMEEECD是平行四邊形AECBCADFCBEE為BCAD平分BACACMCD交AB追蹤練習(xí)CE□垂足分別為F為AN的中例3例2⑶.挖出隱含的中點(diǎn)構(gòu)成中位線的中點(diǎn)，求證DE//ABF、G"ABC中GF//BCBD、CE分別平分CDADAFBD,AGCE5?三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用舉例例A又GENE//21HNECMNA往往有可能是BCM（包括特殊AMEEECD是平行四邊形AECBCADFCBEE為BCAD平分BACACMCD交AB追蹤練習(xí)CE□垂足分別為F為AN的中例3例2⑶.挖出隱含的中點(diǎn)構(gòu)成中位線的中點(diǎn)，求證DE//ABF、G"ABC中GF//BCBD、CE分別平分CDADAFBD,AGCE5?三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用舉例例?A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，現(xiàn)在要測(cè)出略解：在池塘外的空地上取一點(diǎn)CACB的中點(diǎn)分別為M根據(jù)是三角形的中位線定理怎樣測(cè)量一座建筑底面是四邊形地基（如右圖房子）的 對(duì)角線的長?若不進(jìn)入屋內(nèi)直接測(cè)量有多少種測(cè)量方法？請(qǐng)畫出線條示意圖進(jìn)行說明到同一個(gè)三角.另外例2和共同的1、 2“搬ABNEEMN//ABC、ACBO,FM//BE追蹤練習(xí)1.如圖，1.EM//求證：四邊形分析：本題和例1問題得以解決?如圖若我們延長VAFDSBC的中點(diǎn)”” /'FBD—帶點(diǎn)F,根據(jù)題中條件容易證得VaDC,所以DFDC,即D為CF的中點(diǎn)；又E為，根據(jù)三角形的中位線定理可以得出DEPFB,即DEAD、BE、CF分別是"ABCC三邊中線交于點(diǎn)BA.ADCM3.如圖正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,BAC的平分線交BD于點(diǎn)F求證：OF-CE2求證分析本題和例1、例2的思路是一樣的，關(guān)鍵是挖出隱含的中點(diǎn)，從而來使問題得以解決?如圖若我們分別延長AG、AF交BC于點(diǎn)M、N,根據(jù)題中條件容易證得VAGC也VMGC,所以AGMG,即G為AM的中點(diǎn)；同中位理可以得到點(diǎn)，根據(jù)三角形的線定理可以得出 DGPMN,即DGPBC.點(diǎn)評(píng)：隱含在圖形中的中點(diǎn)往往是我們平時(shí)容易忽視的，但挖出這些一道題破題的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)；我們同學(xué)有的雖然有這方面的知識(shí)積累這也難以找到破題的的途徑?根據(jù)上面三道例題來看的平行四邊形）的對(duì)角線互相平分、角的平分線與垂線相結(jié)合的圖形交點(diǎn)、等腰三角形的三線合一、平行線等分線段、中垂線等等知識(shí)點(diǎn)的思路是一樣的，關(guān)鍵是挖出隱含的中點(diǎn)，從而來使“隱藏的中點(diǎn)但卻沒有這方面的意識(shí)隱藏的中點(diǎn)要注意平行四邊形2.如圖，VaBC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，中線BE與線段AD交于的F,且1DF-AD，求BD:DC的值？3 .例1.如圖，MEPAB,MEAB,D為線段EC的中點(diǎn)，A、M、D三點(diǎn)共線求證：四邊形ABCD是梯形分析：證明四邊形ABCD是梯形當(dāng)然關(guān)鍵是證明有且只有一組對(duì)邊平行，根據(jù)本題提供的條件就是要證明 ADPBC.提供平行線除了以前常用的方法，現(xiàn)在三角形的中位線定理又使我們多了一條途徑根據(jù)本題的條件已經(jīng)有了D為線段EC的中點(diǎn)，若再找一個(gè)且是同一個(gè)三角形邊的中點(diǎn)，連結(jié)就有了三角形中位線，有些中點(diǎn)是明顯的， 有的中點(diǎn)卻是“隱藏”在圖形中 ，需要用平時(shí)積累的知識(shí)使它現(xiàn)身?本題的MEPAB,MEAB可以得出：四邊形ABME是平行四邊形，平行四邊形的對(duì)角線是互相平分的，若我們連結(jié)對(duì)角線BE與對(duì)角線AM的交點(diǎn)O就是線段的中點(diǎn)，在VEBC中，根據(jù)三角形的中位線定理可以得出 ODPBC,即ADPBC.C,用繩子“連結(jié)”CA、CB，測(cè)量后取出N，量出M、N之間的距離，此時(shí)AB2MN. （見右圖圖解）ENMCH,ME//BC ENM, 2EMN2F// .DVm5N\D\.e\BPABA、B兩點(diǎn)間的距離，但又無法直接去測(cè)量，怎么辦？■ iA池塘 NM、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)CD,ME//AB即NE//CH,ME//BC1 1-CD,ME-AB2 2CDME~~E?/NE1???1點(diǎn)評(píng)：本題在添加輔助線上有些技巧性，但如果能想到把位置分散的形中且要使它們相等來解決問題， 根據(jù)本題提供的條件這樣的輔助線是應(yīng)該想到的例3都有一個(gè)都一個(gè)共同的特點(diǎn)，要把問題轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，關(guān)鍵要找到或構(gòu)造邊的中點(diǎn)，例2的公共邊BC的中點(diǎn)G和例3構(gòu)造的公共邊AC（對(duì)角線）的中點(diǎn)鞏固練習(xí)：如圖，已知四邊形ABCD,R、P分別為DC、BC上的點(diǎn)，E、Fa分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是 （）A.線段EF的長逐漸增大 B. 線段EF的長逐漸減少C.線段EF的長不變? D. 線段EF的不能確定10.如圖，已知在口ABCD中，EF//BC,分別交AB、CD于E、1CE、BF交于N.求證：MN—AB.2小明作出了邊長為3的第1個(gè)正"AiBiCi，算出了正"ABiCi，然后分別取三邊的中點(diǎn)A、B2、C2，作出第二個(gè)正"AsB2C2，算出其面積；用同樣的方法作出第三個(gè)正" A3B3C3,算出"A3B3C3面積……則第iO個(gè)正"AioBoCi。的面積為 （）11.已知：E為YABCD的邊DC的延長線上的一點(diǎn)，且F、G，對(duì)角線AC