高考數(shù)學(xué)-省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第四十講二項式定理1/91走進(jìn)高考第一關(guān)

基礎(chǔ)關(guān)

教材回歸

2/911.二項式定理

公式(a+b)n=_______________________________(n∈N*)所表示定理,叫做二項式定理,右邊多項式叫做(a+b)n____________.

二項展開式3/912.二項式定理特征

(1)項數(shù):二項展開式共有________項.

(2)通項公式:(a+b)n二項展開式中________________叫做二項展開式通項,用____________表示,則有________________.

(3)二項式系數(shù):二項展開式第r+1項二項式系數(shù)為______________.

n+1Tr+14/913.二項式系數(shù)性質(zhì)

(1)對稱性:在二項展開式中,首末兩端__________兩個二項式系數(shù)相等,即“等距離”5/91(2)增減性與最大值:二項式系數(shù)時,二項式系數(shù)是________;當(dāng)時,二項式系數(shù)是__________.

當(dāng)n是偶數(shù)時,____________取得最大值.

當(dāng)n是奇數(shù)時,中間兩項____________和__________相等,且同時取得最大值.

遞增遞減6/91(3)各二項式系數(shù)和

(a+b)n展開式各個二項式系數(shù)和等于________,

即=__________.

(4)二項展開式中,偶數(shù)項二項式系數(shù)和等于________________,即

+…=______________.

奇數(shù)項二項式系數(shù)和7/91考點陪練8/911.二項式(a+2b)n展開式中第二項系數(shù)是8,則它第三項二項式系數(shù)為(

)

A.24 B.18 C.16 D.6

答案:D

9/912.展開式中含x正整數(shù)指數(shù)冪項

數(shù)是(

)

A.0 B.2

C.4 D.6

答案:B

10/913.展開式中常數(shù)項是(

)

答案:B

11/914.展開式中,x偶次項系數(shù)之和是(

)

A.-2048 B.-1023

C.-1024 D.1024

答案:C

12/915.展開式中有理項個數(shù)為(

)

A.4 B.5

C.6 D.7

答案:A

13/91解讀高考第二關(guān)

熱點關(guān)

14/91類型一:求展開式中指定項和特定項

解題準(zhǔn)備:利用展開式中Tr+1可求以下問題:

(1)求指定項.(2)求特定項,如常數(shù)項,即字母次數(shù)為0.(3)求指定項、特定項系數(shù).

15/91典例1已知在展開式中,第6項為常數(shù)項.

(1)求n;

(2)求含x2項系數(shù);

(3)求展開式中全部有理項.

16/91[分析]

利用通項確定n,進(jìn)而依據(jù)指定項特征求解,通項公式為17/91∵r∈Z,∴k應(yīng)為偶數(shù),

∴k=2,0,-2,即r=2,5,8.

所以第3項,第6項與第9項為有理項,它們分別為405x2,-61236,295245x-2.

18/91[評析]

(1)本題是先求二項式指數(shù),再求與通項相關(guān)其它問題.普通地,解這類問題能夠分兩步完成:第一步是依據(jù)所給出條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r隱含條件);第二步是依據(jù)所求指數(shù),再求所求解項.另外,解本題時,為降低計算中錯誤,宜把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

19/91(2)題設(shè)展開式中有常數(shù)項條件,實際上隱含了未知數(shù)零次項存在,所以n-2r=0,所以,由有常數(shù)項條件可求得n.反之,若已知n,求展開式中常數(shù)項時,可先假設(shè)展開式第r+1項為常數(shù)項,合并通項中同一字母指數(shù)得f(r),然后令f(r)=0,從中求得r非負(fù)整數(shù)值,即得所求項.

20/91(3)求二項展開式中有理項,普通是依據(jù)通項公式所得到項,其全部未知數(shù)指數(shù)恰好都是整數(shù)項.解這類型問題必須合并通項公式中同一字母指數(shù),依據(jù)詳細(xì)要求,令其屬于整數(shù),再依據(jù)數(shù)整除性來求解.若求二項展開式中整式項,則其通項公式中同一字母指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù).求解方式與求有理項一致.

21/91類型二:二項式系數(shù)性質(zhì)

解題準(zhǔn)備:①求二項式系數(shù)最大項:

假如n是偶數(shù),則中間一項[第()項]二項式系數(shù)最大;

假如n是奇數(shù),則中間兩項[第項與第項]二項式系數(shù)相等且最大;

22/91②求展開式系數(shù)最大項:如求(a+bx)n(a,b∈R)展開式中系數(shù)最大項,普通是采取待定系數(shù)法.設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1,A2,…,An+1,且第r+1項系數(shù)最大,應(yīng)用

解出r來,即得系數(shù)最大項.

