自動(dòng)控制原理第三章3-勞斯公式省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

系統(tǒng)穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)第1頁(yè)一、穩(wěn)定基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)主要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行首要條件。控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中，總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些原因擾動(dòng)，比如負(fù)載和能源波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)改變、環(huán)境條件改變等。假如系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會(huì)在任何微小擾動(dòng)作用下偏離原來平衡狀態(tài)，并隨時(shí)間推移而發(fā)散。所以，怎樣分析系統(tǒng)穩(wěn)定性并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定辦法，是自動(dòng)控制理論基本任務(wù)之一。穩(wěn)定充要條件和屬性

穩(wěn)定基本概念：

設(shè)系統(tǒng)處于某一起始平衡狀態(tài)。在外作用影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當(dāng)外作用消失后，假如經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間它能回復(fù)到原來起始平衡狀態(tài)，則稱這么系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。不然為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第2頁(yè)線性系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：

系統(tǒng)特征方程根（即傳遞函數(shù)極點(diǎn)）全為負(fù)實(shí)數(shù)或含有負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根。或者說，特征方程根應(yīng)全部位于s平面左半部。穩(wěn)定充要條件和屬性第3頁(yè)充要條件說明

假如特征方程中有一個(gè)正實(shí)根，它所對(duì)應(yīng)指數(shù)項(xiàng)將隨時(shí)間單調(diào)增加；假如特征方程中有一對(duì)實(shí)部為正共軛復(fù)根，它對(duì)應(yīng)項(xiàng)是發(fā)散周期振蕩。上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定。假如特征方程中有一個(gè)零根，它所對(duì)應(yīng)于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)；假如特征方程中有一對(duì)共軛虛根，它對(duì)應(yīng)于等幅周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。從控制工程角度認(rèn)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面第4頁(yè)對(duì)于一階系統(tǒng)，只要都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定。對(duì)于二階系統(tǒng)，只有都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)）對(duì)于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣。于是就有了以下描述代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。充要條件說明注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)，與輸入輸出信號(hào)無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點(diǎn)相關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)。第5頁(yè)二、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)特征方程為則該系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件為：特征方程全部系數(shù)為正值；由特征方程系數(shù)組成勞斯陣第一列也為正。勞斯判據(jù)第6頁(yè)設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-8412勞斯表介紹勞斯表特點(diǎn)4每?jī)尚袀€(gè)數(shù)相等1右移一位降兩階2行列式第一列不動(dòng)3次對(duì)角線減主對(duì)角線5分母總是上一行第一個(gè)元素7第一列出現(xiàn)零元素時(shí)，用正無窮小量ε代替。6一行可同乘以或同除以某正數(shù)ε2+8ε7ε-8(2+8)-ε7ε27ε127

-8ε第7頁(yè)勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定必要條件:有正有負(fù)一定不穩(wěn)定!缺項(xiàng)一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定充分條件:勞斯表第一列元素不變號(hào)!若變號(hào)系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號(hào)次數(shù)為特征根在s右半平面?zhèn)€數(shù)!特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于零!穩(wěn)定嗎？第8頁(yè)勞斯判據(jù)例子[例]：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。[解]：勞斯陣為：穩(wěn)定充要條件為：均大于零且第9頁(yè)特殊情況下勞斯陣列列寫及結(jié)論：用一個(gè)正數(shù)去乘或除某整行，不會(huì)改變系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論；勞斯陣第一列全部系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點(diǎn)，極點(diǎn)個(gè)數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號(hào)改變次數(shù)。[例]：系統(tǒng)特征方程為：-130（2）100（）勞斯陣第一列有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定。其符號(hào)改變兩次，表示有兩個(gè)極點(diǎn)在s右半平面。勞斯判據(jù)特殊情況第10頁(yè)勞斯判據(jù)特殊情況勞斯陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。[處理方法]：用很小正數(shù)代替零那一項(xiàng)，然后據(jù)此計(jì)算出勞斯陣列中其它項(xiàng)。若第一次零（即）與其上項(xiàng)或下項(xiàng)符號(hào)相反，計(jì)作一次符號(hào)改變。[例]：令則

