積分變換2-1省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第二章Laplace變換§2.1

、Laplace變換概念§2.3、Laplace逆變換§2.2、Laplace變換性質(zhì)§2.5、Laplace變換應(yīng)用1/301.問題提出Fourier變換Laplace變換§2.1

、Laplace變換概念2/30對于一個(gè)函數(shù)j(t),有可能因?yàn)椴粷M足傅氏

變換條件,因而不存在傅氏變換.

所以,首先將j(t)乘上u(t),這么t小于零部

分函數(shù)值就都等于0了.

而大家知道在各種函數(shù)中,指數(shù)函數(shù)ebt(b>0)上升速度是最快了,因而e-bt下降速度也是最快.所以,幾乎全部實(shí)用函數(shù)j(t)乘上u(t)

再乘上e-bt后得到j(luò)(t)u(t)e-bt傅氏變換都存在3/30tf(t)Otf(t)u(t)e-btO4/30對函數(shù)j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏變換,可得5/30定義

設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t0時(shí)有定義,而且積分在s某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定函數(shù)可寫為6/30稱此式為函數(shù)f(t)（Laplace）拉普拉斯變換式(簡稱拉氏變換式),記為

F(s)=L[f(t)]F(s)稱為f(t)拉氏變換(或稱為象函數(shù)).而f(t)稱為F(s)拉氏逆變換(或象原函數(shù))記為

f(t)=L

-1[F(s)]也可記為f(t)

F(s).組成一對拉氏變換對7/30例1求單位階躍函數(shù)解：依據(jù)拉氏變換定義,有這個(gè)積分在Re(s)>0時(shí)收斂,而且有8/30例2求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt拉氏變換(k為實(shí)數(shù)).

依據(jù)(2.1)式,有這個(gè)積分在Re(s)>k時(shí)收斂,而且有其實(shí)k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k)9/30Laplace變換存在定理：若函數(shù)f(t)滿足:

1,在t0任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；

2,當(dāng)t時(shí),f(t)增加速度不超出某一指數(shù)函

數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

成立。2.Laplace變換存在定理10/30則f(t)拉氏變換

在半平面Re(s)>c上一定存在,右端積分在Re(s)

c1>c上絕對收斂而且一致收斂,并且在Re(s)>c半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).11/30MMectf(t)tO12/30證由條件2可知,對于任何t值(0

t<),有

|f(t)e-st|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-c

e>0(即b

c+e=c1>c),則

|f(t)e-st|Me-et.

所以依據(jù)含參量廣義積分性質(zhì)可知,在Re(s)

c1>c上拉氏變換積分不但絕對收斂而且一致收斂.13/30在(2.1)式積分號內(nèi)對s求導(dǎo),則由此可見,上式右端積分在半平面Re(s)

c1>c內(nèi)也是絕對收斂且一致收斂,從而微分與積分能夠交換14/30這就表明,F(s)在Re(s)>c內(nèi)是可微.依據(jù)復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)理論可知,F(s)在Re(s)>c內(nèi)是解析.15/30例3求f(t)=sinkt(k為實(shí)數(shù))拉氏變換16/30同理可得17/30例4求冪函數(shù)f(t)=tm(常數(shù)m>-1)拉氏變換.18/30例5求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)拉氏變換。bOb2b3b4btf(t)19/3020/3021/3022/30滿足拉氏變換存在定理?xiàng)l件函數(shù)f(t)在t=0

處有界時(shí),積分

中下限取0+或0-不會影響其結(jié)果.但假如f(t)在t=0處包含脈沖函數(shù)時(shí),就必須明確指出是0+還是0-,因?yàn)?3/30當(dāng)f(t)在t=0處有界時(shí),則當(dāng)f(t)在t=0處包含了脈沖函數(shù)時(shí),則24/30為了考慮這一情況,需將進(jìn)行拉氏變換函數(shù)

f(t),當(dāng)t0時(shí)有定義擴(kuò)大為當(dāng)t>0及t=0任意一

個(gè)鄰域內(nèi)有定義.這么,原來拉氏變換定義但為了書寫方便起見,仍寫成(2.1)式形式.25/30例6求單位脈沖函數(shù)d(t)拉氏變換.26/30例7求函數(shù)f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b>0)拉氏變換.27/30在今后實(shí)際工作中,我們并不要求用廣義積分方法來求函數(shù)拉氏變換,有現(xiàn)成拉氏變換表可查,就如同使用三角函數(shù)