高考復習2數(shù)學課件

第二節(jié)古典概型

在一次試驗中，其基本事件的發(fā)生一定是等可能的嗎？

提示:不一定等可能.如試驗一粒種子是否發(fā)芽，其發(fā)芽和不發(fā)芽的可能性是不相等的.

如何確定一個試驗是否為古典概型？

提示:判斷一個試驗是否是古典概型，關鍵在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性.1.一枚硬幣連擲3次，只有一次出現(xiàn)正面的概率是（）（A）（B）（C）（D）【解析】選A.一枚硬幣連擲3次，共有8種可能性，只有一次出現(xiàn)正面的情況有3種，故所求概率為P=.2.甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是（）（A）（B）（C）（D）【解析】選C.甲、乙、丙三名同學站成一排，有6個基本事件，其中甲站在中間的基本事件有2個，故所求概率為3.假設小軍、小燕和小明所在的班級共有50名學生,并且這50名學生早上到校先后的可能性相同,則“小燕比小明先到校，小明又比小軍先到?！钡母怕蕿開____.【解析】將3人排序共包括6個基本事件，由古典概型得P=.答案:4.在集合{x｜x=,n=1,2,3,…，10}中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cosx=的概率是______.【解析】基本事件總數(shù)為10，滿足方程cosx=的基本事件數(shù)為2，故所求概率為答案:1.正確理解古典概型基本事件理解古典概型的基本事件要注意以下幾個方面：（1）基本事件是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件.一次試驗中，只能發(fā)生一個基本事件.任何事件都可以用基本事件來描繪.相對于基本事件，由兩個或兩個以上基本事件構成的隨機事件稱為復雜事件.（2）基本事件只有有限個.任何兩個基本事件都是互斥的.（3）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.2.計算事件A的概率應注意的問題第一，本試驗是否是等可能的；第二，本試驗的基本事件數(shù)有多少個；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個.回答好這三個方面的問題，解題才不會出錯.3.基本事件數(shù)的探求方法（1）列舉法：適合于較簡單的試驗.（2）樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.另外在確定基本事件時，（x,y）可以看成是有序的，如（1，2）與（2，1）不同；有時也可以看成是無序的，如（1，2）與（2，1）相同.（3）排列、組合知識，在求一些較復雜的基本事件的個數(shù)時，可利用排列或組合的知識，只是在計數(shù)時要保證一致性，即要么都用排列數(shù)求，要么都用組合數(shù)求.

簡單古典概型的概率【例1】(2010·天津高考）有編號為A1，A2，…，A10的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下列數(shù)據(jù)：其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品.（1）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；1（2）從一等品零件中，隨機抽取2個.①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果.②求這2個零件直徑相等的概率.【審題指導】正確找出所有的一等品是解題的基礎，對于第（1）題，可直接代入公式求解；對于第（2）小題，列舉時要做到不重不漏.【自主解答】（1）由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個，設“從10個零件中隨機抽取一個為一等品”為事件A，則(2)①一等品零件的編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結(jié)果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6},共15個.②“從一等品零件中，隨機抽取2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5},共6個.∴P（B）=【規(guī)律方法】求古典概型概率的步驟【變式訓練】為了了解某市工廠開展群眾體育活動的情況,擬采用分層抽樣的方法從A、B、C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查.已知A、B、C區(qū)中分別有18，27，18個工廠.(1)求從A、B、C區(qū)中應分別抽取的工廠個數(shù)；(2)若從抽得的7個工廠中隨機地抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比，用列舉法計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率.【解析】(1)工廠總數(shù)為18+27+18=63，樣本容量與總體中的個體數(shù)的比為，所以從A，B，C三個區(qū)中應分別抽取的工廠個數(shù)為2，3,2.(2)設A1，A2為在A區(qū)中抽得的2個工廠，B1，B2，B3為在B區(qū)中抽得的3個工廠，C1，C2為在C區(qū)中抽得的2個工廠，在這7個工廠中隨機地抽取2個，全部可能的結(jié)果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1),(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21種.隨機地抽取的2個工廠至少有1個來自A區(qū)的結(jié)果(記為事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11種.所以這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率為P(X)=

