競賽課件19：電阻等效方法ABC省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課百校聯(lián)賽優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)?wù)n件

電阻等效方法ABC1/29對稱法電流疊加法

Y-△變換法

對含有一定對稱性電路,經(jīng)過對等勢點(diǎn)拆、合，對稱電路“折疊”，將電路簡化為基本串并聯(lián)電路。

直流電路中各電源單獨(dú)存在時(shí)電路電流代數(shù)疊加后與全部電源同時(shí)存在電路電流分布是一樣，任一直流電路電流分布，總可歸結(jié)為只含某一個(gè)直流電源電路電流分布．這就是電流可疊加性．對于一些并不具備直觀對稱性電路，可依據(jù)電流可疊加性，重新設(shè)置電流分布方式，將原本不對稱問題轉(zhuǎn)化成含有對稱性問題加以處理。利用Y型聯(lián)接電阻與△型聯(lián)接電阻間等價(jià)關(guān)系結(jié)論，經(jīng)過電阻Y型聯(lián)接與△型聯(lián)接方式交換，到達(dá)簡化電路成單純串聯(lián)或并聯(lián)目標(biāo)．2/29ABCDEFHGACBDEGFHAC間等效電阻:

如圖所表示，12個(gè)阻值都是R電阻，組成一立方體框架，試求AC間電阻RAC、AB間電阻RAB與AG間電阻RAG．專題19-例1續(xù)解3/29ABCDEFHGAB間等效電阻:EGFHABCD續(xù)解4/29ABCDEFHGAG間等效電阻:FHCABEDG5/29AB電源外電路等效電阻:經(jīng)過電源電流由

如圖所表示正方形網(wǎng)格由24個(gè)電阻r0=8Ω電阻絲組成，電池電動勢ε=6.0V，內(nèi)電阻不計(jì)，求經(jīng)過電池電流．專題19-例26/29

波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1916年研究了一個(gè)有趣幾何圖形．他將如圖1所表示一塊黑色等邊三角形ABC每一個(gè)邊長平分為二，再把平分點(diǎn)連起來，此三角形被分成四個(gè)相等等邊三角形，然后將中間等邊三角形挖掉，得到如圖2圖形；接著再將剩下黑色三個(gè)等邊三角形按相同方法處理，經(jīng)過第二次分割就得到圖3圖形．經(jīng)三次分割后，又得到圖4圖形．這是帶有自相同特征圖形，這么圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊．它自相同性就是將其中一個(gè)小單元（比如圖4中△BJK）適當(dāng)放大后，就得到圖2圖形．假如這個(gè)分割過程繼續(xù)下去，直至無窮，謝爾賓斯基鏤墊中黑色部分將被不停地鏤空．

圖1圖2圖3圖4數(shù)學(xué)家對這類幾何圖形自相同性進(jìn)行了研究，創(chuàng)造和發(fā)展出了一門稱為“分形幾何學(xué)”新學(xué)科．近三十多年來，物理學(xué)家將分形幾何學(xué)研究結(jié)果和方法用于相關(guān)物理領(lǐng)域，取得了有意義進(jìn)展．我們現(xiàn)在就在這個(gè)背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形各邊組成電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻問題：設(shè)如圖1所表示三角形ABC邊長L0電阻均為r；經(jīng)一次分割得到如圖2所表示圖形，其中每個(gè)小三角形邊長電阻是原三角形ABC邊長電阻r二分之一；經(jīng)二次分割得到如圖3所表示圖形，其中每個(gè)小三角形邊長電阻是原三角形ABC邊長電阻r四分之一；三次分割得到如圖4所表示圖形，其中每個(gè)小三角形邊長電阻是原三角形ABC邊長電阻r八分之一．⑴試求經(jīng)三次分割后，三角形ABC任意兩個(gè)頂點(diǎn)間等效電阻．⑵試求按此規(guī)律作了n次分割后，三角形ABC任意兩個(gè)頂點(diǎn)間等效電阻專題19-例3ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGIJ解答7/29讀題對三角形ABC,任意兩點(diǎn)間電阻rA

BC對分割一次后圖形對分割二次后圖形可見,分割三次后圖形遞推到分割n次后圖形

8/29

如圖所表示平面電阻絲網(wǎng)絡(luò)中，每一直線段和每一弧線段電阻絲電阻均為r．試求A、B兩點(diǎn)間等效電阻．

小試身手題9ABABBABArAB9/29AB

三個(gè)相同均勻金屬圓圈兩兩相交地連接成如圖所表示網(wǎng)絡(luò)．已知每一個(gè)金屬圓圈電阻都是R，試求圖中A、B兩點(diǎn)間等效電阻RAB．小試身手題12三個(gè)金屬圈共有六個(gè)結(jié)點(diǎn)，每四分之一弧長電阻R/4.將三維金屬圈“壓扁”到AB所在平面并“抻直”弧線成下列圖BA10/29

正四面體框架形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖所表示，其中每一小段電阻均為R．試求RAB和RCD．