故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。第11頁(yè)勞斯陣某行系數(shù)全為零情況。表明特征方程含有大小相等而位置徑向相反根。最少要下述幾個(gè)情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號(hào)相反一對(duì)實(shí)根，或一對(duì)共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸兩對(duì)共軛復(fù)根。勞斯判據(jù)特殊情況比如:[處理方法]：可將不為零最終一行系數(shù)組成輔助方程，對(duì)此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程系數(shù)代替全零行。大小相等，位置徑向相反根能夠經(jīng)過求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)。第12頁(yè)勞斯表出現(xiàn)零行設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3怎樣求對(duì)稱根?②由零行上一行組成輔助方程:①

有大小相等符號(hào)相反特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行s2+1=0對(duì)其求導(dǎo)得零行系數(shù):2s1211繼續(xù)計(jì)算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯(cuò)啦!!!由綜合除法可得另兩個(gè)根為s3,4=-2,-3解輔助方程得對(duì)稱根:s1,2=±j勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定第13頁(yè)[例]：168168130380從第一列都大于零可見，好象系統(tǒng)是穩(wěn)定。注意此時(shí)還要計(jì)算大小相等位置徑向相反根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：勞斯判據(jù)特殊情況輔助方程為：，求導(dǎo)得：，或，用1，3，0代替全零行即可。此時(shí)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定?？刂乒こ躺险J(rèn)為是不穩(wěn)定。第14頁(yè)三、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)應(yīng)用

判定控制系統(tǒng)穩(wěn)定性[例3-1]系統(tǒng)特征方程為：，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：排列勞斯陣以下：因?yàn)?，，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。因?yàn)閯谒龟嚨谝涣杏袃纱畏?hào)改變，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。第15頁(yè)[例3-2]系統(tǒng)特征方程為：該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個(gè)極點(diǎn)并畫出極點(diǎn)分布圖。[解]：勞斯陣以下行全為零。由前一行系數(shù)組成輔助方程得：其導(dǎo)數(shù)為：將4,48或1,12代替行，可繼續(xù)排列勞斯陣以下：

因?yàn)樾腥珵榱悖蕴卣鞣匠瘫赜刑厥飧?。求解以下?/p>

因?yàn)橛刑卣鞲鶠楣曹椞摂?shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定第16頁(yè)設(shè)剩下一個(gè)根為-p。則：，整理得：比較系數(shù)得：-p=-2極點(diǎn)分布以下：注意：勞斯判據(jù)實(shí)際上只能判斷代數(shù)方程根是在s平面左半閉平面還是在右半開平面。對(duì)于虛軸上根要用輔助方程求出。若代數(shù)方程有對(duì)稱于虛軸實(shí)根或共軛復(fù)根，則一定在勞斯表第一列有變號(hào)，并可由輔助方程求出第17頁(yè)

分析系統(tǒng)參數(shù)改變對(duì)穩(wěn)定性影響利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)還能夠討論個(gè)別參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性影響，從而求得這些參數(shù)取值范圍。若討論參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定最大K稱為臨界放大系數(shù)。[例3-7]已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，試確定系統(tǒng)臨界放大系數(shù)。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：第18頁(yè)勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)確定系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對(duì)穩(wěn)定性。在實(shí)際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。第19頁(yè)利用實(shí)部最大特征方程根p（若穩(wěn)定話，它離虛軸最近）和虛軸距離表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則，表示穩(wěn)定裕量為0。作垂線，若系統(tǒng)極點(diǎn)都在該線左邊，則稱該系統(tǒng)含有穩(wěn)定裕度。普通說，越大，穩(wěn)定程度越高。可用 代入特征方程，得以z為變量新特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)含有穩(wěn)定裕度。[例]系統(tǒng)特征為：，可知它是穩(wěn)定。令則：行全為零，以它上面行組成輔助方程，其解為特殊根。對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用其系數(shù)代替行。輔助方程為：，其系數(shù)為1，0。其解為： ，有一對(duì)共軛虛根，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定裕度恰為1。第20頁(yè)[例]已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