復雜古典概型的概率【例2】現(xiàn)有8名奧運會志愿者,其中志愿者A1、A2、A3通曉日語,B1、B2、B3通曉俄語,C1、C2通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,組成一個小組.(1)求A1被選中的概率;(2)求B1和C1不全被選中的概率.【審題指導】(1)列舉出所有基本事件和“A1被選中”包含的基本事件,然后代入公式計算.(2)考慮其對立事件的概率.【自主解答】(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)，共18個基本事件.由于每一個基本事件被抽取的機會均等,因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的.用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M包含以下事件:(A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），事件M由6個基本事件組成，因而P（M）=(2)用N表示“B1，C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件；由于包含的基本事件有（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1），事件由3個基本事件組成，所以由對立事件的概率公式得P（N）=1-P（）【規(guī)律方法】本題屬于求較復雜事件的概率問題，解題關鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型.必要時將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求其對立事件的概率，進而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?【互動探究】本例中條件不變，求A2和B3不全被選中的概率.【解析】用A表示“A2和B3不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“A2、B3全被選中”.由于包含的基本事件有（A2,B3,C1）,(A2,B3,C2)，事件由兩個基本事件構成.∴由對立事件的概率公式得【變式訓練】已知函數(shù)f(x)=18x-27(x=1,2,3,4,5,6)的值域為集合A，函數(shù)g(x)=3x-1（x=1,2,3,4,5,6）的值域為集合B.任取x∈A∪B，求x∈A∩B的概率.【解析】根據(jù)已知條件可知，A={-9，9，27，45，63，81}，B={1，3，9，27，81，243}，所以A∪B={-9，1，3，9，27，45，63，81，243}，A∩B={9，27，81}，所以任取x∈A∪B，則x∈A∩B的概率是【例】甲、乙兩人參加法律知識競答,共有10道不同的題目,其中選擇題6道,判斷題4道,甲、乙兩人依次各抽一題.(1)甲抽到選擇題,乙抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?【審題指導】本題是古典概型的概率問題，關鍵是計算出基本事件總數(shù)及事件包含的基本事件數(shù)，然后直接應用公式求解.【自主解答】甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，先抽的有10種抽法，后抽的有9種抽法，故所有可能的抽法是10×9=90（種），即基本事件總數(shù)是90.（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，下面求事件A包含的基本事件數(shù)：甲抽選擇題有6種抽法，乙抽判斷題有4種抽法，所以事件A的基本事件數(shù)為6×4=24.∴（2）先考慮問題的對立面：“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的對立事件是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”，即都抽到判斷題.記“甲、乙兩人都抽到判斷題”為事件B，“至少一人抽到選擇題”為事件C，則B包含的基本事件數(shù)為4×3=12.∴由古典概型概率公式，得由對立事件的性質(zhì)可得【規(guī)律方法】含有“至多”、“至少”等類型的概率問題，從正面求解比較困難或者比較繁瑣時，可考慮其反面，即對立事件，然后應用對立事件的性質(zhì)P（A）=1-P（）進一步求解.

【變式備選】甲、乙兩人做出拳游戲(錘子、剪刀、布).求:(1)平局的概率;(2)甲贏的概率;(3)乙贏的概率.【解析】甲有3種不同的出拳方法，每一種出法是等可能的，乙同樣有等可能的3種不同出法.一次出拳游戲共有3×3=9種不同的結(jié)果，可以認為這9種結(jié)果是等可能的.所以一次游戲（試驗）是古典概型，它的基本事件總數(shù)為9.平局的含義是兩人出法相同，例如都出了錘.甲贏的含義是甲出錘且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出錘這3種情況.乙贏的含義是乙出錘且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出錘這3種情況.設平局為事件A，甲贏為事件B，乙贏為事件C.由圖容易得到：平局含3個基本事件（圖中的△）；甲贏含3個基本事件（圖中的⊙）；乙贏含3個基本事件（圖中的※）.由古典概型的概率公式可得：（1）P（A）（2）P（B）（3）P（C）

