考點35 立體幾何中的向量方法

考點35立體幾何中的向量方法解答題1.(2020·全國卷Ⅰ高考理科·T18)如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,PO=66(1)證明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.【命題意圖】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小,考查學生空間想象能力以及數(shù)學運算能力,屬于基礎題.【解題指南】(1)要證明PA⊥平面PBC,只需證明PA⊥PB,PA⊥PC即可;(2)以O為坐標原點,的方向為y軸正方向建立空間直角坐標系,分別算出平面PCB的法向量為n,平面PCE的法向量為m,利用公式cosm,n=n·m|【解析】(1)設DO=a,由題設可得PO=66a,AO=33a,AB=PA=PB=PC=22因此PA2+PB2=AB2,從而PA⊥PB.又PA2+PC2=AC2,從而PA⊥PC.所以PA⊥平面PBC.(2)以O為坐標原點,的方向為y軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.由題設可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C-3P0,所以=-32,-12,設m=(x,y,z)是平面PCE的法向量,則,即-y+22z=0由(1)知=0,1,22是平面PCB的一個法向量,記n=,則cos<n,m>=n所以二面角B-PC-E的余弦值為252.(2020·全國卷Ⅲ理科·T19)(12分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)證明:點C1在平面AEF內(nèi);(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.【命題意圖】本題考查點在平面的證明,同時也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計算能力.【解析】(1)在棱CC1上取點G,使得C1G=12CG,連接DG,FG,C1E,C1F因為C1G=12CG,BF=2FB1所以CG=23CC1=23BB1=BF且CG∥所以,四邊形BCGF為平行四邊形,所以BCGF,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,所以ADGF,所以四邊形ADGF為平行四邊形.則AFDG,同理可證四邊形DEC1G為平行四邊形,所以C1EDG,所以C1EAF,則四邊形AEC1F為平行四邊形,因此點C1在平面AEF內(nèi).(2)以點C1為坐標原點,C1D1、C1B1、C1C所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A2,1,3、A12,1,=0,-1,-1,==0,-1,2,=設平面AEF的法向量為m=x1由,得-y1取z1=-1,得x1=y1=1,則m=1,設平面A1EF的法向量為n=x2由,得-y2+2z2=0-2x2+z2=0,取z2=2,得cos<m,n>=m·nmn=設二面角A-EF-A1的平面角為θ,則cosθ=7所以sinθ=1-cos2因此,二面角A-EF-A1的正弦值為4273.(2020·新高考全國Ⅰ卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD,設平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.【命題意圖】本題主要考查空間線面垂直關系及線面角的求解,考查空間想象力與基本計算能力,體現(xiàn)了直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】(1)因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC,又DC∩PD=D,DC,PD?平面PDC,所以AD⊥平面PDC.因為AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC,由平面PAD與平面PBC的交線為l,可得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).由(1)可設Q(a,0,1),則=(a,0,1),設n=(x,y,z)是平面QCD的一個法向量,則即ax+z=0,y=0.可取n=(-1,0,a).所以cosn,==-1-a3·1+a2.設PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=33×|a+1|1+a2=3【規(guī)律總結】利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,轉化為求兩個方向向量的夾角(銳角或直角時)或其補角(鈍角時);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角,取其余角就是斜線與平面所成的角.4.(2020·北京高考·T16)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點.(1)求證:BC1∥平面AD1E;(2)求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值.【命題意圖】考查線面平行的判定,線面角的求法.【解析】不妨設棱長AB=2,如圖建系,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),A1(0,0,2),B1(0,2,2),C1(2,2,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),(1)=(2,0,2),=(2,0,2),=(0,2,1),設平面AD1E的法向量m=(x,y,z),則即2x+2z=0,2y-1,2),·m=0,⊥m,又因為BC1?平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E;(2)=(0,0,2),所以cos<,m>==42×3=23,所以直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值為235.(2020·天津高考·T17)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,點D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M為棱A1B1的中點.(1)求證:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.【命題意圖】本題考查利用空間向量法證明線線垂直,求二面角和線面角的正弦值,考查推理能力與運算能力,屬于中檔題.【解題指南】以C為原點,分別以,,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系.(1)計算出向量和的坐標,得出·=0,即可證明出C1M⊥B1D;(2)可知平面BB1E的一個法向量為,計算出平面B1ED的一個法向量為n,利用空間向量法計算出二面角B-B1E-D的余弦值,利用同角三角函數(shù)的基本關系可求解結果;(3)利用空間向量法可求得直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.【解析】依題意,以C為原點,分別以,,的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)依題意,=(1,1,0),=(2,-2,-2),從而·=2-2+0=0,所以C1M⊥B1D.(2)依題意,=(2,0,0)是平面BB1E的一個法向量,=(0,2,1),=(2,0,-1).設n=(x,y,z)為平面DB1E的一個法向量,則即2不妨設x=1,可得n=(1,-1,2).cos<,n>==22×6=66所以sin<,n>==306.所以,二面角B-B1E-D的正弦值為306(3)依題意,=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)為平面DB1E的一個法向量,于是cos<,n>==-422×6=-所以,直線AB與平面DB1E所成角的正弦值為336.(2020·江蘇高考·T22)在三棱錐A-BCD中,已知CB=CD=5,BD=2,O為BD的中點,AO⊥平面BCD,AO=2,E為AC的中點.(1)求直線AB與DE所成角的余弦值;(2)若點F在BC上,滿足BF=14BC,設二面角F-DE-C的大小為θ,求sinθ的值【命題意圖】本題主要考查利用空間向量法求異面直線所成的角及二面角.重點考查如何建立空間直角坐標系,求出相應點的坐標,再利用公式求角.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(-1,0,0),E(0,1,1).(1)=1,0,-2,=則cos<,>==1515.故直線AB與D