數(shù)學人教A版（2023）選擇性必修第一冊1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（共23張ppt）

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1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題

第一章空間向量與立體幾何

人教A版2023選修第一冊

第一課時研究距離問題

學習目標

1.掌握點到直線的距離公式、點到平面的距離公式．

2.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題．

3.能描述用向量方法解決距離問題的程序，體會向量方法在研究距離問題中的作用.

01情景導入

PARTONE

情境導入

如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路,某人要在點A處，修建一個蔬菜存儲庫。如何在公路上選擇一個點,修一條公路到達A點,要想使這個路線長度理論上最短,應該如何設計？

這個問題就需要我們來研究空間中的距離。

情境導入

常見的空間中的距離有：點到直線、點到平面、兩條平行線及兩個平行平面的距離;

常用的求解距離的方法有：傳統(tǒng)方法和向量法.

思考：空間中包括哪些距離求解空間距離常用的方法有哪些

02用空間向量研究距離問題

PARTONE

空間中點到直線的距離

探究1：已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，直線外一點.如何利用這些條件求點到直線的距離？

如圖，向量在直線上的投影向量為，則是直角三角形.因為都是定點，所以，與的夾角都是確定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出點到直線的距離.

空間中點到直線的距離

設,則向量在直線上的投影向量.

在中，由勾股定理，得

思考1：類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？

求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.

∴兩條平行直線之間的距離點到直線的距離

空間中點到平面的距離

如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點，過點作平面的垂線，交平面與點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上投影向量的長度.因此

探究2：如何求平面α外一點點到平面α的距離？

空間中點到平面的距離

平行于平面的直線l到平面α的距離

如果一條直線l與一個平面α平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解.

思考2：類似地，如何求平行于平面的直線l到平面α的距離？兩個平行平面之間的距離呢？

兩個平行平面之間的距離

如果兩個平面α,β互相平行,在其中一個平面α內(nèi)任取一點P,可將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解.

線面、面面距離平面外一點到平面的距離

l

03新知應用

PARTONE

新知應用

題型一：點到直線的距離（平行線的距離）

1.在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是線段DC1的中點，求點M到直線AD1的距離．

解：如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，M(0，，).

＝(－a,0，a)，＝(0，－，)，

直線AD1的一個單位方向向量＝(－，0，)，

||2＝a2，·＝a.

所以點M到直線AD1的距離d＝＝＝a.

新知應用

用向量法求點到直線的距離的一般步驟

(1)建立空間直角坐標系；

(2)求直線的單位方向向量；

(3)求所求點與直線上某一點所構成的向量；

(4)代入點線距公式求距離.

題型一：點到直線的距離（平行線的距離）

新知應用

題型一：點到直線的距離（平行線的距離）

新知應用

題型一：點到平面的距離

3.如圖，長方體的棱長DA、DC和的長分別為1、2、1．求：

(1)頂點B到平面DA1C1的距離；

(2)直線B1C到平面DA1C1的距離．

解：以點D為原點，分別以、與為x、y、z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則D(0,0,0)，

A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),則=(，

設平面DA1C1的法向量為，所以,因為，由，得，

不妨取y=1，則.

(1)向量，所以B到平面DA1C1的距離；

新知應用

題型二：點到平面的距離

3.如圖，長方體的棱長DA、DC和的長分別為1、2、1．求：

(1)頂點B到平面DA1C1的距離；

(2)直線B1C到平面DA1C1的距離．

解：以點D為原點，分別以、與為x、y、z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則D(0,0,0)，

A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),則=(，

設平面DA1C1的法向量為，所以,因為，由，得，

不妨取y=1，則.

(2)直線B1C到平面DA1C1的距離等于B1到平面DA1C1的距離．因為=(1,0,0)，所以B1到平面DA1C1的距離==．

新知應用

題型二：點到平面的距