古典概型概率的解答題的答題技巧【典例】（12分）(2010·山東高考）一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.（1）從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率.（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n＜m+2的概率.【審題指導】所求概率為古典概率模型，用列舉法求出基本事件總數(shù)和事件包含的基本事件數(shù).【規(guī)范解答】（1）從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個.從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2，1和3兩個.因此所求事件的概率…………4分（2）先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果（m,n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16個.……8分又滿足條件n≥m+2的事件為（1，3），（1，4），（2，4），共3個，所以滿足條件n≥m+2的事件的概率為P1=…………10分故滿足條件n＜m+2的事件的概率為1-P1=…………12分【失分警示】在解答本題第（2）題時把（2，3）和（3，2）看成一個基本事件，從而造成計算基本事件總數(shù)時錯誤造成失分.除此之外，在求古典概型的概率時，以下幾點容易造成失分：1.誤解基本事件的等可能性致誤.2.所求事件包含的基本事件列舉不全致誤.3.在列舉試驗的全部基本事件和事件包含的基本事件時，一個按有序、一個按無序處理，從而造成失誤.【變式訓練】袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球.從袋中任意取出2個球，求下列事件的概率：（1）A：取出的2個球都是白球；（2）B：取出的2個球中1個是白球，另1個是紅球.【解析】設4個白球的編號為1，2，3，4；2個紅球的編號為5，6.從袋中的6個小球中任取2個的方法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15種.（1）從袋中的6個球中任取2個，所取的2個球全是白球的方法總數(shù)，即是從4個白球中任取2個的方法總數(shù)，共有6種，即為（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的2個球全是白球的概率為(2)從袋中的6個球中任取2個，其中1個為紅球，而另1個為白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8種.∴取出的2個球中1個是白球，另1個是紅球的概率為1.(2010·江蘇高考）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是______.【解析】設3只白球為A，B，C.1只黑球為d，則從中隨機摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為.答案:2.(2010·遼寧高考）三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為______.【解析】排成一行.可能的情況為EEB、EBE、BEE共3種，所以所求概率為.答案:3.(2010·浙江高考）在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P，Q，M，N分別是線段OA、OB、OC、OD的中點.在A、P、M、C中任取一點記為E，在B、Q、N、D中任取一點記為F.設G為滿足向量的點，則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形ABCD外（不含邊界）的概率為______.【解題提示】可先求落在平行四邊形ABCD內(nèi)或邊界上的點G的概率.【解析】基本事件的總數(shù)是4×4=16，在中，當時，點G分別為該平行四邊形的各邊的中點，此時點G在平行四邊形的邊界上，而其余情況中的點G都在平行四邊形外，故所求的概率是答案:4.(2010·福建高考）設平面向量其中m,n∈{1,2,3,4}.（1）請列出有序數(shù)組（m,n）的所有可能結(jié)果；（2）記“使得成立的（m,n）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率.【解析】（1）有序數(shù)組（m,n）的所有可能結(jié)果為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16個.（2）由得m2-2m+1-n=0，即n=(m-1)2.由于m,n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件為（2，1）和（3，4），共2個.又基本事件的總數(shù)為16，故所求的概率為P（A）一、選擇題（每小題4分，共20分）1.(2011·福建四校聯(lián)考)甲乙二人玩數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b,且a,b∈｛1,2,3｝,若|a-b|≤1,則稱甲乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）（A）（B）（C）（D）【解析】選D.甲想一數(shù)字有3種結(jié)果，乙猜一數(shù)字有3種結(jié)果，基本事件總數(shù)為3×3=9.設“甲、乙心有靈犀”為事件A，則A的對立事件B為“|a-b|>1”，即|a-b|=2,包含2個基本事件，2.4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（）（A）（B）（C）（D）【解析】選C.從4張卡片中任取兩張的方法為1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4，共6種.其中和為奇數(shù)的情況有1，2；1，4；2，3；3，4，共4種.∴所求概率3.欲寄出兩封信，現(xiàn)有兩個信箱供選擇，則兩封信投到一個信箱的概率是（）（A）（B）（C）（D）【解析】選A.設兩個信箱分別為A、B，則兩封信投到信箱有四種情況：AA，BB，AB，BA，其中投到一個信箱的情況有兩種，故所求概率為4.在一個袋子中裝有分別標注1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出小球標注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的概率是（）（A）（B）（C）（D）【解題提示】本題可列出所有的基本事件再求概率.【解析】選C.從袋中隨機取出2個小球，其基本事件是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10種，其中符合條件的有（1，3），（1，5），（2，4），（3，5）四種情況.故所求概率為5.(2010·安徽高考）甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（）（A）（B）（C）（D）【解題提示】甲、乙選擇的頂點相同應視為一個基本事件，在計算基本事件數(shù)時可按無序處理.【解析】選C.甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，所得基本事件總數(shù)為而兩條直線相互垂直包含的基本事件數(shù)為5，故根據(jù)古典概型概率公式得二、填空題（每小題4分，共12分）6.從{1，2，3，4，5}中隨機選取一個數(shù)為a,從{1，2，3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b＞a的概率是______.【解析】分別從兩個集合中各取一個數(shù)，共有15種取法，其中滿足b＞a的有3種取法，故所求事件的概率為答案:7.如圖所示，a,b,c,d是四個處于斷開狀態(tài)的開關，任意將其中兩個閉合，則電路被接通的概率為_____.【解析】四個開關任意閉合2個，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6種方案，電路被接通的條件是：①開關d必須閉合；②開關a，b,c中有一個閉合.即電路被接通有ad、bd和cd共3種方案，所以所求的概率是答案:8.(2011·寧德模擬)一個袋中裝有大小相同，編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的概率為_______.【解析】基本事件總數(shù)為8×8=64(個)，其中兩個球的編號和不小于15的基本事件有(7，8)，(8，7)，(8，8)共3個，故所求概率為答案:三、解答題（每小題9分，共18分）9.已知集合A={0，1，2，3，4}，a∈A,b∈A.（1）求y=ax2+bx+1為一次函數(shù)的概率.（2）求y=ax2+bx+1為二次函數(shù)的概率.【解析】因為a、b都可以隨機地從集合A中選取，且對于a的每一種取法，b都對應地有5種取法，故共有5×5=25種不同的取法.且這25種不同的取法都是等可能的.（1）若此函數(shù)為一次函數(shù)，則a只能取0，而b共有4種不同的取法（b≠0），故共有4個一次函數(shù)，故y=ax2+bx+1為一次函數(shù)的概率為(2)若此函數(shù)為二次函數(shù)，a只能為1或2或3或4，對于a的每一個取值，b都有5種取法，故共有4×5=20種取法，所以y=ax2+bx+1為二次函數(shù)的概率為10.汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如表（單位：輛）：按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛.（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；（3）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.【解析】（1）設該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛，由題意得所以n=2000.z=2000-(100+300)-(150+450)-600