二次函數(shù)與一元二次方程不等式（七大題型）（原卷版）

2．3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【題型歸納目錄】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法題型四：一次分式不等式的解法題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題題型六：不等式的恒成立與有解問題題型七：一元二次方程根的分布問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個(gè)末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集．知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式或的解集．二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．知識(shí)點(diǎn)五：利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；（2）由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組）；（3）求解所列出的不等式（組）；（4）結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．知識(shí)點(diǎn)六：一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．知識(shí)點(diǎn)七：簡(jiǎn)單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【典型例題】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式例1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2．（2023·廣東佛山·高一佛山市第二中學(xué)校考開學(xué)考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．例3．（2023·云南·高一?？计谥校┣蠼庀铝胁坏仁降慕饧?1)；(2)；變式1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）解下列不等式：(1)；(2)；(3).【方法技巧與總結(jié)】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）通過(guò)對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．（2）對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．（3）求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根．（4）根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．（5）根據(jù)圖象寫出不等式的解集．題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯例4．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．例5．（多選題）（2023·浙江杭州·高一?？计谀┮阎P(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為例6．（多選題）（2023·山西運(yùn)城·高一校考階段練習(xí)）已知一元二次方程的兩個(gè)根為，且，那么滿足的的取值有（

）A． B． C． D．變式2．（多選題）（2023·湖北恩施·高一恩施市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知不等式的解集為或，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．不等式的解集為或C． D．不等式的解集為或變式3．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A．B．是方程的根C．的解集為D．的解集為【方法技巧與總結(jié)】三個(gè)“二次”之間的關(guān)系（1）三個(gè)“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來(lái)研究．（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過(guò)一元二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來(lái)解決問題，關(guān)系如下：題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法例7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：（）；例8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：().例9．（2023·山東棗莊·高一?？茧A段練習(xí)）解關(guān)于的不等式:.變式4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知.(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式.變式5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式.變式6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．變式7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．變式8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，解關(guān)于的不等式．【方法技巧與總結(jié)】解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）討論二次項(xiàng)系數(shù)：二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．（2）判斷方程根的個(gè)數(shù)：討論判別式Δ與0的關(guān)系．（3）寫出解集：確定無(wú)根時(shí)可直接寫出解集；確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．題型四：一次分式不等式的解法例10．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）不等式的解集為.例11．（2023·甘肅臨夏·高一?？计谥校┎坏仁降慕饧癁?例12．（2023·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是．變式9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為.變式10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為．變式11．（2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考階段練習(xí)）不等式的解集是．變式12．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）不等式的解集為．【方法技巧與總結(jié)】分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題例13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某地每年銷售木材約萬(wàn)m3，每立方米的價(jià)格為元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬(wàn)m3，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于萬(wàn)元，則的取值范圍是．例14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）甲廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)元．要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，則x的最小值是．例15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）要在長(zhǎng)為800m，寬為600m的一塊長(zhǎng)方形地面上進(jìn)行綠化，要求四周種花卉（花卉的寬度相同），中間種草皮.要求草皮的面積不少于總面積的一半，則花卉寬度的范圍是.變式13．（2023·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其一邊長(zhǎng)x（單位m）的取值范圍是.變式14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）用一段長(zhǎng)為30的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18，要求菜園的面積不小于216，靠墻的一邊長(zhǎng)為，其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為.變式15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某青年旅社有200張床位，若每床每晚的租金為50元，則可全部出租；若將出租費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每晚提高10的整數(shù)倍，則出租的床位會(huì)減少10的相應(yīng)倍數(shù)張.若要使該旅社每晚的收入超過(guò)萬(wàn)元，則每個(gè)床位的定價(jià)的取值范圍是;變式16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）汽車在行駛過(guò)程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個(gè)主要因素．在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)同時(shí)剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過(guò)12m，乙車的剎車距離略超10m．已知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：，．則交通事故的主要責(zé)任方是（填“甲”或“乙”．【方法技巧與總結(jié)】利用不等式解決實(shí)際問題需注意以下四點(diǎn)（1）閱讀理解材料：應(yīng)用題所用語(yǔ)言多為文字語(yǔ)言，而且不少應(yīng)用題文字?jǐn)⑹銎^長(zhǎng)．閱讀理解材料要達(dá)到的目的是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實(shí)際背景，確定問題中量與量之間的關(guān)系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．（2）建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)（1）中的分析，把實(shí)際問題用“符號(hào)語(yǔ)言”“圖形語(yǔ)言”抽象成數(shù)學(xué)模型，并且，建立所得數(shù)學(xué)模型與已知數(shù)學(xué)模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便確立下一步的努力方向．（3）討論不等關(guān)系：根據(jù)（2）中建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型和題目要求，討論與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系，得到有關(guān)理論參數(shù)的值．（4）作出問題結(jié)論：根據(jù)（3）中得到的理論參數(shù)的值，結(jié)合題目要求作出問題的結(jié)論．題型六：不等式的恒成立與有解問題例16．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．例17．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.例18．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）命題“,使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．變式17．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.變式18．（2023·四川·高一?？茧A段練習(xí)）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若對(duì)任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.則t的取值范圍是.變式19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知.(1)如果對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.變式20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍;（2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式有解，求m的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個(gè)問題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)．題型七：一元二次方程根的分布問題例19．（2023·高一?？紗卧獪y(cè)試）已知關(guān)于x的方.當(dāng)為何值時(shí)，(1)方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1?(2)方程的一個(gè)根大于－1且小于1，另一個(gè)根大于2且小于3?例20．（2023·上海普陀·高一?？计谥校┮阎?，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)若兩根異號(hào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)，成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值．例21．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知一元二次方程．(1)寫出“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件；(2)寫出“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的一個(gè)必要而不充分條件，并給予證明．變式22．（2023·上海·高一專題練習(xí)）若，求證：方程和方程至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.變式23．（2023·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程，(1)若，求證：；(2)若時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】數(shù)形結(jié)合【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·福建泉州·高一泉州五中?？奸_學(xué)考試）如圖，已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，對(duì)稱軸為直線．分析下列5個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③；④為實(shí)數(shù)）；⑤為實(shí)數(shù)）．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A． B．或C．或 D．3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或4．（2023·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是“關(guān)于x的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．5 D．76．（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于的不等式的解集為單元素集，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或7．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一?？茧A段練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）甲?乙兩人解關(guān)于的不等式，甲寫錯(cuò)了常數(shù)，得到的解集為；乙寫錯(cuò)了常數(shù)，得到的解集為.那么原不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·福建福州·高一?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．B．不等式的解集為C．不等式的解集為或D．10．（2023·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則a的值可能為（

）A．0 B． C．1 D．11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的解集為D．的解集為或12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)解，則a的值可