23/91典例2已知展開式二項式系數(shù)和比(3x-1)n展開式二項式系數(shù)和大992,求展開式中.

(1)二項式系數(shù)最大項;

(2)系數(shù)絕對值最大項.

[分析]

依據(jù)二項系數(shù)性質(zhì),列方程求解n,系數(shù)絕對值最大問題需要列不等式組求解.

24/9125/91(2)設(shè)第r+1項系數(shù)絕對值最大,

26/91[評析]

在利用二項式定理時不能忽略展開式中系數(shù)正負(fù)符號.當(dāng)然還需考慮二項式系數(shù)與展開式某項系數(shù)之間差異:二項式系數(shù)只與二項式指數(shù)和項數(shù)相關(guān),與二項式無關(guān);而項系數(shù)不但與二項式指數(shù)和項數(shù)相關(guān),還與二項式相關(guān).值得注意是,本例中是求“系數(shù)絕對值最大項”,若改為“系數(shù)最大項”又該怎樣處理?因為第4項系數(shù)為負(fù)值,所以系數(shù)最大項必是第3項或第5項中某一項.比較這兩項系數(shù)大小即可.

27/91類型三:求展開式中各項系數(shù)和

解題準(zhǔn)備:1.對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m,(a、b、c∈R)式子求其展開式各項系數(shù)之和,慣用賦值法,只需令x=1即可;對(ax+by)n(a,b∈R)式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.

28/912.普通地,若,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)之和為

偶數(shù)項系數(shù)之和為

29/9130/91

[解]

所求結(jié)果與各項系數(shù)相關(guān),能夠考慮用“特殊值”法,整體處理.

31/9132/91類型四:二項式定理應(yīng)用

解題準(zhǔn)備:新課程標(biāo)準(zhǔn)要求能用二項式定理證實一些簡單問題,在一些綜合性試題中,尤其是與數(shù)列?不等式相關(guān)一些問題中,用二項式定理證實不等式有時顯得簡便?靈活,也能突出表達(dá)新課標(biāo)高考“能力立意”高考動向.33/91典例4(1)求證:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.

(2)求除以9余數(shù).

[分析]

將已知式子適當(dāng)整理化簡,再依據(jù)題目要求選擇適當(dāng)二次展開式求解.

34/9135/9136/91[評析]

利用二項式定理處理整除性問題時,關(guān)鍵是巧妙地結(jié)構(gòu)二項式,其基本思緒是:要證實一個式子能被另一個式子整除,只要證實這個式子按二項式定理展開后各項均能被另一個式子整除即可.所以,普通將被除式化為含有相關(guān)除式二項式,然后再展開,此時常采取“配湊法”、“消去法”配合整除相關(guān)知識來處理.

37/91笑對高考第三關(guān)

成熟關(guān)

名師糾錯

38/91

誤區(qū)一:了解概念失誤

典例1求2100除以9余數(shù).顯然,2

100除以9余數(shù)為-2.

39/91[剖析]

錯解中了解概念失誤,誤認(rèn)為-2就是余數(shù),其實不然,余數(shù)一定是正整數(shù),于是,對結(jié)果要進(jìn)行轉(zhuǎn)化,由

能夠看出,除以9余數(shù)為7.

誤區(qū)二:混同項系數(shù)與二項式系數(shù)

40/91典例2將二項式展開式按x降冪排列,

若前三項系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中含x項.

41/91[剖析]

錯解中混同了項系數(shù)與二項式系數(shù),其實,題目要求是項系數(shù),而錯解中用是二項式系數(shù).

42/91誤區(qū)三:混同第r項與第r+1項

典例3設(shè)試問展開式中第幾項最大?

[錯解]

設(shè)通項為Tr+1項最大,43/91[剖析]

二項展開式通項公式是第r+1項,而不是第r項;錯解就誤認(rèn)為是第r項,其實,應(yīng)該是展開式中第30項最大.

44/91解題策略

45/91

依據(jù)歷年來高考命題在本部分考查及綱領(lǐng)要求,本單元命題特點應(yīng)保持穩(wěn)定,所以二項式定理仍為必考內(nèi)容,其中考查通項相關(guān)知識點可能性較大,所以學(xué)習(xí)時宜采取以下策略:

46/911.利用二項式定理一定要切記通項,注

意即使相同,但詳細(xì)到它們展開式某一項時是不相同,我們一定要注意次序問題,另外二項展開式二項式系數(shù)與該項(字母)系數(shù)是兩個不一樣概念,前者只指,而后者是除字母外部分.

