2006年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽卷

2006年湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(A卷選擇題(6,36分記[x表示不大于x的最大整數(shù).

=26+42集合A={x|x2-[x]=2},B={x||x|<2}.則A∩B=( ).(A)(-2 (B)[-2,2 ,- (D){ fx(2x52x453x3-57x542006

注:原卷中選項(xiàng)(A)(D),這里8,再取分點(diǎn)為頂點(diǎn)(不包括正方形的頂點(diǎn)),可以得到不同的三角形()個(gè).(A)1 (B)2則 111-2

= ) (C)3 (D)4(A)- (C)2 (D)2正方形各邊上.t,則t的取值區(qū)間是().(A)[1,2 (B)[2,4(C)[1,3 (D)[3,61,在正方體ABCD-A1B1C1,P為棱AB上一點(diǎn),過點(diǎn)P在空間作l,l與平面ABCD和ABC1D1均66

填空題(6,36分等差數(shù)列{an的前m90,2m項(xiàng)和為360.則前4m項(xiàng)和 ,xy∈-ππa∈R,, x3+sinx-2a=04y3+1sin2y+a=2則cos(x+2y)的值 100把椅子排成一圈,n個(gè)人坐在n個(gè)人中的一個(gè)坐在相鄰的椅子上.則n的最小值為.線條數(shù)是 ) 10.在△ABC中,AB ,AC , 有一點(diǎn)D使得AD平分BC等腰Rt△ABC中,斜邊BC= , ∠ADB是直角,比值S△ADB能寫成m的形S C,另一個(gè)焦點(diǎn)在線段4上,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)AB.則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(焦點(diǎn)在x軸上4

(mn是互質(zhì)的正整數(shù)).則m+n ABCD-A1B1C1D112x22x24242

33+46+6+4

===

正方體.ABCD與過頂點(diǎn)ABC1D1的圓上的點(diǎn)Q之間的 n,n次拋擲所出2n,則算過關(guān),前3關(guān)的概率 解答題(78分(16分t,使(n+t)n+t>(1+n)3nntt 對(duì)任何正整數(shù)n恒成立?證明你的結(jié)論.(18分xyz為正實(shí)數(shù)f(x,y,z)=(1+2x)(3y+4x)(4y+3z)(2z+的最小值 (22分ABa2+

令t 111-1,則2t2+2t-55=2ft)=[(2t22t-55)(t3+t-1)-12=(-1)2006=,t4排除選項(xiàng)(A)(C);,可得t=2,排除選項(xiàng)(D.C1AB-D45°,,1(a>b>0a2

b21

同于AB的動(dòng)點(diǎn),且滿足AP+BP=λ(AQ+BQ)(λ∈R,|λ|>1)APBPAQBQ

l2條BC42,設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為D.4 4k1

k 方程為a2+b2=1(a>b>0).所以求證k1+k2+k3+k40 F1F2分別為橢圓和雙曲線的右,PF2∥QF1,k2+k2+k2+ (22分)將m,

|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a即8424a2+2故|AD|=2a-|AC|=222|CD|2=8+16=24,c2=6,b2=a2-c2= 2如下方法安排入住A1A2,?Ann1間:,17

6+4

y1為所求A1,從余下的客人中安排217A2;,第幾號(hào)房就安排幾位客人和余下的7入住.,最后一間房間Ann位客人試求客人的數(shù)和x0∈A,排除選項(xiàng)(A)(Bx=-13,故選(C

解法1:,注意到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不在正方形的同一邊上,使三個(gè)頂點(diǎn)分別在其上,有4種方法.,在選出的三條邊上各選一點(diǎn)73法4×731372個(gè)另外,若三角形有兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形的一條邊,4種方法;再在這條邊上任取21種方法;然后在其余的21個(gè)分點(diǎn)中任取,可得不同三角形的個(gè)數(shù)為1372+1764=3解法2:C3-4C73=3 B為“第n次過關(guān)成功”,第n次游戲中,基本事Sk=a1+a2+?+ak易知SmS2m-SmS3m-S2m成等差數(shù)列S3m=

1關(guān):A12(即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1和2兩種情況),所以,過此關(guān)的概率為又易知S2m-SmS3m-S2mS4m-S3m成等差

=1-

=1-6

=23,S4m3S3m-3S2m+Sm18.ft)=t3+sint.ft在

π,π

2關(guān):A2x+yaa234時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和單調(diào)遞增的

PB=1-

=1

62=6由原方程組可得f(x)=f(-2y)=2a又x,-2y∈-ππ,x=-2y,x2y, cosx2y)9.n,每?jī)扇酥虚g至多有兩把空椅子.,n最小.,,可得一等差數(shù)列:1,4,7,?,100.,10013(n-1nBCEAD=x2

3關(guān):A3x+yz=aa345678PB=1-PA=1-56=20 ×B P×P=100×B 三、13取tn)=(11)(22)(3,3,t123時(shí)均不符合要求.t4,若n1,式①顯然成立.44nn(n+1)3=nn-2(2n)2(2n+2)3由中線公式得AE 57 ≤(n-2)n+2×2n+3(2n+2)+

n+2由勾股定理得120-15+57= x,解 n2+8n+ n+=(n+4)n+4

n+n+<

n2+8n+n+

n+于是,m=AD =27

2AE 故m+n=27+38=65. 14.在取定y的情況下,有32(1+2x)(3y+4x)=8x2+(6y+4)x+332

=8x+3y+6y+xOQ

,OP32 32

+6y+4= +2)266 當(dāng)且僅當(dāng)x 時(shí),上式等號(hào)成立由三角形不等式有 OQ-OP , 號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)OPQ三點(diǎn)共線時(shí)成立 同理,(4y+3z)(2z+1)=6z+4y+8y+ 8,PAB,OP8ABC1D1Q時(shí)滿足要求

+3)212.100

當(dāng)且僅當(dāng)z 2y時(shí),上式等號(hào)成立3(1+2x)(3y+4x)(4y+3z)(2z+

現(xiàn)的可能性是相等的Ann次過關(guān)失敗”

≥(6y+2)2(8y+3)y22 +

a0=man-1=48×2 72 因?yàn)榈趉號(hào)客房Ak48×2=194+

ak-1-k,7

k-

-

=k+ak-1-k,即當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí),第二個(gè)不等式中等號(hào)成立 a=6(

-k) k-3因此,當(dāng)x ,y=1,z=3時(shí),f(x,y,z) 變形得ak+6k-36=6[ak-1+6(k-1)-36]3 1941123

bk=ak6k-36,15.(1設(shè)Px1y1)Qx2y2

q=

=a-36=m-36,

=

2x1

2b2

y6 y

n-

n-k1+k2=

+a+

-a=

2=2· n-1-36=7n- 2b2

x1-

n- 代入通項(xiàng)公式得7n-42=(m- 7n(n-同理,k3+k4=- y2 即m=36 6n- 2OP=AP+BP=λ(AQ+BQ)=

6n1|(n-6).OP=λOQOPQ三點(diǎn)共線

n-06n- <10

n>

,n

=x2

m

36-7

6位客人;k1+k2+k3+k4

30-

A22

=6位客人客房A33

2+y2=

24-

18-由OP=λOQ,得(

,y)=λ(

,y) =6位客人;客房A4入住4 =6位

=1x,

=1y 人;A5512-56位客人; λ λ

1+y1=λ2

又點(diǎn)P在雙曲線上, 住6位客人 為了幫助全國(guó)各地中學(xué)生參加2007為了幫助全國(guó)各地中學(xué)生參加2007出了服務(wù)于全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的專刊,聘請(qǐng)多名教練員為?？峁┠M試題(有詳細(xì)的解答),歡迎讀者訂購(gòu)。個(gè)人訂3190元(含郵費(fèi));集體訂閱請(qǐng)與編輯部李老師聯(lián)系。電話編

(歐陽(yáng)新龍?zhí)峁?/p>

2λ2+1 2λ2-1 a,y1 bPF2∥QF1