中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：相似三角形綜合題

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)

相似三角形綜合題

專題劃分專題一相似三角形的基本模型專題二相似三角形的解題技巧---輔助線專題三相似三角形與圓綜合專題四相似三角形與函數(shù)綜合專題一相似三角形的基本模型8字型一線三垂直型一線三等角型01020304模型A字型A字型01精講點(diǎn)撥1.正A字型

2.斜A字型

2.斜A字型

分析：兩個(gè)三角形中有一個(gè)公共角解題思路：圖形中已經(jīng)有一組角相等，（1）從已知條件、圖中隱含條件或通過證明得到另一組角相等;（2）證明相等的這組角的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例鞏固訓(xùn)練

B

8字型01分析：兩個(gè)三角形中有一組對(duì)應(yīng)角是對(duì)頂角解題思路：圖形中已經(jīng)有一組對(duì)頂角，（1）從已知條件、圖中隱含條件或通過證明得到另一組角相等；（2）證明這組對(duì)頂角的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例

正8字型斜8字型注意：若題中未說明相似三角形對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，則需要分情況討論精講點(diǎn)撥

CD鞏固訓(xùn)練

一線三垂直型03

分析：兩直角三角形的一組直角邊共線或部分重合，且斜邊互相垂直。解題思路：判定三角形相似的關(guān)鍵：利用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)得一組對(duì)應(yīng)角相等。注：當(dāng)直角沒有確定時(shí)，應(yīng)分情況討論。精講點(diǎn)撥

C鞏固訓(xùn)練

一線三等角型04

解題思路：圖形中已經(jīng)有一組角相等，通過三角形的內(nèi)外角關(guān)系、內(nèi)角和定理找另外一組對(duì)應(yīng)角相等精講點(diǎn)撥

BA鞏固訓(xùn)練3．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=15，點(diǎn)D邊BC上一點(diǎn)，且BD<CD，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∠ADE=∠B．

專題二相似三角形的解題技巧---輔助線

在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角等等，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。專題概述在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決.模型A型和8字型以及垂直模型三一線三等角型(K型)

銳角一線三等角一線三垂直鈍角一線三等角已知，如圖，直線y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為1﹕2。

求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

相似三角形中的輔助線作垂線例1已知：△ABC中，D為BC邊上中點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且AE:AC=1:3，連接AD和BE，相交于點(diǎn)F，求AF:FD的值.添加平行線相似三角形中的輔助線例2幾種做法展示相似三角形中的輔助線作延長(zhǎng)線如圖，Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F，F(xiàn)G⊥AB于G，求證：FG2=CF·BF例3練習(xí)：如圖，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AF=1/3AD，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．練習(xí)：如圖，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AF=1/3AD，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．練習(xí)：如圖，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AF=1/3AD，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證:BC2＝2CD·AC．相似三角形中的輔助線作中線例4專題三相似三角形與圓綜合

相似三角形與圓探究題，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，有時(shí)還會(huì)作為“壓軸題”，解此類題通常需要熟練掌握相似三角形與圓相關(guān)的基本知識(shí)和基本技能，求解時(shí)注意運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行綜合分析、探究解題思路。圓中相似三角形的類型主要有：直接證明相似、證明等積式、探求線段長(zhǎng)、求三角函數(shù)。專題概述圓中常見的幾種相似三角形【規(guī)律與方法】

在圓中直接證明三角形相似是比較簡(jiǎn)單的題目，一般情況下只需要利用圓的相關(guān)性質(zhì)尋找三角形的兩角分別相等，從而證明兩個(gè)三角形相似。在圓中找相等角的方法(1)同弧或等弧所對(duì)圓周角相等。(2)圓內(nèi)接四邊形一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角(3)直徑垂直于弦,由垂徑定理找等角。(4)由直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及切線長(zhǎng)定理找相等的直角一、直接證明相似例

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：△DBE是等腰三角形；（2）求證：△COE∽△CAB．【規(guī)律與方法】

把等積式中的四條線段分別看做兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊，然后，通過證明這兩個(gè)三角形相似，從而得到所要證明的等積式，特別地，當(dāng)?shù)确e式中的線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系不容易看出時(shí)，可以把等積式轉(zhuǎn)化為比例式，也可以利用線段的等量代換尋找對(duì)應(yīng)邊，構(gòu)造三角形相似從而解決問題。例:如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC中點(diǎn)，直線OD與⊙O相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，P是⊙O外一點(diǎn)，P在直線OD上，連接PA，PC，AF，且滿足∠PCA=∠ABC．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）證明：EF2=4OD?OP；二、證明等積式【規(guī)律與方法】

近幾年中考圓的題目中，常會(huì)涉及到三角形相似求線段的長(zhǎng)。這類題的做題方法是利用已知的線段、線段比、直角三角形的兩邊以及所求的線段來尋找圓中相似的三角形或借助輔助線構(gòu)造相似三角形，從而求出相應(yīng)線段或利用等量代換求解。其圓中相似的模型一般分為A字型、X字型、母子型、旋轉(zhuǎn)型，但由于圓本身的知識(shí)點(diǎn)很多，學(xué)生在復(fù)雜的圖形中很難找出相似的模型。例：如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個(gè)點(diǎn)，四邊形OABC是平行四邊形，∠FAB=15°，連接OF交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作OF的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AF交直線CD于點(diǎn)H．（1）求證：CD是半圓O的切線；三、探求線段長(zhǎng)（2）若DH=6﹣3，求EF和半徑OA的長(zhǎng)．【規(guī)律與方法】

求三角函數(shù)值，必須在直角三角形中，所以應(yīng)將其所求的角放在或用轉(zhuǎn)化的思想等量代換到圖中已有的直角三角形中，利用三角形相似比直接求解；若題目當(dāng)中沒有直接給出直角三角形，那么通過作輔助線——遇到直徑連接弦、見切點(diǎn)連半徑、做高、利用等腰三角形的“三線合一”、垂徑定理等構(gòu)造直角三角形將所求的角等量代換到相應(yīng)的直角三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)求出相應(yīng)的線段比值。四、求三角函數(shù)例1：如圖，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB至P，使BP=OB．BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在PC上．設(shè)∠PCB=α，∠POC=β．求證：tanα?tan=．ABPOCDD中考鏈接B2．【中考·南通】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，AB＝6，AD＝5，則AE的長(zhǎng)為(

)A．2.5B．2.8C．3D．3.2C4．【中考·呼和浩特】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，CD⊥AB，DE∥BC，則圖中與△ABC相似的三角形有________個(gè)．425．【中考·蘇州】如圖，直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，過點(diǎn)P作PB⊥l，垂足為B，連接PA.設(shè)PA＝x，PB＝y(tǒng)，則x－y的最大值是________．6．如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，交OC于點(diǎn)E，連接CD，OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．①④7．【中考·聊城】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，作OD⊥AB交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BC，OD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作⊙O的切線CE，交OF于點(diǎn)E.(1)求證：EC＝ED；證明：連接OC.∵CE與⊙O相切，OC是⊙O的半徑，∴OC⊥CE.∴∠OCA＋∠ACE＝90°.∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠ACE＋∠A＝90°.∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°.∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°.∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的長(zhǎng)．8．【中考·襄陽】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點(diǎn)D，直線EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接AC，BC，PB：PC＝1：2.(1)求證：AC平分∠BAD；證明：如圖，連接OC.∵PE與⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.(2)探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面積．專題四相似三角形與函數(shù)綜合相似三角形與函數(shù)綜合問題，主要考查學(xué)生能否將相似三角形的性質(zhì)與判定融入到一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)中，在函數(shù)圖像中構(gòu)造相似圖形的能力。其中，二次函數(shù)的綜合問題是中考?jí)狠S題?？碱}型之一，考點(diǎn)分值12分，難度較大。主要考查形式為二次函數(shù)與相似三角形相結(jié)合，既考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，又考查學(xué)生的計(jì)算能力。此類問題出現(xiàn)后，大多學(xué)生都無從下手，主要是學(xué)生的綜合能力、解題技巧及實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)不足所致。專題概述考點(diǎn)分析:二次函數(shù)的綜合題中在第二三小問比較?？嫉较嗨迫切蔚膯栴}，這類題目出現(xiàn)在壓軸題目中的概率比較高，難度系數(shù)也是偏大的，對(duì)于學(xué)生的計(jì)算和綜合知識(shí)掌握要求比較高，我們要利用我們現(xiàn)學(xué)的相似的知識(shí)在平面直角坐標(biāo)系中研究。類型二

求字母的值類型一

求線段的長(zhǎng)類型三

求比值或比值的最值類型四

求點(diǎn)的坐標(biāo)解決此類題目的基本步驟與思路：1.抓住相似的兩個(gè)目標(biāo)三角形，找出已知條件(例如已知邊、已知角度、已知點(diǎn)坐標(biāo)等).2.找現(xiàn)成的等量關(guān)系，例如相等的角度從而確定下來對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.運(yùn)用分類討論思想，幾種不同相似的可能性逐一討論.4.充分運(yùn)用相似的性質(zhì)，相似比或者面積比等進(jìn)行列式計(jì)算。5.大膽設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)去做，充分利用點(diǎn)在函數(shù)圖像上從而代入函數(shù)表達(dá)式..注意事項(xiàng):1.相似三角形的字母對(duì)應(yīng)要注意2.分類討論思想不要多討論也不要漏掉，充分抓住已知條件分析.3.運(yùn)用相似比進(jìn)行計(jì)算時(shí)，邊之比千萬不能比錯(cuò)了4.求出有多個(gè)解時(shí)一定要去檢驗(yàn)是否符合要求.類型一相似與一次函數(shù)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(0，2)，且與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)P，Q在線段AB上，點(diǎn)M，N在線段AO上，且△OPM與△QMN是相似比為3∶1的兩個(gè)等腰直角三角形，∠OPM＝∠