小試身手題15BAEFABHIE乙DCIGHL甲甲BAFDCIGHLEDC丙11/29解題方向:因?yàn)閷ΨQ，可將AB中垂線上各電勢點(diǎn)拆分，原電路變換為圖乙，我們看到這是一個(gè)含有自相同性無限網(wǎng)絡(luò)，其基本單元如圖丙BBnAnRxRRRR2R丙BA甲A乙當(dāng)n→∞時(shí)，多一個(gè)單元，只是使Rx按邊長同比增大，即

試求框架上A、B兩點(diǎn)間電阻RAB．此框架是用同種細(xì)金屬制作，單位長度電阻為ρ．一連串內(nèi)接等邊三角形數(shù)目可認(rèn)為趨向無窮，如圖所表示．取AB邊長為a，以下每個(gè)三角形邊長依次降低二分之一．小試身手題512/29解題方向:將原無限長立體正三棱柱框架沿左、右遞縮為三棱臺再“壓”在AB所在平面，各電阻連接如圖ABCAB

如圖所表示是由電阻絲連接成無限電阻網(wǎng)絡(luò)，已知每一段電阻絲電阻均為r，試求A、B兩點(diǎn)之間總電阻．小試身手題11ABC返回13/29專題19-例4ABABOOABO

田字形電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖所表示，每小段電阻絲電阻均為R，試求網(wǎng)絡(luò)中A、B兩點(diǎn)間等效電阻RAB．14/29

如圖所表示一個(gè)無限平面方格導(dǎo)線網(wǎng)，連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)導(dǎo)線電阻為r0，假如將A和B接入電路，求此導(dǎo)線網(wǎng)等效電阻RAB．專題19-例5BA15/29專題19-例6ba

有一無限大平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖所表示，全部六邊形每邊電阻均為R0，求間位結(jié)點(diǎn)a、b間等效電阻．16/29

如圖是一個(gè)無限大導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由無數(shù)個(gè)大小相同正三角形網(wǎng)眼組成，小三角形每邊電阻均為r，求把該網(wǎng)絡(luò)中相鄰A、B兩點(diǎn)接入電路中時(shí)，AB間電阻RAB．小試身手題4AB17/29

半徑為R薄壁導(dǎo)電球由連在A、B兩點(diǎn)上（AO⊥BO，O點(diǎn)是球心）兩根細(xì)導(dǎo)線接到直流電源上，如圖．經(jīng)過電源電流為I0．問在球面上C點(diǎn)處（OC⊥OA，OC⊥OB）電荷朝什么方向運(yùn)動？若在C點(diǎn)附近球面上作兩個(gè)小標(biāo)志，使它們相距R／1000，其連線垂直電荷運(yùn)動方向．問總電流中有多大部分經(jīng)過這兩標(biāo)志之連線？小試身手題6BAＯCi1i2C處單位長度上電流C處垂直于電荷運(yùn)動方向上一段弧是電流為18/29

如圖所表示電阻網(wǎng)絡(luò)包含兩個(gè)立方形，每邊電阻均為2r，求A、B間電阻．小試身手題10ABBACCBAC返回19/29ACIAIc甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙RaRbRcbIbY→△變換

△→Y變換

20/29專題19-例8abBAdcDCABAB間等效電阻:cabO2rr1.5r1.25rOBAC

如圖所表示,一個(gè)原來用12根相同電阻絲組成立方體框架，每根電阻絲電阻均為r，現(xiàn)將其中一根拆去，求A、B兩點(diǎn)間電阻．21/29

如圖所表示,甲中三端電容網(wǎng)絡(luò)為△型網(wǎng)絡(luò)元，乙中三端電容網(wǎng)絡(luò)為Ｙ型網(wǎng)絡(luò)元，試導(dǎo)出其間等效變換公式．小試身手題1ACqAqC甲BqBCABCACCBC乙acqaqcbqbCbCaCcOY→△變換

△→Y變換

22/29小試身手題2RABR/3R/8R/2R/6

電阻均為R九個(gè)相同金屬絲組成構(gòu)架如圖所表示，求構(gòu)架上A、B兩點(diǎn)間電路電阻．23/29如圖所表示，由九根相同導(dǎo)線組成一個(gè)三棱柱框架，每根導(dǎo)線電阻為R，導(dǎo)線之間接觸良好，求BD之間電阻值．小試身手題3BDRBR/3DR/62R/32R/1524/29小試身手題14ABRR/8R/4

如圖所表示，由電阻絲組成網(wǎng)絡(luò)中，每一段電阻絲電阻均為R，試求RAB．

25/29由7個(gè)阻值相同均為r電阻組成網(wǎng)絡(luò)元如圖所表示，由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成無限網(wǎng)絡(luò)如圖⑵所表示，試求P、Q兩點(diǎn)之間等效電阻．小試身手題13Rxr/4r/2rrrrrrr⑴⑵PQ26/29如圖所表示，一長為L圓臺形均勻?qū)w，兩底面半徑分別為a和b，電阻率為ρ．試求它兩個(gè)底面之間電阻．小試身手題7Lba本題解題方向:

由電阻定律出發(fā),用微元法求解!27/29小試身手題7lab本題解題方向: