庫(kù)侖力作用下的平衡問(wèn)題和變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

一.必備知識(shí)〔一〕庫(kù)侖力作用下的平衡問(wèn)題1.解題思路及步驟涉及庫(kù)侖力的平衡問(wèn)題，其解題思路與力學(xué)中的平衡問(wèn)題一樣，只是在原來(lái)受力的根底上多了庫(kù)侖力。注意庫(kù)侖力的方向：同性相斥，異性相吸，沿兩電荷連線方向。2.求解帶電體平衡問(wèn)題的方法分析帶電體平衡問(wèn)題的方法與力學(xué)中分析物體受力平衡問(wèn)題的方法相同。(1)當(dāng)兩個(gè)力在同一直線上使帶電體處于平衡狀態(tài)時(shí)，根據(jù)二力平衡的條件求解；(2)在三個(gè)力作用下帶電體處于平衡狀態(tài)時(shí)，一般運(yùn)用勾股定理、三角函數(shù)關(guān)系以及矢量三角形等知識(shí)求解；(3)在三個(gè)以上的力作用下帶電體處于平衡狀態(tài)時(shí)，一般用正交分解法求解。3．三個(gè)自由點(diǎn)電荷平衡模型、平衡條件及規(guī)律〔1〕模型特點(diǎn)①三個(gè)點(diǎn)電荷共線。②三個(gè)點(diǎn)電荷彼此間僅靠電場(chǎng)力作用到達(dá)平衡，不受其他外力。③任意一個(gè)點(diǎn)電荷受到其他兩個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)力大小相等，方向相反，為一對(duì)平衡力。(2)平衡條件：每個(gè)點(diǎn)電荷受另外兩個(gè)點(diǎn)電荷的合力為零，或每個(gè)點(diǎn)電荷處于另外兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中合場(chǎng)強(qiáng)為零的位置?！?〕三電荷平衡模型的規(guī)律①“三點(diǎn)共線〞——三個(gè)點(diǎn)電荷分布在同一直線上。②“兩同夾異〞——正負(fù)電荷相互間隔。③“兩大夾小〞——中間電荷的電荷量最小。④“近小遠(yuǎn)大〞——中間電荷靠近電荷量較小的電荷。圖示如下：〔4〕解決三電荷平衡問(wèn)題應(yīng)注意的兩點(diǎn)①此類(lèi)題目易誤認(rèn)為只要三個(gè)點(diǎn)電荷到達(dá)平衡就是“三電荷平衡模型〞，而沒(méi)有分析是否滿足模型成立的條件。如果三個(gè)點(diǎn)電荷已到達(dá)平衡，但假設(shè)其中某個(gè)點(diǎn)電荷受到了外力作用，仍不是“三電荷平衡模型〞。②原那么上對(duì)于三個(gè)點(diǎn)電荷中的任意兩個(gè)進(jìn)行受力分析，列平衡方程，即可使問(wèn)題得到求解，但選取的兩個(gè)點(diǎn)電荷不同，往往求解難度不同，要根據(jù)不同的題目進(jìn)行選取。〔二〕變速問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)電荷受到的合力不為零時(shí)，應(yīng)用牛頓第二定律進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析和計(jì)算。二.典型例題精講題型一：同一直線上的三個(gè)自由點(diǎn)電荷的平衡例1：如下圖，在光滑絕緣的水平面上沿同一直線依次放著A、B、C三個(gè)帶電小球，它們均可視為點(diǎn)電荷，且每個(gè)電荷在庫(kù)侖力作用下都處于平衡狀態(tài)，A帶正電，A、B間距離為l，B、C間距離為2l，且A的電荷量QA＝q，那么B、C分別帶什么電？小球B、C的電荷量分別是多大？[答案]B帶負(fù)電QB＝eq\f(4,9)qC帶正電QC＝4q[解析]根據(jù)平衡條件可知，假設(shè)A受力平衡，那么A受到B、C兩電荷對(duì)其的作用力中一個(gè)一定是引力，另一個(gè)一定是斥力，那么B、C一定為異種電荷，假設(shè)B帶正電，那么C必帶負(fù)電，那么此時(shí)C受到的A、B兩電荷的作用力均為引力，C不能平衡，故只能是B帶負(fù)電，C帶正電(此時(shí)三個(gè)點(diǎn)電荷在受力方向上均能滿足平衡條件)。以A為研究對(duì)象，由平衡條件可得：keq\f(qQB,l2)＝keq\f(qQC,l＋2l2)以B為研究對(duì)象，同理得：keq\f(qQB,l2)＝keq\f(QBQC,4l2)題型二：非自由點(diǎn)電荷的平衡例2：(·全國(guó)卷Ⅰ·15)如圖，空間存在一方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩個(gè)帶電小球P和Q用相同的絕緣細(xì)繩懸掛在水平天花板下，兩細(xì)繩都恰好與天花板垂直，那么()A．P和Q都帶正電荷B．P和Q都帶負(fù)電荷C．P帶正電荷，Q帶負(fù)電荷D．P帶負(fù)電荷，Q帶正電荷答案D解析對(duì)P、Q整體進(jìn)行受力分析可知，在水平方向上整體所受電場(chǎng)力為零，所以P、Q必帶等量異種電荷，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；對(duì)P進(jìn)行受力分析可知，Q對(duì)P的庫(kù)侖力水平向右，那么勻強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)P的電場(chǎng)力應(yīng)水平向左，所以P帶負(fù)電荷，Q帶正電荷，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．題型三：變速問(wèn)題例3：質(zhì)量均為m的三個(gè)帶電小球A、B、C用三根長(zhǎng)度均為l的絕緣絲線相互連接，放置在光滑絕緣的水平面上，A球的電荷量為＋q.在C球上施加一個(gè)水平向右的恒力F之后，三個(gè)小球一起向右運(yùn)動(dòng)，三根絲線剛好都伸直且沒(méi)有彈力，F(xiàn)的作用線的反向延長(zhǎng)線與A、B間的絲線相交于絲線的中點(diǎn)，如圖10所示．靜電力常量為k，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．B球的電荷量可能為＋2qB．C球的電荷量為－2qC．三個(gè)小球一起運(yùn)動(dòng)的加速度大小為eq\f(\r(3)kq2,ml2)D．恒力F的大小為eq\f(2\r(3)kq2,l2)答案BC解析根據(jù)對(duì)稱性可知，A球的電荷量和B球的電荷量相同，故A錯(cuò)誤；設(shè)C球的電荷量大小為qC，以A球?yàn)檠芯繉?duì)象，B球?qū)球的庫(kù)侖斥力為FBA＝eq\f(kq2,l2)，C球?qū)球的庫(kù)侖引力為FCA＝eq\f(kqqC,l2)，由題意可知小球運(yùn)動(dòng)的加速度方向與F的作用線平行，那么有：FCAsin30°＝FBA，F(xiàn)CAcos30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝eq\f(\r(3)kq2,ml2)，C球帶負(fù)電，故C球的電荷量為－2q，故B、C正確；以三個(gè)小球整體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律可得：F＝3ma＝eq\f(3\r(3)kq2,l2)，故D錯(cuò)誤．三.舉一反三，穩(wěn)固練習(xí)1．某原子電離后其核外只有一個(gè)電子，假設(shè)該電子在核的靜電力作用下繞核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么電子運(yùn)動(dòng)()A．半徑越大，加速度越大B．半徑越小，周期越大C．半徑越大，角速度越小D．半徑越小，線速度越小答案C解析電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜電力提供，由牛頓第二定律得keq\f(q1q2,r2)＝ma，那么a＝eq\f(kq1q2,mr2)，半徑越大，加速度越小，A錯(cuò)誤；由eq\f(kq1q2,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2得T＝eq\r(\f(4π2r3m,kq1q2))，半徑越小，周期越小，B錯(cuò)誤；由eq\f(kq1q2,r2)＝mrω2得ω＝eq\r(\f(kq1q2,mr3))，半徑越大，角速度越小，C正確；由eq\f(kq1q2,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(kq1q2,mr))，半徑越小，線速度越大，D錯(cuò)誤。2．如下圖，同一直線上的三個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2、q3，恰好都處在平衡狀態(tài)，除相互作用的靜電力外不受其他外力作用。q1、q2間的距離是q2、q3間距離的2倍。以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)q1、q3為正電荷，那么q2為負(fù)電荷B．假設(shè)q1、q3為負(fù)電荷，那么q2為正電荷C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9D．