47/912.對于二項式系數(shù)問題,應(yīng)注意以下幾點:

(1)求二項式全部項系數(shù)和,可采取“特殊值取代法”,通常令字母變量值為1;

(2)關(guān)于組合恒等式證實,常采取“結(jié)構(gòu)法”——結(jié)構(gòu)函數(shù)或結(jié)構(gòu)同一問題兩種算法;

(3)證實不等式時,應(yīng)注意利用放縮法.48/913.求二項展開式中指定項,通常是先依據(jù)已知條件求r,再求Tr+1,有時還需先求n,再求r,才能求出Tr+1.

4.有些三項式展開式問題能夠經(jīng)過變形變成二項式問題加以處理;有時也能夠經(jīng)過組合處理,但要注意分類清楚、不重不漏.

5.對于二項式系數(shù)問題,首先要熟記二項式系數(shù)性質(zhì),其次要掌握賦值法,賦值法是處理二項式系數(shù)問題一個主要伎倆.

6.近似計算要首先觀察準(zhǔn)確度,然后選取展開式中若干項.

49/917.用二項式定理證實整除問題,普通將被除式變?yōu)橄嚓P(guān)除式二項式形式再展開,常采取“配湊法”配合整除相關(guān)知識來處理.

50/91快速解題

51/91[分析]

第(1)小題可先求出a0+a1+…+a7,再求a0+a2+a4+a6和a1+a3+a5+a7;第(2)小題可使兩項結(jié)合,使之含有二項式形式,然后依通項公式求出r可得.

52/9153/9154/9155/91[方法與步驟]

第(1)小題詳解雖不簡便,但給出了怎樣求奇數(shù)項與偶數(shù)項系數(shù)和方法.第(2)小題將x與結(jié)合后展開,因為項數(shù)不多,展開后反而易算.快解第(1)小題更簡便,看作(1+2x)7系數(shù)即可.第(2)小題利用通項公式,依然是考

慮偶次冪.

56/91[得分主要步驟]

詳解中第(1)小題要算出①②③④四式來,還要說明a1、a3、a5、a7都小于零,第(2)小題要說明常數(shù)在偶次冪展開中出現(xiàn),結(jié)果便不難得到.[易丟分原因]

相關(guān)二項式題目,只要符號不錯,普通都能做對.易丟分在利用通項公式求r時,r值與r對應(yīng)項,一些同學(xué)可能會求錯.

57/91教師備選

58/91

三項展開式例談

經(jīng)過學(xué)習(xí)二項式定理,對這類問題已比較熟悉,但對相關(guān)三項式問題,可能感到困難,下面以一道題為例,淺析三項展開式解答策略.

59/91典例展開式中常數(shù)項為________.

一、利用二項展開式

先把三項式中某兩項視為一項,用二項式定理展開,然后利用二項展開式求解.60/9161/91二、轉(zhuǎn)化為二項式

常見能轉(zhuǎn)化為二項式三項式兩種形式:一是三項式恰好是二項式平方;二是三項式可分解因式.

所以本題可轉(zhuǎn)化為二項式問題,把所求問題轉(zhuǎn)化為求分子中含x5項系數(shù).

62/9163/91三?利用組合思想

利用組合思想,能夠簡捷地求一些三項式系數(shù)問題.

解法3:把看成五個之積,則要得到常數(shù)項,有三種情況:

64/91(1)五個因式都取

(2)五個因式中,三個取一個取一個取

(3)五個因式中,一個取兩個取兩個取

由此得到所求式常數(shù)項為65/9166/91課時作業(yè)四十

二項式定理

67/91一?選擇題

1.(能力題,中)若對于任意實數(shù)x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,則a2值為(

)A.3 B.6 C.9 D.12解析:設(shè)x-2=t,則x=t+2,原式化為(2+t)3=a0+a1t+a2t2+a3t3,∴a2=2=6,故選B.答案:B68/912.★(·新創(chuàng)題,易)在展開式中,整式項共有(

)

A.130項 B.133項

C.項 D.項

答案:B69/9170/913.(基礎(chǔ)題,易)(1-x)9展開式中,系數(shù)最大項為(

)

A.第3項 B.第4項

C.第5項 D.第5項或第6項

答案:C71/914.(能力題,中)若(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,令f(n)=a0+a2+a4+…+a2n,則f(1)+f(2)+…+f(n)等于(

)

答案:D72/9173/915.(能力題,中)若多項

式x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,則a9=(

)

A.9 B.10 C.-9 D.-10

答案:D74/916.(能力題,中)在(x2+3x+2)5展開式中x系數(shù)為(

)

A.160 B.240 C.360 D.800

答案:B75/9176/91二?填空題7.(能力題,中)設(shè)(x+1)4(x+2)5=a0+a1(x+3)+a2(x+3)2+…+a9(x+3)9,則(a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=________.答案:0

77/91解析:令x=-2,∵a0+a1+a2+…+a9=(-2+1)4(-2+2)5=0,∴(a0+