q1∶q2∶q3＝9∶4∶36答案ABC解析三個(gè)自由電荷在同一直線上處于平衡狀態(tài)，那么一定滿足“兩同夾異，近小遠(yuǎn)大〞原理，即兩邊的電荷電性相同和中間的電荷電性相反，判斷電荷量大小關(guān)系時(shí)，距離遠(yuǎn)的電荷量大于距離近的電荷量，故A、B正確；根據(jù)庫(kù)侖定律，依據(jù)矢量合成，那么有：eq\f(kq1q2,r\o\al(2,12))＝eq\f(kq1q3,r\o\al(2,13))＝eq\f(kq2q3,r\o\al(2,23))，q1、q2間的距離是q2、q3間的距離的2倍，所以q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正確，D錯(cuò)誤。3.如圖，光滑絕緣圓環(huán)豎直放置，a、b、c為三個(gè)套在圓環(huán)上可自由滑動(dòng)的空心帶電小球，小球c位于圓環(huán)最高點(diǎn)，ac連線與豎直方向成60°角，bc連線與豎直方向成30°角，三個(gè)小球均處于靜止?fàn)顟B(tài)．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．小球a、b、c帶同種電荷B．小球a、b帶異種電荷C．小球a、b電荷量之比為eq\f(\r(3),6)D．小球a、b電荷量之比為eq\f(\r(3),9)答案D解析對(duì)c小球受力分析可得，a、b小球必須帶同種電荷，c小球才能平衡；對(duì)b小球受力分析可得，b、c小球帶異種電荷，b小球才能平衡，故A、B錯(cuò)誤．設(shè)環(huán)的半徑為R，a、b、c球的帶電荷量分別為q1、q2和q3，由幾何關(guān)系可得lac＝R，lbc＝eq\r(3)R，a與b對(duì)c的作用力都是吸引力，它們對(duì)c的作用力在水平方向的分力大小相等，那么有eq\f(kq1q3,l\o\al(ac2,))·sin60°＝eq\f(kq2q3,l\o\al(bc2,))·sin30°，所以eq\f(q1,q2)＝eq\f(\r(3),9)，應(yīng)選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．4.如下圖，傾角為θ的光滑絕緣斜面固定在水平面上．為了使質(zhì)量為m，帶電荷量為＋q的小球靜止在斜面上，可加一平行紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)(未畫(huà)出)，那么()A．電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值為E＝eq\f(mgtanθ,q)B．假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度E＝eq\f(mg,q)，那么電場(chǎng)強(qiáng)度方向一定豎直向上C．假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向從沿斜面向上逐漸轉(zhuǎn)到豎直向上，那么電場(chǎng)強(qiáng)度逐漸增大D．假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向從沿斜面向上逐漸轉(zhuǎn)到豎直向上，那么電場(chǎng)強(qiáng)度先減小后增大答案C解析對(duì)小球受力分析，如下圖，電場(chǎng)力與支持力垂直時(shí)，所加的電場(chǎng)強(qiáng)度最小，此時(shí)場(chǎng)強(qiáng)方向沿斜面向上，mgsinθ＝qEmin，解得電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值為Emin＝eq\f(mgsinθ,q)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度E＝eq\f(mg,q)，那么電場(chǎng)力與重力大小相等，由圖可知，電場(chǎng)力方向可能豎直向上，也可能斜向左下，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由圖可知，假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向從沿斜面向上逐漸轉(zhuǎn)到豎直向上，那么電場(chǎng)力逐漸變大，電場(chǎng)強(qiáng)度逐漸增大，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．5.如下圖，用兩根長(zhǎng)度均為l的絕緣輕繩將帶正電的小球懸掛在水平的天花板下，小球的質(zhì)量為m，輕繩與天花板的夾角均為θ，小球正下方距離也為l的A處一絕緣支架上同樣有一個(gè)帶電小球，此時(shí)輕繩的張力均為0，現(xiàn)在將支架水平向右移動(dòng)到B處，B處位置與兩輕繩結(jié)點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為θ，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，假設(shè)θ＝30°，那么()A．A處的帶電小球帶負(fù)電B．支架在A處與在B處時(shí)兩小球之間的庫(kù)侖力大小之比為2∶3C．支架在B處時(shí)，左邊繩子的張力為mg－eq\f(\r(3),2)mgD．支架在B處時(shí)，右邊繩子的張力為mg＋eq\f(\r(3),2)mg答案：C。解析：當(dāng)絕緣支架上的帶電小球在A位置時(shí)，輕繩的張力均為0，對(duì)其受力分析可知其只受重力和庫(kù)侖力，因此兩小球之間的庫(kù)侖力為斥力，那么A處的帶電小球帶正電，故A錯(cuò)誤；根據(jù)庫(kù)侖定律可得F＝keq\f(Qq,r2)，因此絕緣支架在A處與在B處時(shí)，兩小球之間的庫(kù)侖力大小之比eq\f(FA,FB)＝eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\f(1,cos230°)＝eq\f(4,3)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)平衡條件知，F(xiàn)A＝mg，那么支架在B處時(shí)，兩球間的庫(kù)侖力為FB＝eq\f(3,4)FA＝eq\f(3,4)mg，設(shè)左、右繩的張力分別為F1和F2，那么由正交分解可得F1cos30°＋eq\f(3,4)mgsin30°＝F2cos30°，F(xiàn)1sin30°＋eq\f(3,4)mgcos30°＋F2sin30°＝mg，解得F1＝mg－eq\f(\r(3),2)mg，F(xiàn)2＝mg－eq\f(\r(3),4)mg，故C正確，D錯(cuò)誤。6.如下圖，兩條不等長(zhǎng)的細(xì)線一端拴在同一點(diǎn)，另一端分別拴兩個(gè)帶同種電荷的小球，電荷量分別是q1、q2，質(zhì)量分別為m1、m2，當(dāng)兩小球處于同一水平面時(shí)恰好靜止，且α>β，那么造成α、β不相等的原因是()A．m1<m2 B．m1>m2C．q1<q2 D．q1>q2答案A解析對(duì)兩帶電小球分別進(jìn)行受力分析如圖，根據(jù)平衡條件有tanα＝eq\f(F,m1g)，tanβ＝eq\f(F,m2g)，兩者之間庫(kù)侖力F大小相等，因α>β，所以m1<m2，故A正確，B錯(cuò)誤；電荷量q1、q2無(wú)論哪個(gè)大，兩者之間庫(kù)侖力F大小都相等，故C、D錯(cuò)誤。7.如下圖，在一條直線上有兩個(gè)相距0.4m的點(diǎn)電荷A、B，A帶電＋Q，B帶電－9Q?，F(xiàn)引入第三個(gè)點(diǎn)電荷C，恰好使三個(gè)點(diǎn)電荷均在靜電力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么C的帶電性質(zhì)及位置應(yīng)為()A．正，B的右邊0.4m處B．正，B的左邊0.2m處C．負(fù)，A的左邊0.2m處D．負(fù)，A的右邊0.2m處答案C解析根據(jù)庫(kù)侖定律，當(dāng)C在A的左側(cè)時(shí)，C受到A、B庫(kù)侖力的合力才可能為0，那么C在A的左邊；為使A受到B、C的庫(kù)侖力的合力為0，C應(yīng)帶負(fù)電；設(shè)C在A左側(cè)距A為x處，由于C處于平衡狀態(tài)，所以keq\f(Qq,x2)＝eq\f(9kQ·q,0.4＋x2)，解得x＝0.2m，C正確。8．(·11月選考)電荷量為4×10－6C的小球絕緣固定在A點(diǎn)，質(zhì)量為0.2kg，電荷量為－5×10－6C的小球用絕緣細(xì)線懸掛，靜止于B點(diǎn)。A、B間距離為30cm，A、B連線與豎直方向夾角為60°。靜電力常量為9.0×109N·m2/C2，小球可視為點(diǎn)電荷。以下圖示正確的選項(xiàng)是()答案B解析兩球之間的庫(kù)侖力大小為F＝keq\f(qAqB,r2)＝9.0×109×eq\f(4×10－6×5×10－6,0.32)N＝2N，根據(jù)題意，F(xiàn)與豎直方向的夾角為60°，小球B的重力大小為GB＝mBg＝2N，知F＝GB，又因小球B靜止，故小球B受到的庫(kù)侖力、重力以及細(xì)線的拉力組成的矢量三角形為等邊三角形，所以細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，B正確。9.如下圖，豎直墻面與水平地面均光滑且絕緣，兩個(gè)帶有同種電荷的小球A、B分別處于豎直墻面和水平地面上，且處于同一豎直平面內(nèi)，假設(shè)用圖示方向的水平推力F作用于小球B，那么兩球靜止于圖示位置，如果將小球B向左推動(dòng)少許，并待兩球重新到達(dá)平衡時(shí)，那么兩個(gè)小球的受力情況與原來(lái)相比()A．推力F將增大B．豎直墻面對(duì)小球A的彈力增大C．地面對(duì)小球B的彈力一定不變D．兩個(gè)小球之間的距離減小答案C解析以A球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力如圖1所示，設(shè)B對(duì)A的庫(kù)侖力F庫(kù)與豎直墻面的夾角為θ，由平衡條件得豎直墻面對(duì)小球A的彈力為：N1＝mAgtanθ；將小球B向左推動(dòng)少許時(shí)θ減小，那么N1減小，故B錯(cuò)誤；再以A、B整體為研究對(duì)象，受力如圖2所示，由平衡條件得：F＝N1，地面對(duì)小球B的彈力為：N2＝(mA＋mB)g，那么N2不變，F(xiàn)減小，A錯(cuò)誤，C正確；由圖1及平衡條件知F庫(kù)＝eq\f(mAg,cosθ)，θ減小，cosθ增大，那么F庫(kù)減小，根據(jù)F庫(kù)＝eq\f(kq1q2,r2)可知，兩個(gè)小球之間的距離增大，D錯(cuò)誤。10.如下圖，真空中三個(gè)質(zhì)量相等的小球A、B、C，帶電荷量大小分別為QA＝6q，QB＝3q，QC＝8q.現(xiàn)用適當(dāng)大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A、B、C保持相對(duì)靜止，且A、B間距離與B、C間距離相等．不計(jì)電荷運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生磁場(chǎng)的影響，小球可視為點(diǎn)電荷，那么此過(guò)程中B、C之間的作用力大小為()A.eq\f(4,3)FB．FC.eq\f(2,3)FD.eq\f(1,3)F答案A解析設(shè)小球的質(zhì)量為m，以三個(gè)球?yàn)檎w：F＝3ma；以A、B為整體：F1＝2ma，解得F1＝eq\f(2,3)F；由牛頓第三定律知A、B對(duì)C的庫(kù)侖力的合力大小為eq\f(2,3)F.根據(jù)庫(kù)侖定律得eq\f(FBC,FAC)＝keq\f(3q·8q,L2)∶keq\f(6q·8q,4L2)＝eq\f(2,1)，A、B所受C的庫(kù)侖力方向不可能相同，結(jié)合牛頓第三定律可知：FBC－FAC＝eq\f(2,3)F，解得FBC＝eq\f(4,3)F.11．(多項(xiàng)選擇)如下圖，光滑絕緣的水平面上有一帶電荷量為－q的點(diǎn)電荷，在距水平面高h(yuǎn)處的空間內(nèi)存在一場(chǎng)源點(diǎn)電荷＋Q，兩電荷連線與水平面間的夾角θ＝30°，現(xiàn)給－q一水平初速度，使其恰好能在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(恰好不受支持力)，重力加速度為g，靜電力常量為k，那么()A．點(diǎn)電荷－q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為eq\f(\r(3)kQq,4h2)B．點(diǎn)電荷－q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為eq\f(\r(3)kQq,8h2)C．點(diǎn)電荷－q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為eq\r(3gh)D．點(diǎn)電荷－q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為eq\f(\r(3gh),2)答案BC解析點(diǎn)電荷－q恰好能在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)電荷－q受到豎直向下的重力以及點(diǎn)電荷＋Q的引力，如下圖，電荷之間的引力在水平方向上的分力充當(dāng)向心力，兩點(diǎn)電荷間距離R＝eq\f(h,sinθ)，F(xiàn)n＝keq\f(Qq,R2)·cosθ，聯(lián)立解得Fn＝eq\f(\r(3)kQq,8h2)，A錯(cuò)誤，B正確；點(diǎn)電荷－q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝eq\f(h,tanθ)，因?yàn)镕n＝eq\f(mg,tanθ)，根據(jù)Fn＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(3gh)，C正確，D錯(cuò)誤．12.如圖，通過(guò)絕緣輕繩將質(zhì)量均為m的三個(gè)小球A、B、C連接在一起并懸于O點(diǎn)，其中A、B球帶電，且?guī)щ姾闪烤鶠椋玵，C球不帶電．整個(gè)空間存在方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E＝eq\f(mg,q).當(dāng)把OA段細(xì)線剪斷的瞬間()A．A球的加速度小于2gB．B球的加速度大于2gC．A球和B球之間的繩子